数学北京课改版第十七章 方差与频数分布综合与测试练习

京改版八年级数学下册第十七章方差与频数分布专题攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、一组数据a－1、b－1、c－1、d－1、e－1、f－1、g－1的平均数是m，方差是n，则另一组数据2a－3、2b－3、2c－3、2d－3、2e－3、2f－3、2g－3的平均数和方差分别是（    ）

A．2m－3、2n－3 B．2m－1、4n C．2m－3、2n D．2m－3、4n

2、小强每天坚持做引体向上的锻炼，下表是他记录的某一周每天做引体向上的个数．

对于小强做引体向上的个数，下列说法错误的是（    ）

A．平均数是12 B．众数是13

C．中位数是12.5 D．方差是

3、在这学期的六次体育测试中，甲、乙两同学的平均成绩一样，方差分别为2，1.8，则下列说法正确的是（    ）

A．乙同学的成绩更稳定 B．甲同学的成绩更稳定

C．甲、乙两位同学的成绩一样稳定 D．不能确定哪位同学的成绩更稳定

4、在一个样本中，40个数据分别落在5个小组内，第1，2，3，5小组的频数分别是6，5，15，7，则第4小组的频数是（   ）

A．7 B．8 C．9 D．10

5、在某次读书知识比赛中育才中学参赛选手比赛成绩的方差计算公式为： S2＝ [（x188）2+（x288）2+…+（x888）2]，以下说法不一定正确的是（　　）

A．育才中学参赛选手的平均成绩为88分

B．育才中学一共派出了八名选手参加

C．育才中学参赛选手的中位数为88分

D．育才中学参赛选手比赛成绩团体总分为704分

6、下图是某学校全体教职工年龄的频数分布直方图（统计中采用“上限不在内”的原则，如年龄为36岁统计在小组，而不在小组），根据图形提供的信息，下列说法中错误的是（    ）

A．该学校教职工总人数是50人

B．年龄在小组的教职工人数占总人数的20%

C．某教师40岁，则全校恰有10名教职工比他年轻

D．教职工年龄分布最集中的在这一组

7、某校随机抽查了10名学生的体育成绩，得到的结果如表：

下列说法正确的是（    ）

A．这10名同学的体育成绩的方差为50

B．这10名同学的体育成绩的众数为50分

C．这10名同学的体育成绩的中位数为48分

D．这10名同学的体育成绩的平均数为48分

8、一个有80个样本的数据组中，样本的最大值是145，最小值是50，取组距为10，那么可以分成（    ）组．

A．10 B．9 C．8 D．7

9、2022年冬季奥运会将在北京张家口举行，如表记录了四名短道速滑选手几次选拔赛成绩的平均数和方差s2．

根据表中数据，可以判断乙选手是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的运动员，则m、n的值可以是（　　）

A．m＝50，n＝4 B．m＝50，n＝18 C．m＝54，n＝4 D．m＝54，n＝18

10、某企业为了解员工给灾区“爱心捐款”的情况，随机抽取部分员工的捐款金额整理绘制成如图所示的直方图，根据图中信息，下列结论错误的是（　　）

A．样本中位数是200元

B．样本容量是20

C．该企业员工捐款金额的极差是450元

D．该企业员工最大捐款金额是500元

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、一个样本的方差，则样本容量是_________，样本平均数是__________．

2、甲、乙两名篮球运动员进行每组10次的投篮训练，5组投篮结束后，两人的平均命中数都是7次，方差分别是，，则在本次训练中，运动员__________的成绩更稳定．

3、对于两组数据来说，可从平均数和方差两个方面进行比较，平均数反映一组数据的______，方差则反映一组数据在平均数左右的______，因此从平均数看或从方差看，各有长处．

4、一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的销售量如下表：

如果鞋店要购进90双这种女鞋，那么购进，和三种尺码女鞋数量最合适的分别是__________．

5、若整数1至50的方差为，整数51至100的方差为，则与的大小关系是__________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、在疫情防控期间，某市防控指挥部想了解各学校教职工参与志愿服务的情况．在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们志愿服务的时间进行了统计，整理并绘制成如下的统计表和不完整的统计图．

（1）本次被抽取的教职工共有　          　名；

（2）表中a =　        ，扇形统计图中“C”部分所占百分比为　        %；

（3）若该市共有30 000名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于60小时的教职工大约有多少人？

