数学选择性必修 第二册4.2.3 二项分布与超几何分布学案设计

这是一份数学选择性必修 第二册4.2.3 二项分布与超几何分布学案设计，共11页。学案主要包含了思路导引，补偿训练，拓展延伸，拓展训练等内容，欢迎下载使用。

必备知识·自主学习
1．独立重复试验与二项分布
(1)n次独立重复试验
在相同条件下重复n次伯努利试验，约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验．
(2)二项分布
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) pkqn－k(k＝0，1，2，…，n)，因此X的分布列如下表所示
由于表中的第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝
C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(n)) p0qn＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) p1qn－1＋…＋C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) pkqn－k＋…＋C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(n)) pnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
(1)独立重复试验需要满足什么条件？
提示：①每次试验的条件相同；
②每次试验是相互独立的；
③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
(2)二项分布中各个参数的意义分别是什么？
提示：n表示试验的总次数；k表示在n次独立重复试验中成功的次数；p表示试验成功的概率；1－p表示试验不成功的概率．
2．超几何分布
一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M＜N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品件数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(N－M)) )，而且P(X＝k)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(M)) C eq \\al(\s\up1(n－k),\s\d1(N－M)) ,C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(N)) ) ，k＝t，t＋1，…，s，X称为服从参数为N，n，M的超几何分布，记作
X～H(N，n，M)．
超几何分布概率公式有何特点？
提示：分子两个组合数的下标之和等于分母组合数的下标，分子两个组合数的上标之和等于分母组合数的上标．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)二项分布的参数是N，n，M，超几何分布中的参数是n，p.( )
(2)n次独立重复试验的结果可以有多种．( )
(3)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成．( )
提示：(1)×.二项分布的参数是n，p，超几何分布中的参数是N，n，M.
(2)×.n次独立重复试验的结果只有两种．
(3)√.由超几何分布的概念可知．
2．(教材二次开发：练习改编)设8件产品中有2件次品，现从中抽取4件，则 eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ,C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(8)) ) 表示( )
A．4件产品中有2件次品的概率
B．4件产品中有1件次品的概率
C．4件产品中有2件正品的概率
D．4件产品中有1件正品的概率
【解析】选B.根据超几何分布的定义可知C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) 表示从2件次品中任选1件，C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) 表示从6件正品中任选3件．
3．已知随机变量X服从二项分布，X～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,5))) ，则成功概率为________．
【解析】由二项分布参数的意义知，成功概率为 eq \f(1,5) .
答案： eq \f(1,5)
关键能力·合作学习
类型一 n次伯努利试验与二项分布(数学抽象、逻辑推理、数学运算)
【角度1】 n次伯努利试验与二项分布概念的理解
【典例】下列随机变量X不服从二项分布的是( )
A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数
B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数
D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数
【思路导引】先判断是否是独立重复试验，再判断试验结果是否是只有两个．
【解析】选B.选项A：试验出现的结果只有两个，点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为 eq \f(1,6) ，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；选项B：虽然每一次试验的结果只有两个，且每一次试验都是相互独立的，且概率不发生变化，但随机变量X的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C：甲、乙获胜的概率一定，且和为1，进行5次比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X服从二项分布；选项D：由二项分布的定义可知，X～B(n，0.3).
在本例选项A中，求P(X＝2).
【解析】由题意，X～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,6))) ，
所以P(X＝2)＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6))) 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6))) 3＝ eq \f(625,3 888) .
【角度2】 求n次伯努利试验的概率与二项分布
【典例】1.某电子管正品率为 eq \f(3,4) ，次品率为 eq \f(1,4) ，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)等于( )
A．C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) eq \s\up12(2) × eq \f(3,4) B．C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(2) × eq \f(1,4)
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) eq \s\up12(2) × eq \f(3,4) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(2) × eq \f(1,4)
【解析】选C.X＝3表示“第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品”，故其概率为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) eq \s\up12(2) × eq \f(3,4) .
2．在一次物理考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．若4名考生选做这两题的可能性均为 eq \f(1,2) .
