初中数学北京课改版八年级下册第十六章 一元二次方程综合与测试精练

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程专项测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列方程中一定是一元二次方程的是（    ）

A．x2﹣4＝0 B．ax2＋bx＋c＝0 C．x2﹣y＋1＝0 D．＋x﹣1＝0

2、已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

3、某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第十二月的总营业额要达到9100万元，求该公司11；12两个月营业额的月均增长率，设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为，则根据题意可列的方程为（    ）

A． B．

C． D．

4、下列事件为必然事件的是（　　）

A．抛掷一枚硬币，正面向上

B．在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球

C．方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根

D．如果|a|＝|b|，那么a＝b

5、一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，则这个三角形的第三条边不可能为（    ）

A．7 B．11 C．15 D．19

6、生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为（    ）

A． B．

C． D．

7、用配方法解方程x2+2x=1，变形后的结果正确的是（   ）

A．（x+1）2=-1 B．（x+1）2=0 C．（x+1）2=1 D．（x+1）2=2

8、方程的解是（    ）

A．6 B．0 C．0或6 D．-6或0

9、某种芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片单价由128元降为88元.若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意，可列方程

A．128（1 - x2）= 88 B．88（1 + x)2 = 128

C．128（1 - 2x）= 88 D．128（1 - x)2 = 88

10、目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数达到3.92万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（　　）

A．20% B．30% C．40% D．50%

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，设该厂四、五月份的月平均增长率为x，则可列方程为______．

2、若（m＋1）xm（m－2） －1＋2mx－1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．

3、 “降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是_____________．

4、将化为一般形式为________．

5、阅读下列材料：

早在公元1世纪左右，我国著名的数学典籍《九章算术》中就已经对一元二次方程进行了研究：在“勾股”章中，根据实际问题列出方程x2 + 34x - 71000 = 0，给出该方程的正根为x = 250，并简略指出解该方程的方法：开方除之．其后，受此启发，有数学家研究了利用几何图形求解该方程的方法，对于丰富我国古代有关一元二次方程的研究具有重要的价值．用该方法求解的过程如下（如图）：

第一步：构造

已知小正方形边长为x，将其边长增加17，得到大正方形．

第二步：推理

根据图形中面积之间的关系，可得（x+17）2 = x2 + 2 × 17x + 172．

由原方程x2 + 34x - 71000 = 0，得x2 + 34x = 71000．

所以（x+17）2 = 71000 + 172．

所以（x+17）2 = 71289．

直接开方可得正根x = 250．

依照上述解法，要解方程x2 + bx + c = 0（b > 0），请写出第一步“构造”的具体内容与第二步中“（x+17）2 = 71000 + 172”相应的等式是 _________ ．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在一块长、宽的矩形地面内，修筑一横两竖三条道路，横、竖道路的宽度相同，余下的地面铺草坪，要使草坪面积达到，求道路的宽．

2、解方程：

（1）x2﹣6x﹣4＝0；

（2）3x（x+1）＝3x+3．

3、宜宾市某楼盘准备以每平方米9000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米7290元的均价开盘销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？

4、为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元．

（1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率；

（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？

5、已知关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有两个实数根，请求出m的最大整数值．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

利用一元二次方程定义进行解答即可．

【详解】

解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；

B、当a=0时，不是一元二次方程，故此选项不合题意；

C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；

D、未知数次数为1，不是一元二次方程，故此选项不合题意；

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．

2、B

【分析】

把代入一元二次方程得到，再利用整体代入法解题即可．

【详解】

解：把代入一元二次方程得，

，

，

故选：B．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

3、C

【分析】

根据等量关系第10月的营业额×（1+x）2=第12月的营业额列方程即可．

【详解】

解：根据题意，得：，

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．

4、C

【分析】

根据必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件，进行逐一判断即可

【详解】

解：A、抛掷一枚硬币，可能正面向上，也有可能反面向上，不是必然事件，不符合题意；

B、在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球是不可能发生的，不是必然事件，不符合题意；

C、∵，∴方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根，是必然事件，符合题意；

D、如果|a|＝|b|，那么a＝b或a=-b，不是必然事件，不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了必然事件的定义，熟知定义是解题的关键．