2、某地在冬季经常出现雾霾天气．环保部门派记者更进一步了解“雾霾天气的主要原因”，该记者随机调查了该地名市民（每位市民只选择一个主要原因），并对调查结果进行整理，绘制了如下尚不完整的统计图表．

雾霾天气的主要原因统计表

请根据图表中提供的信息解答下列问题：

（1）填空：a＝　   　；b＝　   　；

（2）扇形统计图中，C组所占的百分比为　   　%；E组所在扇形的圆心角的度数为　   　°；

（3）根据以上调查结果，你还能得到什么结论？（写出一条即可）

3、在济南市开展的“美丽泉城，创卫我同行”活动中，某校倡议学生利用双休日在各自社区参加义务劳动．为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表，如图所示：

（1）统计表中的x＝　   　，y＝　   　；

（2）被调查同学劳动时间的中位数是 　   　时；

（3）请将条形统计图补充完整；

（4）求所有被调查同学的平均劳动时间．

（5）若该校有1500名学生，试估计双休日在各自社区参加2小时义务劳动的学生有多少？

4、为庆祝中国共产党建党100周年，某中学组织七、八年级全体学生开展了“党史知识”竞赛活动，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取10名学生的成绩（满分为100分）．

收集数据：

七年级：90，95，95，80，85，90，80，90，85，100；

八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．

整理数据：

分析数据：

根据以上信息回答下列问题：

（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；

（2）通过计算求出e的值；

（3）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由；

（4）该校七八年级共1600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”，估计这两个年级共多少名学生达到“优秀”？

5、某校学生会为了解该校2860名学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的办法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成右边的两幅不完整的统计图（如图（1），图（2），要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数），请你根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）在这次研究中，一共调查了      名学生．

（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是      度．

（3）补全频数分布折线统计图．

（4）估计该校喜欢排球的学生有多少人？

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

根据平均数和方差的变化规律即可得出答案．

【详解】

∵a－1、b－1、c－1、d－1、e－1、f－1、g－1的平均数是m，方差是n，

∴数据a、b、c、d、e、f、g的平均数是m+1，方差是n，
∴2a-3、2b-3、2c-3、2d-3、2e-3、2f-3、2g-3的平均数是2（m+1）-3=2m-1；
∵数据a、b、c、d、e、f、g的方差是n，
∴数据2a-3、2b-3、2c-3、2d-3、2e-3、2f-3、2g-3的方差是22•n=4n；
故选：B．

【点睛】

本题考查了方差和平均数，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变，平均数也加或减这个数；当乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍，平均数也乘以这个数．

2、C

【分析】

根据平均数的定义：一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商，叫做这组数据的算术平均数，简称平均数；众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据；中位数的定义：一组数据中，处在最中间或处在最中间的两个数的平均数；方差的定义：一组数据中各个数据与它们平均数的差的平方的和的平均数，进行求解即可．

【详解】

解：由题意得它们的平均数为：

，故选项A不符合题意；

∵13出现的次数最多，

∴众数是13，故B选项不符合题意；

把这组数据从小到大排列为：10、11、12、12、13、13、13，处在最中间的数是12，

∴中位数为12，故C选项符合题意；

方差：，故D选项不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了平均数，中位数，众数和方差，解题的关键在于能够熟知相关定义．

3、A

【分析】

根据方差的定义逐项排查即可．

【详解】

解：∵甲同学成绩的方差2>乙同学成绩的方差1.8，且平均成绩一样

∴乙同学的成绩更稳定．

故选A．

【点睛】

本题主要考查了方差的意义，方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异，其作用是反映数据的稳定性，方差越小越稳定，越大越不稳定．

4、A

【分析】

每组的数据个数就是每组的频数，40减去第1，2，3，5小组数据的个数就是第4组的频数．

【详解】

解：第4小组的频数是40−（6＋5＋15＋7）＝7，
故选：A．

【点睛】

本题考查频数和频率的知识，注意掌握每个小组的频数等于数据总数减去其余小组的频数，即各小组频数之和等于数据总和．

5、C

【分析】

根据方差的计算公式中各数据的具体意义逐一分析求解即可．

【详解】

解：∵参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：S2＝ [（x1−88）2＋（x2−88）2＋…＋（x8−88）2]，

∴育才中学参赛选手的平均成绩为88分，一共派出了八名选手参加，育才中学参赛选手比赛成绩团体总分为88×8＝704（分），由于不能知道具体的数据，所以参赛选手的中位数不能确定，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式．