(1)求其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第15题的学生数为ξ，求ξ的分布列．
【思路导引】(1)利用相互独立事件与互斥事件的概率公式解决；
(2)利用二项分布公式解决．
【解析】(1)设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB＋ eq \x\t(A) eq \x\t(B) ”且事件A，B相互独立．
所以P(AB＋ eq \x\t(A) eq \x\t(B) )＝P(A)P(B)＋P( eq \x\t(A) )P( eq \x\t(B) )
＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2))) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2))) ＝ eq \f(1,2) .
(2)随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，且ξ～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,2))) .所以P(ξ＝k)＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(4)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(k) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2))) eq \s\up12(4－k) ＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(4)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(4) (k＝0，1，2，3，4).
所以随机变量ξ的分布列为
解决二项分布问题的关注点
(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
(2)当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
(3)对于公式P(X＝k)＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．
1．任意抛掷三枚硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( )
A． eq \f(3,4) B． eq \f(3,8) C． eq \f(1,3) D． eq \f(1,4)
【解析】选B.抛一枚硬币，正面朝上的概率为 eq \f(1,2) ，则抛三枚硬币，恰有2枚正面朝上的概率为P＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(2) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(3,8) .
2．已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为 eq \f(1,3) ，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的．
(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列；
(2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率．
【解析】(1)由题意，随机变量X可能取值为0，1，2，3，
则X～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,3))) .即P(X＝0)＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(0) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3))) eq \s\up12(3) ＝ eq \f(8,27) ，
P(X＝1)＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(4,9) ，
P(X＝2)＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3))) eq \s\up12(1) ＝ eq \f(2,9) ，
P(X＝3)＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3))) eq \s\up12(0) ＝ eq \f(1,27) .
所以X的分布列为
(2)第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，
因此所求概率为P＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3))) eq \s\up12(3) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(160,2 187) .
【补偿训练】
某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 eq \f(1,3) ，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X的分布列．
【解析】可视一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，相当于做了5次独立重复试验，故X～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,3))) ，P(X＝0)＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(5)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(0) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(5) ＝ eq \f(32,243) ，P(X＝1)＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(4) ＝ eq \f(80,243) ，
P(X＝2)＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(3) ＝ eq \f(80,243) ，
P(X＝3)＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(40,243) ，
P(X＝4)＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(5)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(1) ＝ eq \f(10,243) ，
P(X＝5)＝C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(0) ＝ eq \f(1,243) .所以X的分布列为
类型二 超几何分布(数学抽象、数学建模)
【角度3】 对超几何分布的理解
【典例】某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛．若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛，求这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数ξ的分布列及P(ξ＜2).
【思路导引】先写出ξ所有可能的取值，求出每一个ξ所对应的概率，然后写出分布列，求出概率．
【解析】由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，则P(ξ＝0)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) ) ＝ eq \f(1,35) ，P(ξ＝1)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) ) ＝ eq \f(12,35) ，P(ξ＝2)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) ) ＝ eq \f(18,35) ，P(ξ＝3)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) ) ＝ eq \f(4,35) .
所以随机变量ξ的分布列为
P(ξ＜2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝ eq \f(1,35) ＋ eq \f(12,35) ＝ eq \f(13,35) .
【角度4】 求超几何分布的分布列
【典例】袋中装有标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列．
【思路导引】(1)用古典概型的概率公式求解；
(2)用超几何分布公式求解．
【解析】(1)方法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ) ＝ eq \f(2,3) .
方法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件．
因为P(B)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(8)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ) ＝ eq \f(1,3) ，所以P(A)＝1－ eq \f(1,3) ＝ eq \f(2,3) .
(2)由题意知，X所有可能的取值是2，3，4，5，
P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ) ＝ eq \f(1,30) ，P(X＝3)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ) ＝ eq \f(2,15) ，
P(X＝4)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ) ＝ eq \f(3,10) ，P(X＝5)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(8)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(8)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ) ＝ eq \f(8,15) .
所以随机变量X的分布列为
本例已知条件不变，计算一次取球得分介于20分到40分之间的概率．
【解析】“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝ eq \f(2,15) ＋ eq \f(3,10) ＝ eq \f(13,30) .
1．对超几何分布的三点说明
(1)超几何分布的模型是不放回抽样．
(2)超几何分布中的参数是M，N，n.
