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2021-2022学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期末数学试卷 word，解析版
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这是一份2021-2022学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期末数学试卷 word，解析版，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。
1．（3分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝﹣
C．y＝（x﹣5）2﹣x2 D．y＝x（1﹣x）
2．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．任意一个五边形的外角和等于540°
B．投掷一个均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次
C．367个同学参加一个聚会，他们中至少有两名同学的生日是同月同日
D．正月十五雪打灯
3．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x+3）2﹣2 C．x＝（x﹣3）2+2 D．y＝（x﹣3）2﹣2
4．（3分）两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么小三角形的周长为（ ）
A．14cm B．16cm C．18cm D．30cm
5．（3分）如果规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，就称此图形为旋转对称图形，旋转的角度称为旋转角．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形
6．（3分）如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）m．
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（3分）函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则选项中函数y＝a（x﹣b）2+c的图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）“苏堤南起南屏山麓，北到栖霞岭下，全长2.8公里．苏堤上有名的六吊桥由南到北分别是映波桥、锁澜桥、望山桥、压堤桥、东浦桥、跨虹桥．压堤桥约居苏堤南北的黄金分割位，旧时又是湖船东来西去的水道通行．”从地图上看，压堤桥位于苏堤北部，请结合上述描述，估计压堤桥到栖霞岭下的大致距离为（ ）
A．0.9公里 B．1.1公里 C．1.3公里 D．1.4公里
9．（3分）过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，点A，B，C为该抛物线上的三点，如图y表示运行的竖直高度（单位：m），x表示水平距离（单位：m）．由此可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
10．（3分）如图，半圆O的直径AB＝2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD＝1，延长AD、BC相交于点E．记∠E的度数为x°，△EDC的面积为y．则以下结论正确的是（ ）
A．x随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
B．x不随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
C．x随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
D．x不随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）已知扇形的圆心角为120°，直径为6cm，那么这个扇形的面积是 cm2．
12．（4分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2．
13．（4分）如图，AB是半圆O的直径，∠ABC＝40°，则∠D＝ ．
14．（4分）某个二次函数，当x≥1时，y随x的增大而增大，请写出一个满足条件的函数表达式 ．
15．（4分）为了测量河宽AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝10米，OC＝15米，OA＝45米，则河宽AB＝ 米．
16．（4分）如图，已知点E为矩形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，延长DE交以CD为直径的半圆于点F，当AE＝20，BE＝15，DF＝24时，则矩形AD边的长为 ．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分。
17．（6分）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．小王的解答过程如下：
解：当x＝﹣1时，y＝1；
当x＝2时，y＝4；
所以函数y的最小值为1，最大值为4．
小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．
18．（8分）如图是三个可以自由转动的转盘，甲乙两人中，甲转动转盘，乙记录转盘停下时指针所指的数字．
（1）当转盘A和转盘B所指的数字之和为4时，就算甲赢，否则就算乙赢．请直接写出甲赢的概率．
（2）转动三个转盘得到三个数字，当这三个数字中有相同数时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并说明理由．
19．（8分）已知，如图，作△ABC的外接圆，在AB上方作弦AD使AD＝BC，连接CD，并求证：CD∥AB．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
20．（10分）加速度表示的是物体运动速度变化的大小，一个物体沿直线运动，且在运动的过程中加速度保持不变，则称这一物体在做匀加速直线运动．该物体初始速度为v0，加速度为a，加速时间t秒后速度为vt，由加速度定义可知：vt＝v0+at，整个加速期的平均速度为．若v0＝3米/秒，a＝1米/秒2．
（1）求5秒加速期的平均速度？
（2）设匀加速直线运动的路程为s，求s关于t的函数表达式（匀加速直线运动的路程＝运动时间×平均速度）．
21．（10分）将一副三角尺如图1放置，其中AD为Rt△ABC中BC边上的高，DE，DF分别交AB，AC于点M和N．
（1）求证：△AMD∽△CND；
（2）如图2，将Rt△DEF绕点D旋转，此时EF∥BC，且E，A，F共线，判断是否成立，并给出证明．
22．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣2
﹣2
n
…
（1）直接写出n的值，并求该二次函数的解析式；
（2）点Q（m，4）能否在该函数图象上？若能，请求出m的值，若不能，请说明理由．
