2020-2021学年4.2.2 离散型随机变量的分布列学案

离散型随机变量的分布列

必备知识·自主学习

1．离散型随机变量的分布列

(1)定义：一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的．离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，

这个表称为X的概率分布或分布列．

 (2)性质

①pk≥0，k＝1，2，3，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1．

通过随机变量的分布列，你能得到哪些信息？

提示：(1)随机变量的所有可能取值；

(2)取每一个值的概率的大小．

2．两点分布与伯努利试验

(1)两点分布：如果随机变量X的分布列为

则这个随机变量服从参数为p的两点分布(或0－1分布).

(2)伯努利试验：一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验．

两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的p也常被称为成功概率．

(1)服从两点分布的随机变量X的取值范围均为{1，0}吗？

提示：是的．

(2)为什么两点分布也常称为伯努利分布？

提示：因为伯努利试验的结果只有两种，如果将其分别看成“成功”与“不成功”，并设“成功”出现的概率为p，则伯努利试验中“成功”出现的次数X服从参数p的两点分布．

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等．(　　)

(2)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.(　　)

(3)在两点分布中，事件0与事件1是相互独立的. (　　)

提示：(1)×.因为分布列中的每个随机变量所代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．

(2)√.由分布列的性质可知，该说法正确．

(3)×.在两点分布中，事件0与事件1是不能同时发生，是对立事件．

2．设X是一个离散型随机变量，其分布列为

则常数a的值为(　　)

A．0    B．0.4    C．0.6    D．1

【解析】选C.根据两点分布概率的特点知，a＝1－0.4＝0.6.

3．(教材二次开发：例题改编)随机变量η的分布列如下：

则P(η＝3)＝________．

【解析】由离散型随机变量的分布列可知，P(η＝3)＝0.3.

答案：0.3

关键能力·合作学习

类型一　离散型随机变量的分布列及其性质(数学抽象、逻辑推理、数学运算)

1．下列四个表中，能成为随机变量ξ的分布列的是(　　)

【解析】选B.对于表A，由于0.6＋0.3＝0.9<1，故表A不能成为随机变量ξ的分布列；

仿上可知，对于表C，有＋＋＋…＋＝1－<1，故表C不能成为随机变量ξ的分布列；

对于表D，知＋·＋·2＋…＋·n＝·＝1－n＋1<1，

故表D不能成为随机变量ξ的分布列；

对于表B，由于0.902 5＋0.095＋0.002 5＝1，

故表B可以成为随机变量ξ的分布列．

2．设随机变量X的分布列P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则k＝________； P(X≥2)＝________．

【解析】由已知得随机变量X的分布列为

所以＋＋＝1，所以k＝.所以

所以P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.

答案：　

3．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，

求(1)P(X＝1或X＝2)；(2)P.

【解析】(1)因为i＝＋＋＋＝1，

所以a＝10，

则P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.

(2)由a＝10可得P

＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)

＝＋＋＝.

离散型随机变量分布列的性质的应用

(1)求参数的取值或范围；

(2)求随机变量在某个范围内取值的概率；

(3)验证分布列是否正确．

【补偿训练】

 已知离散型随机变量X的分布列为

则k的值为________，若n＝5，则P(X<3)＝________．

【解析】由＋＋…＋＝1，得＝1，即k＝1.

当n＝5时，P(X＝1)＝P(X＝2)＝，所以P(X<3)＝

P(X＝1)＋P(X＝2)＝.

答案：1　

类型二　两点分布(数学建模、逻辑推理、数学运算)

【典例】袋内有5个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝求X的分布列．

【思路导引】X服从两点分布，求出X＝0和X＝1时的概率，列出分布列．

【解析】显然X服从两点分布，P(X＝0)＝＝，

所以P(X＝1)＝1－＝，

所以X的分布列是

将条件中的“X＝”改为“ X＝”求X的分布列．

【解析】显然X服从两点分布，

P＝＝，所以P＝1－＝，

所以X的分布列是

两点分布的关注点

 (1)判断方法：

①看取值：随机变量只取两个值0和1.

②验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．

(2)特别情况：有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，可以利用两点分布来研究．

在一次购物抽奖活动中，在10张奖券中有一等奖奖券1张，二等奖奖券3张，其余6张没有奖品．某顾客从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列．

【解析】抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．P(X＝1)＝＝＝，

则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.