(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男生和女生等问题，往往由差异明显的两部分组成．
2．求超几何分布的分布列应关注的两点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．
(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．
1．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数为ξ的分布列．
【解析】设随机变量ξ表示取出次品的个数，则ξ服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3.它的可能取值为0，1，2，相应的概率依次为P(ξ＝0)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(13)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(15)) ) ＝ eq \f(22,35) ，
P(ξ＝1)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(13)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(15)) ) ＝ eq \f(12,35) ，P(ξ＝2)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(13)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(15)) ) ＝ eq \f(1,35) .
所以ξ的分布列为
2．现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为 eq \f(1,7) .
(1)求7名学生中甲班的学生数；
(2)设所选2名学生中甲班的学生数为X，求X的分布列，并求所选2名中甲班学生数不少于1名的概率．
【解析】(1)设甲班的学生数为M，由题意得 eq \f(1,7) ＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(M)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ) ＝ eq \f(\f(M（M－1）,2),\f(7×6,2)) ＝ eq \f(M（M－1）,7×6) ，整理得M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去).即7名学生中，甲班有3名．
(2)由题意知X服从参数N＝7，M＝3，n＝2的超几何分布，其中X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝k)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(2－k),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ) (k＝0，1，2)，
即P(X＝0)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ) ＝ eq \f(6,21) ＝ eq \f(2,7) ，
P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ) ＝ eq \f(12,21) ＝ eq \f(4,7) ，P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ) ＝ eq \f(3,21) ＝ eq \f(1,7) .
所以X的分布列为
由分布列知P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝ eq \f(4,7) ＋ eq \f(1,7) ＝ eq \f(5,7) .即所选2名中甲班学生数不少于1名的概率为 eq \f(5,7) .
【补偿训练】
一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球．
(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率；
(2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列．
【解析】(1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(1)) ＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P＝ eq \f(6,20) ＝ eq \f(3,10) .
(2)由题意知X＝0，1，2，3.
P(X＝0)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ) ＝ eq \f(1,20) ，P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ) ＝ eq \f(9,20) ，
P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ) ＝ eq \f(9,20) ，P(X＝3)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ) ＝ eq \f(1,20) .
所以X的分布列为
类型三 几种分布问题的综合应用(数学建模、逻辑推理、数学运算)
【典例】一个袋子中有60个大小相同的球，其中有20个黄球、40个白球，从中随机地摸出10个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数．
(1)有放回地摸球，求X的分布列；
(2)不放回地摸球，求X的分布列．
二项分布与超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律．若N件产品中含有M件次品，当我们从这些产品中每次抽取一件，共抽取n次进行检查时，若是有放回地抽样，则抽到的次品数X服从的是二项分布，若是不放回地抽样且n≤N，则抽到的次品数X服从的是超几何分布．对于不放回地抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似．
盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机依次取出2个球，则放回抽取时所取出的2个球颜色不同的概率等于________，不放回抽取时所取出的2个球颜色不同的概率等于________．
【解析】若放回抽取，设取得红球的个数为X，
则X～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,5))) ，取出2个颜色不同的球即事件“X＝1”，
所以P(X＝1)＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) × eq \f(3,5) × eq \f(2,5) ＝ eq \f(12,25) .若不放回抽取，设取得红球的个数为Y，则Y～H(5，2，3)，所以取到的2个球颜色不同的概率P＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ) ＝ eq \f(3,5) .
答案： eq \f(12,25) eq \f(3,5)
【拓展延伸】
两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1的二项分布．
【拓展训练】某人投弹击中目标的概率为p＝0.8.
(1)求投弹一次，命中次数X的分布列；
(2)求重复10次投弹时，击中次数Y的分布列．
【解析】(1)X服从两点分布，其分布列为
(2)Y服从二项分布，即Y～B(10，0.8)，其分布列为P(X＝k)＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) ×0.8k×0.210－k，k＝0，1，2，…，10.