23．（12分）已知Rt△ABC，两直角边AB与AC之和为4，作△ABC的外接圆，点O为圆心．
（1）如图1，连结OA，当90°时，求OA的值．
（2）如图2，过点A作AD⊥BC于点D，点E为AC中点，连结DE，求证：2∠ADE．
（3）如图3，作∠BAC的平分线交BC于点F，线段AF是否存在最大值？若存在，请求出AF的最大值；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。
1．（3分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝﹣
C．y＝（x﹣5）2﹣x2 D．y＝x（1﹣x）
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【解答】解：A．y＝2x﹣3，不是二次函数，故A不符合题意；
B．y＝﹣，不是二次函数，故B不符合题意；
C．y＝（x﹣5）2﹣x2＝x2﹣10x+25﹣x2＝﹣10x+25，不是二次函数，故C不符合题意；
D．y＝x（1﹣x）＝﹣x2+x，是二次函数，故D符合题意；
故选：D．
2．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．任意一个五边形的外角和等于540°
B．投掷一个均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次
C．367个同学参加一个聚会，他们中至少有两名同学的生日是同月同日
D．正月十五雪打灯
【分析】直接利用随机事件以及不可能事件、必然事件的定义分析得出答案．
【解答】解：A、任意一个五边形的外角和等于540°，是不可能事件，故此选项不合题意；
B、投掷一个均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次，是随机事件，故此选项不合题意；
C、367个同学参加一个聚会，他们中至少有两名同学的生日是同月同日，是必然事件，故此选项符合题意；
D、正月十五雪打灯，是随机事件，故此选项不合题意．
故选：C．
3．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x+3）2﹣2 C．x＝（x﹣3）2+2 D．y＝（x﹣3）2﹣2
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的解析式为y＝（x+3）2+2．
故选：A．
4．（3分）两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么小三角形的周长为（ ）
A．14cm B．16cm C．18cm D．30cm
【分析】利用相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比得到两三角形的周长的比为5：3，于是可设两三角形的周长分别为5xcm，3xcm，所以5x﹣3x＝12，然后解方程求出x后就是3x即可．
【解答】解：根据题意得两三角形的周长的比为5：3，
设两三角形的周长分别为5xcm，3xcm，
则5x﹣3x＝12，解得x＝6，
所以3x＝18，
即小三角形的周长为18cm．
故选：C．
5．（3分）如果规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，就称此图形为旋转对称图形，旋转的角度称为旋转角．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形
【分析】分别求出各旋转对称图形的最小旋转角，继而可作出判断．
【解答】解：A．正三角形的最小旋转角是120°，故此选项不合题意；
B．正方形的旋转角度是90°，故此选项不合题意；
C．正六边形的最小旋转角是60°，故此选项符合题意；
D．正八边形的最小旋转角是45°，故此选项不合题意；
故选：C．
6．（3分）如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）m．
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据题意，画出示意图，易得：△EDC∽△FDC，进而可得＝，即DC2＝ED•FD，代入数据可得答案．
【解答】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，FD＝8m；
∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠F，
∴△EDC∽△CDF，
∴＝，即DC2＝ED•FD＝2×8＝16，
解得CD＝4m．
故选：B．
7．（3分）函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则选项中函数y＝a（x﹣b）2+c的图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据y＝ax2+bx+c的图象得到a、b、c的正负情况，然后即可得到函数y＝a（x﹣b）2+c的图象的开口方向，顶点坐标解顶点坐标所在的位置，从而可以判断哪个选项中图象符合题意．
【解答】解：由y＝ax2+bx+c的图象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
∵函数y＝a（x﹣b）2+c，
∴该函数的图象开口向下，顶点坐标为（b，c），且该函数图象的顶点在第一象限，
故选：B．
8．（3分）“苏堤南起南屏山麓，北到栖霞岭下，全长2.8公里．苏堤上有名的六吊桥由南到北分别是映波桥、锁澜桥、望山桥、压堤桥、东浦桥、跨虹桥．压堤桥约居苏堤南北的黄金分割位，旧时又是湖船东来西去的水道通行．”从地图上看，压堤桥位于苏堤北部，请结合上述描述，估计压堤桥到栖霞岭下的大致距离为（ ）
A．0.9公里 B．1.1公里 C．1.3公里 D．1.4公里
【分析】设压堤桥到栖霞岭下的大致距离为x公里，由题意和黄金分割的定义列出方程，解方程即可．
【解答】解：设压堤桥到栖霞岭下的大致距离为x公里，
由题意得：＝，
解得：x≈1.1，
即压堤桥到栖霞岭下的大致距离为1.1公里，
故选：B．
9．（3分）过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，点A，B，C为该抛物线上的三点，如图y表示运行的竖直高度（单位：m），x表示水平距离（单位：m）．由此可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
【分析】根据函数图象，可以得到对称轴x的取值范围，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：设该抛物线的对称轴为x，
由图象可得，
解得6＜x＜9，
故选：C．
10．（3分）如图，半圆O的直径AB＝2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD＝1，延长AD、BC相交于点E．记∠E的度数为x°，△EDC的面积为y．则以下结论正确的是（ ）
A．x随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
B．x不随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
C．x随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