6、C

【分析】

各组的频数的和就是总人数，再根据百分比、众数、中位数的定义逐一解题．

【详解】

解：A. 该学校教职工总人数是4+6+11+10+9+6+4=50人，正确，故A不符合题意；

B. 年龄在小组的教职工人数占总人数的20%，正确，故B不符合题意；

C. 教职工年龄的中位数在这一组，某教师40岁，则全校恰有10名教职工比他年轻说法是错误的，故C符合题意；

D. 教职工年龄分布最集中的在这一组，正确，故D不符合题意，

故选：C．

【点睛】

本题考查频数分布直方图，是重要考点，从图中获取正确信息是解题关键．

7、C

【分析】

根据众数、中位数、平均数及方差的定义列式计算即可．

【详解】

这组数据的平均数为×（46+47×2+48×3+49×2+50×2）＝48.2，故D选项错误，

这组数据的方差为×[（46﹣48.2）2+2×（47﹣48.2）2+3×（48﹣48.2）2+2×（49﹣48.2）2+2×（50﹣48.2）2]＝1.56，故A选项错误，

∵这组数据中，48出现的次数最多，

∴这组数据的众数是48，故B选项错误，

∵这组数据中间的两个数据为48、48，

∴这组数据的中位数为＝48，故C选项正确，

故选：C．

【点睛】

本题考查众数、中位数、平均数及方差，把一组数据按从小到大的数序排列,在中间的一个数字(或两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数；一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数；熟练掌握定义及公式是解题关键．

8、A

【分析】

求出最大值和最小值的差，然后除以组距，用进一法取整数值就是组数．

【详解】

解：145-50=95，
95÷10=9.5，
所以应该分成10组．
故选A．

【点睛】

本题考查频率分布表中组数的确定，关键是求出最大值和最小值的差，然后除以组距，用进一法取整数值就是组数．

9、A

【分析】

根据乙选手是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的运动员，可得到乙选手的成绩的平均数最大，方差最小，即可求解．

【详解】

解：因为乙选手是这四名选手中成绩最好的，

所以乙选手的成绩的平均数最小，

又因为乙选手发挥最稳定，

所以乙选手成绩的方差最小．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了平均数和方差的意义，理解方差是反映一组数据的波动大小的一个量：方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

10、A

【详解】

解：A、共2+8+5+4+1=20人，中位数为10和11的平均数，故中位数为150元，故选项A不正确；

B、共20人，样本容量为20，故选项B正确；

C、极差为500﹣50=450元，故选项C正确；

D、该企业员工最大捐款金额是500元，故选项D正确．

故选：A ．

【点睛】

本题考查脂肪性获取信息，中位数，样本容量，极差，掌握相关概念是解题关键．

二、填空题

1、12    3   

【分析】

方差公式为 ，其中n是样本容量，表示平均数．根据公式直接求解．

【详解】

解：∵一个样本的方差是，
∴该样本的容量是12，样本平均数是3．
故答案为：12，3．

【点睛】

此题考查方差的定义，解题的关键是熟练运用方差公式，此题难度不大．

2、乙

【分析】

先根据乙的方差比甲的方差小，再根据方差越大，波动就越大，数据越不稳定，方差越小，波动越小，数据越稳定即可得出答案．

【详解】

解：∵，，

∴，

∴乙运动员的成绩更稳定；

故答案为：乙．

【点睛】

本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

3、一般水平    波动大小   

【分析】

根据平均数和方差的意义进行回答即可．

【详解】

解：平均数反映一组数据的一般水平，方差则反映一组数据在平均数左右的波动大小，

故答案为：一般水平；波动大小

【点睛】

本题考查了平均数和方差的区别，熟练掌握平均数和方差的意义是解答本题的关键．

4、3，18，9

【分析】

分别求得这三种鞋销售数量的占比，然后×90即可算出．

【详解】

解：根据题意可得：销售的某种女鞋30双，24厘米、24.5厘米和25厘米三种女鞋数量各为1、6、3；则要购进90双这种女鞋，购进这三种女鞋数量各应是：

（双）、（双）、（双），

故填：3，18，9．

【点睛】

考查了综合运用统计知识解决问题的能力，属于基础题型．

5、

【分析】

根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．

【详解】

解：整数51至100是整数1至50的每一个数都加上50所得，

一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，波动程度不变，方差不变，

则．

故答案为：．

【点睛】

本题考查方差的意义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．

三、解答题

1、（1）50；（2）4，32；（3）21600

【分析】

（1）由B等级的人数及其所占百分比即可求出被调查的总人数；
（2）用总人数减去B、C、D的人数即可得出a的值，用C等级人数除以被调查总人数即可得出其对应百分比；
（3）用总人数乘以样本中C、D人数所占比例即可．

