高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.1.1 条件概率导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.1.1 条件概率导学案，共9页。学案主要包含了思路导引，补偿训练等内容，欢迎下载使用。


1．条件概率的概念
一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B)) >0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(A))B)) ，而且P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(A))B)) ＝ eq \f(P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A∩B)),P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B))) ．
P(B|A)和P(A|B)的意义相同吗？为什么？
提示：P(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)的意义不同．
2．条件概率的性质
(1)0≤P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(A))B)) ≤1；
(2)P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(A))A)) ＝1；
(3)如果B与C互斥，
则P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(B∪C))A)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(B))A)) ＋P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(C))A)) ．
(4)设事件 eq \x\t(B) 与B互为对立事件，
则P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(\x\t(B)))A)) ＝1－P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(B))A)) ．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)P(A∩B)＝ P(AB).( )
(2)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.( )
(3)P(B|A)＝P(A∩B).( )
提示：(1)√.事件A和B同时发生所构成的事件称为事件A与B的交(或积)，记作A∩B(或AB)，所以P(A∩B)＝ P(AB).
(2)×.若事件A，B互斥，则事件A∩B是不可能事件，
P(A∩B)＝0，所以P(B|A)＝0.
(3)×.事件(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生，而事件A∩B是指事件A与事件B同时发生，故P(B|A)≠P(A∩B).
2．设A，B为两个事件，若P(A∩B)＝ eq \f(1,4) ，P(B)＝ eq \f(1,3) ，则P(A|B)＝( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,3) C． eq \f(3,4) D． eq \f(4,3)
【解析】选C.由P(A|B)＝ eq \f(P（A∩B）,P（B）) ＝ eq \f(\f(1,4),\f(1,3)) ＝ eq \f(3,4) .
3．(教材二次开发：例题改编)某产品长度合格的概率为 eq \f(93,100) ，质量合格的概率为 eq \f(90,100) ，长度、质量都合格的概率为 eq \f(85,100) ，任取一件产品，已知其质量合格，则它的长度也合格的概率为________．
【解析】令A：产品的长度合格，B：产品的质量合格，A∩B：产品的长度、质量都合格，
则P(A)＝ eq \f(93,100) ，P(B)＝ eq \f(90,100) ，P(A∩B)＝ eq \f(85,100) .
任取一件产品，已知其质量合格，它的长度也合格，
即为A|B，其概率P(A|B)＝ eq \f(P（A∩B）,P（B）) ＝ eq \f(85,90) ＝ eq \f(17,18) .
答案： eq \f(17,18)
类型一 条件概率的计算(逻辑推理、数学运算)
利用条件概率公式求概率
【典例】在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
【思路导引】设出事件，利用条件概率公式求解．
【解析】设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件A∩B.
从5道题中不放回地依次抽取2道题的样本空间总数为A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＝20.事件A所含样本点的总数为A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ×A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ＝12.
故P(A)＝ eq \f(12,20) ＝ eq \f(3,5) .因为事件A∩B含A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝6个样本点．
所以P(A∩B)＝ eq \f(6,20) ＝ eq \f(3,10) .所以在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为
P(B|A)＝ eq \f(P（A∩B）,P（A）) ＝ eq \f(\f(3,10),\f(3,5)) ＝ eq \f(1,2) .
若本例条件不变，求第1次抽到文科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
【解析】设第1次抽到文科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次抽到文科题且第2次抽到理科题为事件A∩B.
从5道题中不放回地依次抽取2道题的样本空间总数为A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＝20.事件A所含样本点的总数为A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ×A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ＝8.
故P(A)＝ eq \f(8,20) ＝ eq \f(2,5) .因为事件A∩B含A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ×A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＝6个样本点．所以P(A∩B)＝ eq \f(6,20) ＝ eq \f(3,10) .
所以在第1次抽到文科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为P(B|A)＝ eq \f(P（A∩B）,P（A）) ＝ eq \f(\f(3,10),\f(2,5)) ＝ eq \f(3,4) .
利用缩小样本空间计算
【典例】集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．
【思路导引】正确理解条件概率的特点，结合古典概型求解．
【解析】将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个样本点，在这15个样本点中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个，所以所求概率P＝ eq \f(9,15) ＝ eq \f(3,5) .