D．x不随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
【分析】连接OD，OC，可以证明△OCD是等边三角形，可得x＝60，故x不随C、D运动而变化，根据CD为定长1，∠DEC为定角60°，作以O′为圆心，CD为圆O′一条弦，使∠DO′C＝120°，此时E在圆O′上运动，由图可知：点E在圆O′上运动时，E到弦CD结论变化，即△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化．进而可以解决问题．
【解答】解：如图，连接OD，OC，
∵OD＝OC＝AB＝1，
∵CD＝1，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，
∴∠AOD+∠BOC＝120°，
∵OD＝OA，OB＝OC，
∴∠EAB＝（180°﹣∠AOD），∠EBA＝（180°﹣∠BOC），
∴∠E＝180°﹣∠EAB﹣∠EBA
＝180°﹣（180°﹣∠AOD）﹣（180°﹣∠BOC）
＝（∠AOD+∠BOC）
＝120°
＝60°，
∴x°＝60°，
∴x＝60，
故x不随C、D运动而变化，
∵CD为定长1，∠DEC为定角60°，
∴作以O′为圆心，CD为圆O′一条弦，使∠DO′C＝120°，
此时E在圆O′上运动，如图，
由图可知：点E在圆O′上运动时，E到弦CD距离变化，
即△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化．
故选：D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）已知扇形的圆心角为120°，直径为6cm，那么这个扇形的面积是 3π cm2．
【分析】利用扇形的面积的公式可得．
【解答】解：＝3πcm2．
12．（4分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 2.4 cm2．
【分析】经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可得点落入黑色部分的概率为0.6，根据边长为2cm的正方形的面积为4cm2，进而可以估计黑色部分的总面积．
【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴点落入黑色部分的概率为0.6，
∵边长为2cm的正方形的面积为4cm2，
设黑色部分的面积为S，
则＝0.6，
解得S＝2.4（cm2）．
∴估计黑色部分的总面积约为2.4cm2．
故答案为：2.4．
13．（4分）如图，AB是半圆O的直径，∠ABC＝40°，则∠D＝ 130° ．
【分析】根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，根据直角三角形的两锐角互余得出∠CAB＝90°﹣∠ABC＝50°，根据圆内接四边形的性质得出∠CAB+∠D＝180°，再求出答案即可．
【解答】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝50°，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠CAB+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠CAB＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：130°．
14．（4分）某个二次函数，当x≥1时，y随x的增大而增大，请写出一个满足条件的函数表达式 y＝（x﹣1）2，（答案不唯一） ．
【分析】根据当x≥1时，y随x的增大而增大，可以得到该函数的图象开口方向和对称轴x的取值范围，然后即可写出一个符合要求的函数解析式．
【解答】解：∵当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴该函数图象开口向上，对称轴直线x≤1，
∴符合该条件的二次函数的表达式可以是y＝（x﹣1）2，
故答案为：y＝（x﹣1）2，（答案不唯一）．
15．（4分）为了测量河宽AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝10米，OC＝15米，OA＝45米，则河宽AB＝ 30 米．
【分析】根据题意得到△OCD∽△OAB，由该相似三角形的对应边成比例求得答案．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB．
∴＝．
∵CD＝10米，OC＝15米，OA＝45米，
∴＝．
∴AB＝30．
故答案是：30．
16．（4分）如图，已知点E为矩形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，延长DE交以CD为直径的半圆于点F，当AE＝20，BE＝15，DF＝24时，则矩形AD边的长为 ．
【分析】如图，过点E作EH⊥CD于H，交AB于点T，连接CF．求出ET，EH，可得结论．
【解答】解：如图，过点E作EH⊥CD于H，交AB于点T，连接CF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵∠AEB＝90°，AE＝20，BE＝15，
∴AB＝＝＝25，
∵ET⊥AB，
∴•AE•EB＝•AB•ET，
∴ET＝＝12，
∴AT＝DH＝＝＝16，
∵CD是直径，
∴∠CFD＝90°，
∴CF＝＝＝7，
∵∠EDH＝∠CDF，∠EHD＝∠CFD＝90°，
∴△DHE∽△DFC，
∴＝，
∴＝，
∴EH＝，
∴BC＝HT＝ET+EH＝12+＝
故答案为：．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分。
17．（6分）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．小王的解答过程如下：
解：当x＝﹣1时，y＝1；
当x＝2时，y＝4；
所以函数y的最小值为1，最大值为4．
小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．
【分析】根据二次函数的性质和小王的做法，可以判断小王的做法是否正确，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：小王的做法是错误的，
正确的做法如下：
∵二次函数y＝x2，
∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是y轴，
∵﹣1≤x≤2，
∴当x＝0时取得最小值，最小值是0，
当x＝2时取得最大值，此时y＝4，
由上可得，当﹣1≤x≤1时，函数y的最小值是0，最大值是4．
18．（8分）如图是三个可以自由转动的转盘，甲乙两人中，甲转动转盘，乙记录转盘停下时指针所指的数字．
（1）当转盘A和转盘B所指的数字之和为4时，就算甲赢，否则就算乙赢．请直接写出甲赢的概率．
（2）转动三个转盘得到三个数字，当这三个数字中有相同数时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并说明理由．
【分析】（1）画出树状图，根据概率公式计算即可；
（2）画出树状图，计算出各种情况的概率，然后比较即可．相等则公平，否则不公平
【解答】解：（1）画树状图，
共有4个可能的结果，转盘A和转盘B所指的数字之和为4的结果有2个，
∴P（转盘A和转盘B所指的数字之和为4）＝＝；
（2）游戏不公平，