课堂检测·素养达标
1．某地人群中高血压的患病率为p，由该地区随机抽查n人，则( )
A．样本患病率服从B(n，p)
B．n人中患高血压的人数X服从B(n，p)
C．患病人数与样本患病率均不服从B(n，p)
D．患病人数与样本患病率均服从B(n，p)
【解析】选B.由二项分布的定义知B正确．
2．(教材二次开发：例题改编)带活动门的小盒子里有来自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只做实验，X表示放出的蜂中工蜂的只数，则X＝2时的概率是( )
A． eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(20)) C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(30)) ) B． eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(20)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(30)) )
C． eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(20)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(30)) ) D． eq \f(C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(20)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(30)) )
【解析】选B.依题意，X服从超几何分布，所以P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(20)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(30)) ) .
3．在4次伯努利试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为 eq \f(65,81) ，则事件A在一次试验中发生的概率为( )
A． eq \f(1,3) B． eq \f(2,5)
C． eq \f(5,6) D． eq \f(3,4)
【解析】选A.事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得
1－C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(4)) p0(1－p)4＝ eq \f(65,81) ，所以1－p＝ eq \f(2,3) ，p＝ eq \f(1,3) .
4．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)
【解析】所求概率P＝1－ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(27)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(30)) ) ＝ eq \f(28,145) .
答案： eq \f(28,145)
5．袋子中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取三次，求有放回时，取到黑球个数X的分布列．
【解析】取到黑球个数X的可能取值为0，1，2，3.
由于每次取到黑球的概率均为 eq \f(1,5) ，
那么P(X＝0)＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5))) eq \s\up12(0) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5))) eq \s\up12(3) ＝ eq \f(64,125) ，
P(X＝1)＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5))) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(48,125) ，
P(X＝2)＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5))) eq \s\up12(2) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5))) ＝ eq \f(12,125) ，
P(X＝3)＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5))) eq \s\up12(3) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5))) eq \s\up12(0) ＝ eq \f(1,125) .故X的分布列为：
导思
1.什么是n次伯努利试验(n次独立重复试验)？什么是二项分布？
2．什么是超几何分布？
X
0
1
…
k
…
n
P
C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(n)) p0qn
C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) p1qn－1
…
C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) pkqn－k
…
C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(n)) pnq0
ξ
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,16)
eq \f(1,4)
eq \f(3,8)
eq \f(1,4)
eq \f(1,16)
X
0
1
2
3
P
eq \f(8,27)
eq \f(4,9)
eq \f(2,9)
eq \f(1,27)
X
0
1
2
3
4
5
P
eq \f(32,243)
eq \f(80,243)
eq \f(80,243)
eq \f(40,243)
eq \f(10,243)
eq \f(1,243)
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(1,35)
eq \f(12,35)
eq \f(18,35)
eq \f(4,35)
X
2
3
4
5
P
eq \f(1,30)
eq \f(2,15)
eq \f(3,10)
eq \f(8,15)
ξ
0
1
2
P
eq \f(22,35)
eq \f(12,35)
eq \f(1,35)
X
0
1
2
P
eq \f(2,7)
eq \f(4,7)
eq \f(1,7)
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,20)
eq \f(9,20)
eq \f(9,20)
eq \f(1,20)
步骤
内容
理解
题意
条件：①袋中有20个黄球、40个白球，从中随机地摸出10个球； ②用X表示样本中黄球的个数．
结论：(1)有放回地摸球，求X的分布列；(2)不放回地摸球，求X的分布列．
思路
探求
对(1)，X服从二项分布，对(2)，X服从超几何分布，分别求出相应的概率，列出分布列．
书写
表达
(1)对于有放回地摸球，每次摸到黄球的概率为 eq \f(1,3) ，且各次试验之间的结果是独立的，因此X～N(10， eq \f(1,3) )，X的分布列为
p1k＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝k)) ＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) k× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) 10－k，k＝0，1，2，…，10.①
(2)对于不放回地摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为
p2k＝P(X＝k)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(20)) C eq \\al(\s\up1(10－k),\s\d1(40)) ,C eq \\al(\s\up1(10),\s\d1(60)) ) ，k＝0，1，2，…，10.②
注意书写的规范性：①也可以使用等式来表示分布列；②注意概率分布模型的区分．
题后
反思
独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，超几何分布的实际原型是不放回地抽样问题．
X
0
1
P
0.2
0.8
X
0
1
2
3
P
eq \f(64,125)
eq \f(48,125)
eq \f(12,125)
eq \f(1,125)