条件概率计算的关注点
1．原型：在题目条件中，若出现“在……发生的条件下……发生的概率”时，一般可认为是条件概率．
2．方法：(1)在原样本空间中，先计算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) 计算求得P(B|A)；
(2)若事件为古典概型，可利用公式P(B|A)＝ eq \f(n（AB）,n（A）) ，即在缩小后的样本空间中计算事件B发生的概率．
1．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．
(1)求P(A)，P(B)，P(A∩B)；
(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？
【解析】(1)设x为掷红骰子得的点数，y为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件为(x，y)，建立一一对应的关系，由题意作图如图
显然：P(A)＝ eq \f(12,36) ＝ eq \f(1,3) ，
P(B)＝ eq \f(10,36) ＝ eq \f(5,18) ，P(A∩B)＝ eq \f(5,36) .
(2)方法一：P(B|A)＝ eq \f(n（A∩B）,n（A）) ＝ eq \f(5,12) .
方法二：P(B|A)＝ eq \f(P（A∩B）,P（A）) ＝ eq \f(\f(5,36),\f(1,3)) ＝ eq \f(5,12) .
2．盒子里放着5个相同大小、相同形状的乒乓球，其中有3个是黄色的，2个是白色的．如果不放回地依次拿出2个，求：
(1)第1次拿出黄色球的概率．
(2)第1次和第2次都拿出黄色球的概率．
(3)在第1次拿出黄色球的条件下，第2次拿出黄色球的概率．
【解析】设“第1次拿出黄色球”为事件A，“第2次拿出黄色球”为事件B，则第1次和第2次都拿出黄色球为事件AB.
(1)从5个乒乓球中不放回地依次拿出2个的基本事件为n(Ω)＝A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＝20.又n(A)＝A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ×A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ＝12.
于是P(A)＝ eq \f(n（A）,n（Ω）) ＝ eq \f(12,20) ＝ eq \f(3,5) .
(2)因为n(AB)＝3×2＝6，所以P(AB)＝ eq \f(n（AB）,n（Ω）) ＝ eq \f(6,20) ＝ eq \f(3,10) .
(3)由(1)(2)可得，在第1次拿出黄色的条件下，第2次拿出黄色的概率为P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(\f(3,10),\f(3,5)) ＝ eq \f(1,2) .
【补偿训练】
抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：
(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率．
(2)事件B发生的条件下事件A发生的概率．
【解析】方法一：抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为6×6＝36，事件A的基本事件数为6×2＝12，
故P(A)＝ eq \f(12,36) ＝ eq \f(1,3) .由于3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8，4＋6＝6＋4＝5＋5>8，5＋6＝6＋5>8，6＋6>8.
故事件B的基本事件数为4＋3＋2＋1＝10，故P(B)＝ eq \f(10,36) ＝ eq \f(5,18) .
事件AB的基本事件数为6.故P(AB)＝ eq \f(6,36) ＝ eq \f(1,6) .由条件概率公式得
(1)P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(\f(1,6),\f(1,3)) ＝ eq \f(1,2) .
(2)P(A|B)＝ eq \f(P（AB）,P（B）) ＝ eq \f(\f(1,6),\f(5,18)) ＝ eq \f(3,5) .
方法二：n(A)＝6×2＝12.
由3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8，4＋6＝6＋4＝5＋5>8，
5＋6＝6＋5>8，6＋6>8知n(B)＝10，其中n(AB)＝6.
故(1)P(B|A)＝ eq \f(n（AB）,n（A）) ＝ eq \f(6,12) ＝ eq \f(1,2) .
(2)P(A|B)＝ eq \f(n（AB）,n（B）) ＝ eq \f(6,10) ＝ eq \f(3,5) .
类型二 条件概率性质的应用(逻辑推理、数学运算、数学建模)
【典例】在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中的5道题就获得优秀，已知某考生能答对20道题中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率．
【思路导引】先设出相关事件，求出相应事件的概率，再将所求事件分解成两个互斥事件的和．
【解析】设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道题答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B.
由古典概型计算概率的公式及概率的加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(20)) ) ＋ eq \f(C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(10)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(20)) ) ＋ eq \f(C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(20)) ) ＝ eq \f(12 180,C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(20)) ) ，
P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝
eq \f(P（A）,P（D）) ＋ eq \f(P（B）,P（D）) ＝ eq \f(\f(C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(20)) ),\f(12 180,C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(20)) )) ＋ eq \f(\f(C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(10)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(20)) ),\f(12 180,C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(20)) )) ＝ eq \f(13,58) .
故所求的概率为 eq \f(13,58) .