根据题意画树状图如下：
共有（1，2，1）、（1，2，3）、（1，3，1）、（1，3，3）、（2，2，1）、（2，2，3）、（2，3，1）、（2，3，3）8种等可能结果，
其中6种结果含有相同数字，分别是（1，2，1）、（1，3，1）、（1，3，3）、（2，2，1）、（2，2，3）、（2，3，3），
因此P（甲获胜）＝＝，P（乙获胜）＝1﹣＝．
故游戏不公平．
19．（8分）已知，如图，作△ABC的外接圆，在AB上方作弦AD使AD＝BC，连接CD，并求证：CD∥AB．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作线段AB，BC的垂直平分线交于点O，连接OA，以O为圆心，OA为半径作⊙O，以A为圆心，BC为半径作弧，在AB的上方交⊙O于点D，连接CD即可．
【解答】解：如图，⊙O，线段CD即为所求．
理由：∵＝，
∴∠ACD＝∠CAB，
∴CD∥AB．
20．（10分）加速度表示的是物体运动速度变化的大小，一个物体沿直线运动，且在运动的过程中加速度保持不变，则称这一物体在做匀加速直线运动．该物体初始速度为v0，加速度为a，加速时间t秒后速度为vt，由加速度定义可知：vt＝v0+at，整个加速期的平均速度为．若v0＝3米/秒，a＝1米/秒2．
（1）求5秒加速期的平均速度？
（2）设匀加速直线运动的路程为s，求s关于t的函数表达式（匀加速直线运动的路程＝运动时间×平均速度）．
【分析】（1）根据已知代入公式即可得答案；
（2）先表达vt＝3+t，再求出平均速度，即可根据路程＝运动时间×平均速度得到答案．
【解答】解：（1）∵vt＝v0+at，v0＝3米/秒，a＝1米/秒2，t＝5秒，
∴加速5秒后速度为vt＝3+1×5＝8（米/秒），
∴5秒加速期的平均速度是＝（米/秒）；
（2）∵v0＝3米/秒，a＝1米/秒2，
∴vt＝3+1×t＝3+t，
∴加速期的平均速度为＝3+t，
∴s＝（3+t）•t＝3t+t2，
答：s关于t的函数表达式是s＝3t+t2．
21．（10分）将一副三角尺如图1放置，其中AD为Rt△ABC中BC边上的高，DE，DF分别交AB，AC于点M和N．
（1）求证：△AMD∽△CND；
（2）如图2，将Rt△DEF绕点D旋转，此时EF∥BC，且E，A，F共线，判断是否成立，并给出证明．
【分析】（1）由直角三角形的性质证出∠CDN＝∠ADM，∠MAD＝∠ACD，由相似三角形的判定可得出结论；
（2）证明△AEM∽△ADN，由相似三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD为Rt△ABC中BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADN+∠CDN＝90°，
∵∠ADN+∠ADM＝90°，
∴∠CDN＝∠ADM，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠MAD+∠DAC＝90°，
∵∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠MAD＝∠ACD，
∴△AMD∽△CND；
（2）解：成立．
证明：∵EF∥BC，
∴∠EAD＝∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAM＝∠DAN，
∵△EDF为等腰直角三角形，
∴∠E＝45°，
∴∠ADE＝∠ADF＝45°，
∴△AEM∽△ADN，
∴．
22．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣2
﹣2
n
…
（1）直接写出n的值，并求该二次函数的解析式；
（2）点Q（m，4）能否在该函数图象上？若能，请求出m的值，若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可求得c的值，根据抛物线的对称性即可求得n的值，利用待定系数法求出二次函数解析式即可．
（2）先根据二次函数的性质判断，然后把y＝4代入解析式，得到关于x的一元二次方程，解方程即可求得m的值．
【解答】解：（1）根据图表可知：
二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，﹣2），（1，﹣2），
∴对称轴为直线x＝＝，c＝﹣2，
∵（﹣1，0）的对称点为（2，0），
∴n＝0，
设y＝ax2+bx﹣2，
将（﹣1，0）和（1，﹣2）代入得，
解得，
∴这个二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）点Q能在该函数图象上，
把y＝4代入y＝x2﹣x﹣2，得x2﹣x﹣2＝4．
解得x＝3或x＝﹣2
∴m的值是3或﹣2．
23．（12分）已知Rt△ABC，两直角边AB与AC之和为4，作△ABC的外接圆，点O为圆心．
（1）如图1，连结OA，当90°时，求OA的值．
（2）如图2，过点A作AD⊥BC于点D，点E为AC中点，连结DE，求证：2∠ADE．
（3）如图3，作∠BAC的平分线交BC于点F，线段AF是否存在最大值？若存在，请求出AF的最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用圆周角定理的推论可得∠ABC＝45°，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可；
（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和相似三角形的判定与性质可得∠ADE＝∠B，再利用圆周角定理的推论可得结论；
（3）过点F作FD⊥AB于点D，FE⊥AC于点E，利用角平分线的定义和正方形的判定定理可得矩形ADFE为正方形，设正方形ADFE的边长为x，BD＝m，通过建立函数模型，用含m的式子表示出正方形的边长，利用配方法求得正方形边长的最大值，利用AF＝DF即可求得结论．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝90°，
∴BC是⊙O的直径．
∵90°，
∴∠ABC＝45°．
∴Rt△ABC为等腰直角三角形．
∴BA＝AC．
∵两直角边AB与AC之和为4，
∴BA＝AC＝2．
∴BC＝．
∴OA＝BC＝．
（2）证明：∵AD⊥BC于点D，点E为AC中点，
∴DE＝＝AE＝EC．
∴∠EDA＝∠EAD．
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴△ABD∽△CAD．
∴∠B＝∠DAC．
∴∠ADE＝∠B．
∵圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，
∴∠B．
∴2∠ADE．
（3）解：线段AF存在最大值，理由：
过点F作FD⊥AB于点D，FE⊥AC于点E，如图，
∵∠BAC＝90°，FD⊥AB，FE⊥AC，
∴四边形ADFE为矩形．
∵∠BAC＝90°，AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝∠CAF＝45°．
∴矩形ADFE为正方形．
∴FD＝FE＝AD＝AE，AF＝．
设正方形ADFE的边长为x，BD＝m，
∴DF＝AD＝AE＝x，AB＝x+m．
∵AC+AB＝4，
∴AC＝4﹣x﹣m．
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC．
∴．
∴．
∴x2+mx＝4m﹣mx﹣m2．
∴x2+2mx+m2＝4m．