【详解】

解：（1）本次被抽取的教职工共有10÷20%＝50（名），
故答案为：50；
（2）a＝50−（10＋16＋20）＝4，
扇形统计图中“C”部分所占百分比为×100%＝32%，
故答案为：4，32；
（3）志愿服务时间多于60小时的教职工大约有30000×＝21600（人）．

【点睛】

此题主要考查了扇形统计图、频数（率）分布表，以及样本估计总体，关键是正确从扇形统计图和表格中得到所用信息．

2、（1）80   40；（2），；（3）答案不唯一，言之有理即可．如：该县大部分市民认为造成雾霾天气的主要原因是汽车尾气排放或工厂污染．

【分析】

（1）根据D组频数及其所占百分比求得样本容量，再根据频数=总数×频率求出a．根据各组频数之和等于总数，求出b；

（2）用C组的人数除以总人数即得出其所占百分比，用样本中E组所占百分比乘以即可；

（3）根据题目中的数据推断结论即可，答案不唯一．

【详解】

解：（1）人，

，

，

故答案为：80 ，40；

（2）C组所占的百分比为：，

E组所在扇形的圆心角的度数为：．

故答案为：，；

（3）答案不唯一，言之有理即可．如：该县大部分市民认为造成雾霾天气的主要原因是汽车尾气排放或工厂污染；

【点睛】

本题考查的是统计表和扇形统计图的知识，正确获取图表中的信息并准确进行计算是解题的关键．

3、（1）40，18%；（2）1.5；（3）见解析；（4）1.32小时；（5）270人

【分析】

（1）根据频率＝，计算即可解决问题；

（2）根据中位数的定义进行解答；

（3）根据（1）求出的x的值，即可补全统计图；

（4）根据平均数的定义计算即可；

（5）用该校的总人数乘以双休日在各自社区参加2小时义务劳动的学生所占的百分比即可．

【详解】

解：（1）被调查的同学的总人数为（人），

∴，，

故答案为：40，0.18；

（2）把这些数从小到大排列，中位数是第50、51个数的平均数，

则中位数是（小时）；

故答案为：1.5；

（3）根据（1）补全统计图如下：

（4）所有被调查同学的平均劳动时间是：（小时）；

（5）根据题意得：（人），

答：估计双休日在各自社区参加2小时义务劳动的学生有270人．

【点睛】

本题主要考查了条形统计图，平均数、中位数，用样本估计总体，根据统计图找出有用信息是解答此题的关键．

4、（1）a＝2，b＝90，c＝90，d＝90；（2）31；（3）八年级的学生成绩好，理由见解析；（4）1040人

【分析】

（1）通过八年级抽取人数10人，即可得到a，根据中位数、平均数、众数的定义得到b、c、d；

（2）根据方差的计算公式，求解即可；

（3）由于中位数和众数相同，通过分析平均数和方差即可得到答案；

（4）根据抽取的人中，不低于90分的比例即可得到两个年级共多少名学生达到“优秀”．

【详解】

解：（1）观察八年级95分的有2人，故a＝2；

七年级成绩按从小到大顺序排列为80，85，85，85，90，90，90，95，95，100，

七年级的中位数为，故b＝90；

八年级的平均数为：，故c＝90；

八年级中90分的最多，故d＝90；

（2）七年级的方差；

（3）八年级的学生成绩好，理由如下：

七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更稳定，

综上，八年级的学生成绩好；

（4）∵（人），

∴估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有1040人．

【点睛】

本题考查了中位数、众数、方差、平均数，以及样本估计总体，审清题中数据并了解基本的定义是解题的关键．

5、（1）100；（2）36；（3）见解析；（4）286

【分析】

（1）用乒乓球的人数除以其百分比即可得到调查的学生数；

（2）先计算出喜欢篮球的人数，得到喜欢排球的人数，根据公式计算喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角度数；

（3）根据（2）的数据补全统计图；

（4）用学校的总人数乘以喜欢排球的比例即可得到答案．

【详解】

解：调查的学生有（名），

故答案为：100；

（2）喜欢篮球的人数有（名），

喜欢排球的人数是100-30-20-40=10（名），

∴喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是，

故答案为：36；

（3）如图：

（4）该校喜欢排球的学生有（人）．

【点睛】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．