因此X的分布列为

【补偿训练】

 已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列．

【解析】由题意知，X服从两点分布，

P(X＝0)＝＝，

所以P(X＝1)＝1－＝.

所以随机变量X的分布列为

类型三　求离散型随机变量的分布列(逻辑推理、数学运算)

【角度1】　求η＝f(ξ)型的分布列

【典例】已知随机变量ξ的分布列为

分别求出随机变量η1＝ξ，η2＝ξ2的分布列．

【思路导引】由ξ不同取值，求得η1，η2的取值，再根据随机变量概率间的关系，写出概率，列出分布列．

【解析】由η1＝ξ知，对于ξ取不同的值－2，－1，0，1，2，3时，η1的值分别为－1，－，0，，1，，

所以η1的分布列为

由η2＝ξ2知，对于ξ的不同取值－2，2及－1，1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2的概率与的和，η2取1这个值的概率应是ξ取－1与1的概率与的和，所以η2的分布列为

本例条件不变，求随机变量－1的分布列．

【解析】当ξ的取值是－1，1，－1的取值是0，其概率是与的和，当ξ的取值是－2，2，－1的取值是1，其概率是与的和．所以－1的分布列为

【角度2】　实际问题中求分布列

【典例】植树节当天，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如表所示，

现分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列．

【思路导引】先列出Y所有可能的取值，再确定Y的每一个取值所对应的概率，最后写出随机变量Y的分布列．

【解析】由题中表格可知，甲组同学的植树棵数分别是9，9，11，11；乙组同学的植树棵数分别是9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵树Y的可能取值为17，18，19，20，21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)＝＝.

同理可得P(Y＝18)＝；P(Y＝19)＝；

P(Y＝20)＝；P(Y＝21)＝.

所以随机变量Y的分布列为

求离散型随机变量分布列的关注点

(1)关键：搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．

(2)技巧：

①对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．

②要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．

1．设离散型随机变量X的分布列为

求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．

【解析】由分布列的性质知：

0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，所以m＝0.3.

首先列表为

从而由上表得两个分布列为

(1)2X＋1的分布列为：

(2)|X－1|的分布列为：

2．一袋中装有5个球，编号分别为1，2，3，4，5.在袋中同时取3个球，以X表示取出3个球中的最小号码，写出随机变量X的分布列．

【解析】随机变量X的可能取值为1，2，3.

当X＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2，3，4，5的4个球中取，故有P(X＝1)＝＝＝；当X＝2，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3，4，5的3个球中取，故有P(X＝2)＝＝，

当X＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能是编号为4，5的2个球，故有P(X＝3)＝＝.因此，X的分布列为

【补偿训练】

为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下：

如果产品中的微量元素x，y满足x≥177且y≥79时，该产品为优等品．

现从上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数X的分布列．

【解析】由题意可得5件抽测品中有2件优等品，

则X的可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝＝0.3，P(X＝1)＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.1.

所以2件产品中优等品数X的分布列为

课堂检测·素养达标

1．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是(　　)

A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X

B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X

C．从有5名种子选手，3名非种子选手中选1人，是否选出种子选手为随机变量X

D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X

【解析】选A.A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布，其他可以．

2．下列表中能成为随机变量X的分布列的是(　　)

【解析】选C.选项A、D不满足分布列的概率和为1，选项B不满足分布列的概率为非负数．

3．(教材二次开发：练习改编)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ表示1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于(　　)

A．0    B．    C．    D．

【解析】选C.由题意知该分布为两点分布，又P(ξ＝1)＝2P(ξ＝0)且P(ξ＝1)＋P(ξ＝0)＝1，所以P(ξ＝0)＝.

4．已知随机变量ξ的分布列为

设η＝ξ2－2ξ，则P(η＝3)＝________．

【解析】由题意，可知P(η＝3)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝3)＝＋＝.

答案：

5．将3个小球任意放入4个大的玻璃杯中，杯子中球的最多个数记为X，求X的分布列．

【解析】依题意可知，杯子中球的最多个数X的所有可能值为1，2，3.当X＝1时，对应于4个杯子中恰有3个杯子各放一球的情形；当X＝2时，对应于4个杯子中恰有1个杯子放两球的情形；当X＝3时，对应于4个杯子中恰有1个杯子放三个球的情形．所以P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝.

可得X的分布列为