即：（x+m）2＝4m．
∵x＞0，m＞0，
∴x+m＝2．
∴x＝﹣m+2＝﹣+1．
∵﹣1＜0，
∴当＝1即m＝1时，x有最大值1，
∴当m＝1时，DF由最大值1．
∵AF＝，
∴AF有最大值为．
2021-2022学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。
1．（3分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝﹣
C．y＝（x﹣5）2﹣x2 D．y＝x（1﹣x）
2．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．任意一个五边形的外角和等于540°
B．投掷一个均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次
C．367个同学参加一个聚会，他们中至少有两名同学的生日是同月同日
D．正月十五雪打灯
3．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x+3）2﹣2 C．x＝（x﹣3）2+2 D．y＝（x﹣3）2﹣2
4．（3分）两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么小三角形的周长为（ ）
A．14cm B．16cm C．18cm D．30cm
5．（3分）如果规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，就称此图形为旋转对称图形，旋转的角度称为旋转角．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形
6．（3分）如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）m．
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（3分）函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则选项中函数y＝a（x﹣b）2+c的图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）“苏堤南起南屏山麓，北到栖霞岭下，全长2.8公里．苏堤上有名的六吊桥由南到北分别是映波桥、锁澜桥、望山桥、压堤桥、东浦桥、跨虹桥．压堤桥约居苏堤南北的黄金分割位，旧时又是湖船东来西去的水道通行．”从地图上看，压堤桥位于苏堤北部，请结合上述描述，估计压堤桥到栖霞岭下的大致距离为（ ）
A．0.9公里 B．1.1公里 C．1.3公里 D．1.4公里
9．（3分）过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，点A，B，C为该抛物线上的三点，如图y表示运行的竖直高度（单位：m），x表示水平距离（单位：m）．由此可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
10．（3分）如图，半圆O的直径AB＝2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD＝1，延长AD、BC相交于点E．记∠E的度数为x°，△EDC的面积为y．则以下结论正确的是（ ）
A．x随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
B．x不随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
C．x随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
D．x不随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）已知扇形的圆心角为120°，直径为6cm，那么这个扇形的面积是 cm2．
12．（4分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2．
13．（4分）如图，AB是半圆O的直径，∠ABC＝40°，则∠D＝ ．
14．（4分）某个二次函数，当x≥1时，y随x的增大而增大，请写出一个满足条件的函数表达式 ．
15．（4分）为了测量河宽AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝10米，OC＝15米，OA＝45米，则河宽AB＝ 米．
16．（4分）如图，已知点E为矩形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，延长DE交以CD为直径的半圆于点F，当AE＝20，BE＝15，DF＝24时，则矩形AD边的长为 ．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分。
17．（6分）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．小王的解答过程如下：
解：当x＝﹣1时，y＝1；
当x＝2时，y＝4；
所以函数y的最小值为1，最大值为4．
小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．
18．（8分）如图是三个可以自由转动的转盘，甲乙两人中，甲转动转盘，乙记录转盘停下时指针所指的数字．
（1）当转盘A和转盘B所指的数字之和为4时，就算甲赢，否则就算乙赢．请直接写出甲赢的概率．
（2）转动三个转盘得到三个数字，当这三个数字中有相同数时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并说明理由．
19．（8分）已知，如图，作△ABC的外接圆，在AB上方作弦AD使AD＝BC，连接CD，并求证：CD∥AB．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
20．（10分）加速度表示的是物体运动速度变化的大小，一个物体沿直线运动，且在运动的过程中加速度保持不变，则称这一物体在做匀加速直线运动．该物体初始速度为v0，加速度为a，加速时间t秒后速度为vt，由加速度定义可知：vt＝v0+at，整个加速期的平均速度为．若v0＝3米/秒，a＝1米/秒2．
（1）求5秒加速期的平均速度？
（2）设匀加速直线运动的路程为s，求s关于t的函数表达式（匀加速直线运动的路程＝运动时间×平均速度）．
21．（10分）将一副三角尺如图1放置，其中AD为Rt△ABC中BC边上的高，DE，DF分别交AB，AC于点M和N．
（1）求证：△AMD∽△CND；
（2）如图2，将Rt△DEF绕点D旋转，此时EF∥BC，且E，A，F共线，判断是否成立，并给出证明．
22．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣2
﹣2
n
…
（1）直接写出n的值，并求该二次函数的解析式；
（2）点Q（m，4）能否在该函数图象上？若能，请求出m的值，若不能，请说明理由．
23．（12分）已知Rt△ABC，两直角边AB与AC之和为4，作△ABC的外接圆，点O为圆心．
（1）如图1，连结OA，当90°时，求OA的值．
（2）如图2，过点A作AD⊥BC于点D，点E为AC中点，连结DE，求证：2∠ADE．
（3）如图3，作∠BAC的平分线交BC于点F，线段AF是否存在最大值？若存在，请求出AF的最大值；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。