利用条件概率的性质求概率
若事件B，C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，即为了求得比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解成两个(或若
干个)互斥的较简单事件，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E型玻璃球，10个是F型玻璃球．E型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是E型玻璃球的概率是多少？
【解析】由题意得球的分布如下：
设A表示“取得蓝色玻璃球”，B表示“取得蓝色E型玻璃球”．
方法一：因为P(A)＝ eq \f(11,16) ，P(AB)＝ eq \f(4,16) ＝ eq \f(1,4) ，
所以P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(\f(1,4),\f(11,16)) ＝ eq \f(4,11) .
方法二：因为n(A)＝11，n(AB)＝4，
所以P(B|A)＝ eq \f(n（AB）,n（A）) ＝ eq \f(4,11) .
类型三 条件概率的实际应用(逻辑推理、数学运算、数学建模)
【典例】有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为________．
【思路导引】仔细阅读分析题意，利用条件概率公式解题．
【解析】记“寿命超过500小时”为事件A，
“寿命超过800小时”为事件B，则所求事件为B|A，
因为B⊆A，所以B∩A＝B，又P(A)＝0.9，
P(B∩A)＝P(B)＝0.8，
所以P(B|A)＝ eq \f(P（A∩B）,P（A）) ＝ eq \f(8,9) .
答案： eq \f(8,9)
解决条件概率问题的关注点
(1)关键：理清条件和结论，建立条件概率模型；
(2)注意：B∩A事件的含义；
(3)公式：P(A|B)＝ eq \f(P（A∩B）,P（B）) ，P(B|A)＝ eq \f(P（A∩B）,P（A）) .
某种元件用满6 000小时未坏的概率是 eq \f(3,4) ，用满10 000小时未坏的概率是 eq \f(1,2) .现有1个此种元件，已经用过6 000小时未坏，求它能用到10 000小时的概率．
【解析】设A：用满10 000小时未坏，B：用满6 000小时未坏，显然AB＝A，
所以P(A|B)＝ eq \f(P（AB）,P（B）) ＝ eq \f(P（A）,P（B）) ＝ eq \f(\f(1,2),\f(3,4)) ＝ eq \f(2,3) .
1．已知P(AB)＝ eq \f(3,10) ，P(A)＝ eq \f(3,5) ，则P(B|A)等于( )
A． eq \f(7,10) B． eq \f(9,10) C． eq \f(1,2) D． eq \f(9,50)
【解析】选C.由P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(\f(3,10),\f(3,5)) ＝ eq \f(1,2) .
2．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率
是( )
A． eq \f(1,5) B． eq \f(3,10) C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,3)
【解析】选A.设A为事件“数学不及格”，B为事件“语文不及格”，P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(0.03,0.15) ＝ eq \f(1,5) ，所以当数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为 eq \f(1,5) .
3．(教材二次开发：例题改编)甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)和P(B|A)分别等于( )
A． eq \f(1,3) ， eq \f(2,5) B． eq \f(2,3) ， eq \f(2,5)
C． eq \f(2,3) ， eq \f(3,5) D． eq \f(1,2) ， eq \f(3,5)
【解析】选C.P(A|B)＝ eq \f(P（AB）,P（B）) ＝ eq \f(0.12,0.18) ＝ eq \f(2,3) ，P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(0.12,0.2) ＝ eq \f(3,5) .
4．把一枚质地均匀的硬币投掷两次，事件A：第一次出现正面，B：第二次出现正面，则P(B|A)＝________．
【解析】因为事件A所包含的基本事件有(正，正)，(正，反)，事件AB所包含的基本事件有(正，正)，
所以P(A)＝ eq \f(2,4) ，P(AB)＝ eq \f(1,4) .
所以P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(\f(1,4),\f(2,4)) ＝ eq \f(1,2) .
答案： eq \f(1,2)
5．高三毕业时，小红、小鑫、小芸等五位同学站成一排合影留念，已知小红、小鑫二人相邻，则小鑫、小芸相邻的概率是________．
【解析】设“小红、小鑫二人相邻”为事件A，“小鑫、小芸二人相邻”为事件B，则所求概率为P(B|A)，而P(A)＝ eq \f(2A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ,A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ) ＝ eq \f(2,5) ，AB表示事件“小鑫与小红、小芸都相邻”，故P(AB)＝ eq \f(2A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ,A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ) ＝ eq \f(1,10) ，于是P(B|A)＝ eq \f(\f(1,10),\f(2,5)) ＝ eq \f(1,4) .
答案： eq \f(1,4) E型玻璃球
F型玻璃球
总计
红
2
3
5
蓝
4
7
11
总计
6
10
16