5、D

【分析】

先根据一元二次方程的解法得到这个三角形的两边长，然后再利用三角形三边关系可排除选项．

【详解】

解：

，

解得：，

∴这个三角形的两边的长为6和11，

∴第三边长x的范围为5＜x＜17；

故选D．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题的关键．

6、C

【分析】

设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，根据等量关系，列出方程即可．

【详解】

解：设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，

由题意得：，

故选C．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的实际应用，掌握增长率模型，是解题的关键．

7、D

【分析】

方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可得到答案．

【详解】

解：∵x2+2x=1，
∴x2+2x+1=1+1，
∴（x+1）2=2，
故选D．

【点睛】

本题考查配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

8、C

【分析】

根据一元二次方程的解法可直接进行求解．

【详解】

解：

，

解得：；

故选C．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

9、D

【分析】

根据该药品的原售价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

解：依题意得：128（1-x）2=88．
故选：D．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

10、C

【分析】

先用含x的代数式表示出2021年底5G用户的数量， 然后根据2021年底5G用户数为3.92万户列出关于x的方程，解方程即得答案．

【详解】

解：设全市5G用户数年平均增长率为x，

根据题意，得： ，

整理得：，

∴，

解得：x1=0.4=40%，x2= −2.4（不合题意，舍去）．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．

二、填空题

1、

【分析】

该厂四、五月份的月平均增长率为x，根据增长率公式即可得出五月份的产量是，据此列方程即可．

【详解】

∵该厂四、五月份的月平均增长率为x，

∴五月份的产量是，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是，增长用“+”，下降用“−”．

2、3

【分析】

本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．

【详解】

解：∵是关于x的一元二次方程，

∴，即，

解得m＝3．

故答案为：3．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，解题的关键在于熟知一元二次方程的定义．

3、

【分析】

先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可.

【详解】

解：

则或或

解得：

故答案为：

【点睛】

本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键.

4、

【分析】

移项，将方程右边化为0

【详解】

解：化为一般形式为

故答案为：．

【点睛】

本题考查一元二次方程的定义，属于基础题，一元二次方程的一般式：．

5、
 

【分析】

根据题中例题及配方法求解即可得．

【详解】

解：第一步：“构造”

内容为：已知小正方形边长为x，将其边长增加，得到大正方形；

第二步：“推理”

，

∵，得，

∴，

故答案为：．

【点睛】

题目主要考查利用配方法解一元二次方程的应用，理解题中例题及配方法是解题关键．

三、解答题

1、道路的宽为2m

【分析】

设道路的宽为xm，根据图形可以把草坪面积看做是一个长为m，宽为m的长方形面积，由此建立方程求解即可．

【详解】

解：设道路的宽为xm，

由题意得：，

∴，

∴，

∴，

解得或（舍去），

∴道路的宽为2m．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解．

2、（1）x1=+3，x2=-+3（2）x1=-1，x2=1

【分析】

（1）根据配方法即可求解；

（2）根据因式分解法即可求解．

【详解】

（1）x2﹣6x﹣4＝0

x2﹣6x+9＝13

（x-3）2＝13

x-3=±

∴x1=+3，x2=-+3

（2）3x（x+1）＝3x+3

3x（x+1）-3（x+1）=0

3（x+1）（x-1）=0

∴x+1=0或x-1=0

∴x1=-1，x2=1．

【点睛】

此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知配方法与因式分解法的运用．

3、（1）10%；（2）方案①更优惠，理由见解析．

【分析】

（1）设平均每次下调的百分率为x，利用预订每平方米销售价格×（1-x）2=开盘每平方米销售价格列方程解答即可；

（2）分别解出两种方案的房款，再作比较即可．

【详解】

解：（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意列方程得，

解得（舍去）

答：平均每次下调的百分率为10%．

（2）方案①的房款：（元）

加上两年的物业管理费共需要：（元）

方案②的房款：（元）

故方案①更优惠．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，掌握相关知识，根据等量关系列方程，解方程是关键．

4、（1）我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为30%；（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资438.9万元

【分析】

（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为x，利用2022年投资额＝2020年投资额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）利用这三年我校总共投资的金额＝2020年投资额+2020年投资额×（1+年平均增长率）+2022年投资额，即可求出结论．

【详解】

解：（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为x，

依题意得：110（1+x）2＝185.9，

解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．

答：我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为30%．

（2）110+110×（1+30%）+185.9

＝110+143+185.9

＝438.9（万元）．

答：从2020年到2022年，这三年我校将总共投资438.9万元

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．

5、m的最大整数值为0

【分析】

根据方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，确定出m的范围，进而求出最大整数值即可．

【详解】

解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有两个实数根，

∴b2﹣4ac＝（2m）2﹣4（m﹣1）（m+3）＝4m2﹣（4m2+8m﹣12）＝4m2﹣4m2﹣8m+12＝﹣8m+12≥0，m﹣1≠0，

解得：m≤且m≠1，

则m的最大整数值为0．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，准确计算是解题的关键．