1．（3分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝﹣
C．y＝（x﹣5）2﹣x2 D．y＝x（1﹣x）
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【解答】解：A．y＝2x﹣3，不是二次函数，故A不符合题意；
B．y＝﹣，不是二次函数，故B不符合题意；
C．y＝（x﹣5）2﹣x2＝x2﹣10x+25﹣x2＝﹣10x+25，不是二次函数，故C不符合题意；
D．y＝x（1﹣x）＝﹣x2+x，是二次函数，故D符合题意；
故选：D．
2．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．任意一个五边形的外角和等于540°
B．投掷一个均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次
C．367个同学参加一个聚会，他们中至少有两名同学的生日是同月同日
D．正月十五雪打灯
【分析】直接利用随机事件以及不可能事件、必然事件的定义分析得出答案．
【解答】解：A、任意一个五边形的外角和等于540°，是不可能事件，故此选项不合题意；
B、投掷一个均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次，是随机事件，故此选项不合题意；
C、367个同学参加一个聚会，他们中至少有两名同学的生日是同月同日，是必然事件，故此选项符合题意；
D、正月十五雪打灯，是随机事件，故此选项不合题意．
故选：C．
3．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x+3）2﹣2 C．x＝（x﹣3）2+2 D．y＝（x﹣3）2﹣2
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的解析式为y＝（x+3）2+2．
故选：A．
4．（3分）两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么小三角形的周长为（ ）
A．14cm B．16cm C．18cm D．30cm
【分析】利用相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比得到两三角形的周长的比为5：3，于是可设两三角形的周长分别为5xcm，3xcm，所以5x﹣3x＝12，然后解方程求出x后就是3x即可．
【解答】解：根据题意得两三角形的周长的比为5：3，
设两三角形的周长分别为5xcm，3xcm，
则5x﹣3x＝12，解得x＝6，
所以3x＝18，
即小三角形的周长为18cm．
故选：C．
5．（3分）如果规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，就称此图形为旋转对称图形，旋转的角度称为旋转角．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形
【分析】分别求出各旋转对称图形的最小旋转角，继而可作出判断．
【解答】解：A．正三角形的最小旋转角是120°，故此选项不合题意；
B．正方形的旋转角度是90°，故此选项不合题意；
C．正六边形的最小旋转角是60°，故此选项符合题意；
D．正八边形的最小旋转角是45°，故此选项不合题意；
故选：C．
6．（3分）如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）m．
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据题意，画出示意图，易得：△EDC∽△FDC，进而可得＝，即DC2＝ED•FD，代入数据可得答案．
【解答】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，FD＝8m；
∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠F，
∴△EDC∽△CDF，
∴＝，即DC2＝ED•FD＝2×8＝16，
解得CD＝4m．
故选：B．
7．（3分）函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则选项中函数y＝a（x﹣b）2+c的图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据y＝ax2+bx+c的图象得到a、b、c的正负情况，然后即可得到函数y＝a（x﹣b）2+c的图象的开口方向，顶点坐标解顶点坐标所在的位置，从而可以判断哪个选项中图象符合题意．
【解答】解：由y＝ax2+bx+c的图象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
∵函数y＝a（x﹣b）2+c，
∴该函数的图象开口向下，顶点坐标为（b，c），且该函数图象的顶点在第一象限，
故选：B．
8．（3分）“苏堤南起南屏山麓，北到栖霞岭下，全长2.8公里．苏堤上有名的六吊桥由南到北分别是映波桥、锁澜桥、望山桥、压堤桥、东浦桥、跨虹桥．压堤桥约居苏堤南北的黄金分割位，旧时又是湖船东来西去的水道通行．”从地图上看，压堤桥位于苏堤北部，请结合上述描述，估计压堤桥到栖霞岭下的大致距离为（ ）
A．0.9公里 B．1.1公里 C．1.3公里 D．1.4公里
【分析】设压堤桥到栖霞岭下的大致距离为x公里，由题意和黄金分割的定义列出方程，解方程即可．
【解答】解：设压堤桥到栖霞岭下的大致距离为x公里，
由题意得：＝，
解得：x≈1.1，
即压堤桥到栖霞岭下的大致距离为1.1公里，
故选：B．
9．（3分）过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，点A，B，C为该抛物线上的三点，如图y表示运行的竖直高度（单位：m），x表示水平距离（单位：m）．由此可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
【分析】根据函数图象，可以得到对称轴x的取值范围，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：设该抛物线的对称轴为x，
由图象可得，
解得6＜x＜9，
故选：C．
10．（3分）如图，半圆O的直径AB＝2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD＝1，延长AD、BC相交于点E．记∠E的度数为x°，△EDC的面积为y．则以下结论正确的是（ ）
A．x随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
B．x不随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
C．x随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
D．x不随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
【分析】连接OD，OC，可以证明△OCD是等边三角形，可得x＝60，故x不随C、D运动而变化，根据CD为定长1，∠DEC为定角60°，作以O′为圆心，CD为圆O′一条弦，使∠DO′C＝120°，此时E在圆O′上运动，由图可知：点E在圆O′上运动时，E到弦CD结论变化，即△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化．进而可以解决问题．
【解答】解：如图，连接OD，OC，
∵OD＝OC＝AB＝1，
∵CD＝1，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，
∴∠AOD+∠BOC＝120°，
∵OD＝OA，OB＝OC，
∴∠EAB＝（180°﹣∠AOD），∠EBA＝（180°﹣∠BOC），
∴∠E＝180°﹣∠EAB﹣∠EBA
＝180°﹣（180°﹣∠AOD）﹣（180°﹣∠BOC）
＝（∠AOD+∠BOC）
＝120°
＝60°，
∴x°＝60°，
∴x＝60，
故x不随C、D运动而变化，
∵CD为定长1，∠DEC为定角60°，
∴作以O′为圆心，CD为圆O′一条弦，使∠DO′C＝120°，
此时E在圆O′上运动，如图，
由图可知：点E在圆O′上运动时，E到弦CD距离变化，
即△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化．
故选：D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）已知扇形的圆心角为120°，直径为6cm，那么这个扇形的面积是 3π cm2．
【分析】利用扇形的面积的公式可得．
【解答】解：＝3πcm2．
12．（4分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 2.4 cm2．
【分析】经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可得点落入黑色部分的概率为0.6，根据边长为2cm的正方形的面积为4cm2，进而可以估计黑色部分的总面积．
【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴点落入黑色部分的概率为0.6，
∵边长为2cm的正方形的面积为4cm2，
设黑色部分的面积为S，
则＝0.6，
解得S＝2.4（cm2）．
∴估计黑色部分的总面积约为2.4cm2．
故答案为：2.4．
13．（4分）如图，AB是半圆O的直径，∠ABC＝40°，则∠D＝ 130° ．
【分析】根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，根据直角三角形的两锐角互余得出∠CAB＝90°﹣∠ABC＝50°，根据圆内接四边形的性质得出∠CAB+∠D＝180°，再求出答案即可．
【解答】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝50°，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠CAB+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠CAB＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：130°．
14．（4分）某个二次函数，当x≥1时，y随x的增大而增大，请写出一个满足条件的函数表达式 y＝（x﹣1）2，（答案不唯一） ．
【分析】根据当x≥1时，y随x的增大而增大，可以得到该函数的图象开口方向和对称轴x的取值范围，然后即可写出一个符合要求的函数解析式．
【解答】解：∵当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴该函数图象开口向上，对称轴直线x≤1，
∴符合该条件的二次函数的表达式可以是y＝（x﹣1）2，
故答案为：y＝（x﹣1）2，（答案不唯一）．
15．（4分）为了测量河宽AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝10米，OC＝15米，OA＝45米，则河宽AB＝ 30 米．
【分析】根据题意得到△OCD∽△OAB，由该相似三角形的对应边成比例求得答案．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB．
∴＝．
∵CD＝10米，OC＝15米，OA＝45米，
∴＝．
∴AB＝30．
故答案是：30．
16．（4分）如图，已知点E为矩形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，延长DE交以CD为直径的半圆于点F，当AE＝20，BE＝15，DF＝24时，则矩形AD边的长为 ．
【分析】如图，过点E作EH⊥CD于H，交AB于点T，连接CF．求出ET，EH，可得结论．
【解答】解：如图，过点E作EH⊥CD于H，交AB于点T，连接CF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵∠AEB＝90°，AE＝20，BE＝15，
∴AB＝＝＝25，
∵ET⊥AB，
∴•AE•EB＝•AB•ET，
∴ET＝＝12，
∴AT＝DH＝＝＝16，
∵CD是直径，
∴∠CFD＝90°，
∴CF＝＝＝7，
∵∠EDH＝∠CDF，∠EHD＝∠CFD＝90°，
∴△DHE∽△DFC，
∴＝，
∴＝，
∴EH＝，
∴BC＝HT＝ET+EH＝12+＝
故答案为：．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分。
17．（6分）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．小王的解答过程如下：
解：当x＝﹣1时，y＝1；
当x＝2时，y＝4；
所以函数y的最小值为1，最大值为4．
小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．
【分析】根据二次函数的性质和小王的做法，可以判断小王的做法是否正确，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：小王的做法是错误的，
正确的做法如下：
∵二次函数y＝x2，
∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是y轴，
∵﹣1≤x≤2，
∴当x＝0时取得最小值，最小值是0，
当x＝2时取得最大值，此时y＝4，
由上可得，当﹣1≤x≤1时，函数y的最小值是0，最大值是4．
18．（8分）如图是三个可以自由转动的转盘，甲乙两人中，甲转动转盘，乙记录转盘停下时指针所指的数字．
（1）当转盘A和转盘B所指的数字之和为4时，就算甲赢，否则就算乙赢．请直接写出甲赢的概率．
（2）转动三个转盘得到三个数字，当这三个数字中有相同数时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并说明理由．
【分析】（1）画出树状图，根据概率公式计算即可；
（2）画出树状图，计算出各种情况的概率，然后比较即可．相等则公平，否则不公平
【解答】解：（1）画树状图，
共有4个可能的结果，转盘A和转盘B所指的数字之和为4的结果有2个，
∴P（转盘A和转盘B所指的数字之和为4）＝＝；
（2）游戏不公平，
根据题意画树状图如下：
共有（1，2，1）、（1，2，3）、（1，3，1）、（1，3，3）、（2，2，1）、（2，2，3）、（2，3，1）、（2，3，3）8种等可能结果，
其中6种结果含有相同数字，分别是（1，2，1）、（1，3，1）、（1，3，3）、（2，2，1）、（2，2，3）、（2，3，3），
因此P（甲获胜）＝＝，P（乙获胜）＝1﹣＝．
故游戏不公平．
19．（8分）已知，如图，作△ABC的外接圆，在AB上方作弦AD使AD＝BC，连接CD，并求证：CD∥AB．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作线段AB，BC的垂直平分线交于点O，连接OA，以O为圆心，OA为半径作⊙O，以A为圆心，BC为半径作弧，在AB的上方交⊙O于点D，连接CD即可．
【解答】解：如图，⊙O，线段CD即为所求．
理由：∵＝，
∴∠ACD＝∠CAB，
∴CD∥AB．
20．（10分）加速度表示的是物体运动速度变化的大小，一个物体沿直线运动，且在运动的过程中加速度保持不变，则称这一物体在做匀加速直线运动．该物体初始速度为v0，加速度为a，加速时间t秒后速度为vt，由加速度定义可知：vt＝v0+at，整个加速期的平均速度为．若v0＝3米/秒，a＝1米/秒2．
（1）求5秒加速期的平均速度？
（2）设匀加速直线运动的路程为s，求s关于t的函数表达式（匀加速直线运动的路程＝运动时间×平均速度）．
【分析】（1）根据已知代入公式即可得答案；
（2）先表达vt＝3+t，再求出平均速度，即可根据路程＝运动时间×平均速度得到答案．
【解答】解：（1）∵vt＝v0+at，v0＝3米/秒，a＝1米/秒2，t＝5秒，
∴加速5秒后速度为vt＝3+1×5＝8（米/秒），
∴5秒加速期的平均速度是＝（米/秒）；
（2）∵v0＝3米/秒，a＝1米/秒2，
∴vt＝3+1×t＝3+t，
∴加速期的平均速度为＝3+t，
∴s＝（3+t）•t＝3t+t2，
答：s关于t的函数表达式是s＝3t+t2．
21．（10分）将一副三角尺如图1放置，其中AD为Rt△ABC中BC边上的高，DE，DF分别交AB，AC于点M和N．
（1）求证：△AMD∽△CND；
（2）如图2，将Rt△DEF绕点D旋转，此时EF∥BC，且E，A，F共线，判断是否成立，并给出证明．
【分析】（1）由直角三角形的性质证出∠CDN＝∠ADM，∠MAD＝∠ACD，由相似三角形的判定可得出结论；
（2）证明△AEM∽△ADN，由相似三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD为Rt△ABC中BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADN+∠CDN＝90°，
∵∠ADN+∠ADM＝90°，
∴∠CDN＝∠ADM，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠MAD+∠DAC＝90°，
∵∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠MAD＝∠ACD，
∴△AMD∽△CND；
（2）解：成立．
证明：∵EF∥BC，
∴∠EAD＝∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAM＝∠DAN，
∵△EDF为等腰直角三角形，
∴∠E＝45°，
∴∠ADE＝∠ADF＝45°，
∴△AEM∽△ADN，
∴．
22．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣2
﹣2
n
…
（1）直接写出n的值，并求该二次函数的解析式；
（2）点Q（m，4）能否在该函数图象上？若能，请求出m的值，若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可求得c的值，根据抛物线的对称性即可求得n的值，利用待定系数法求出二次函数解析式即可．
（2）先根据二次函数的性质判断，然后把y＝4代入解析式，得到关于x的一元二次方程，解方程即可求得m的值．
【解答】解：（1）根据图表可知：
二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，﹣2），（1，﹣2），
∴对称轴为直线x＝＝，c＝﹣2，
∵（﹣1，0）的对称点为（2，0），
∴n＝0，
设y＝ax2+bx﹣2，
将（﹣1，0）和（1，﹣2）代入得，
解得，
∴这个二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）点Q能在该函数图象上，
把y＝4代入y＝x2﹣x﹣2，得x2﹣x﹣2＝4．
解得x＝3或x＝﹣2
∴m的值是3或﹣2．
23．（12分）已知Rt△ABC，两直角边AB与AC之和为4，作△ABC的外接圆，点O为圆心．
（1）如图1，连结OA，当90°时，求OA的值．
（2）如图2，过点A作AD⊥BC于点D，点E为AC中点，连结DE，求证：2∠ADE．
（3）如图3，作∠BAC的平分线交BC于点F，线段AF是否存在最大值？若存在，请求出AF的最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用圆周角定理的推论可得∠ABC＝45°，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可；
（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和相似三角形的判定与性质可得∠ADE＝∠B，再利用圆周角定理的推论可得结论；
（3）过点F作FD⊥AB于点D，FE⊥AC于点E，利用角平分线的定义和正方形的判定定理可得矩形ADFE为正方形，设正方形ADFE的边长为x，BD＝m，通过建立函数模型，用含m的式子表示出正方形的边长，利用配方法求得正方形边长的最大值，利用AF＝DF即可求得结论．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝90°，
∴BC是⊙O的直径．
∵90°，
∴∠ABC＝45°．
∴Rt△ABC为等腰直角三角形．
∴BA＝AC．
∵两直角边AB与AC之和为4，
∴BA＝AC＝2．
∴BC＝．
∴OA＝BC＝．
（2）证明：∵AD⊥BC于点D，点E为AC中点，
∴DE＝＝AE＝EC．
∴∠EDA＝∠EAD．
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴△ABD∽△CAD．
∴∠B＝∠DAC．
∴∠ADE＝∠B．
∵圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，
∴∠B．
∴2∠ADE．
（3）解：线段AF存在最大值，理由：
过点F作FD⊥AB于点D，FE⊥AC于点E，如图，
∵∠BAC＝90°，FD⊥AB，FE⊥AC，
∴四边形ADFE为矩形．
∵∠BAC＝90°，AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝∠CAF＝45°．
∴矩形ADFE为正方形．
∴FD＝FE＝AD＝AE，AF＝．
设正方形ADFE的边长为x，BD＝m，
∴DF＝AD＝AE＝x，AB＝x+m．
∵AC+AB＝4，
∴AC＝4﹣x﹣m．
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC．
∴．
∴．
∴x2+mx＝4m﹣mx﹣m2．
∴x2+2mx+m2＝4m．
即：（x+m）2＝4m．
∵x＞0，m＞0，
∴x+m＝2．
∴x＝﹣m+2＝﹣+1．
∵﹣1＜0，
∴当＝1即m＝1时，x有最大值1，
∴当m＝1时，DF由最大值1．
∵AF＝，
∴AF有最大值为．
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