初中数学北京课改版八年级下册第十五章 四边形综合与测试综合训练题

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京改版八年级数学下册第十五章四边形同步测评 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）A． B． C． D．2、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（    ）A． B．C． D．3、下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（    ）A． B．C． D．4、下列测量方案中，能确定四边形门框为矩形的是（    ）A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否相等 D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若D为斜边AB上的中点，AB的长为10，则DC的长为（    ）A．5 B．4 C．3 D．26、如果一个多边形的外角和等于其内角和的2倍，那么这个多边形是（    ）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形7、下列说法中，正确的是（    ）A．若，，则B．90′＝1.5°C．过六边形的每一个顶点有4条对角线D．疫情防控期间，要掌握进入校园人员的体温是否正常，可采用抽样调查8、如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠BCA=60°，直线AD⊥BC于点D，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF，则在点E的运动过程中，DF的最小值是（    ）A．1 B．1.5 C．2 D．49、如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80º，那么∠CDE的度数为（    ）A．20º B．25º C．30º D．35º10、四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，且满足，则这个四边形是（    ）A．任意四边形 B．平行四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，正方形ABCD的边长为做正方形，使A，B，C，D是正方形各边的中点；做正方形，使是正方形各边的中点……以此类推，则正方形的边长为__________．             
 2、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF＝_____cm．3、若点P（m，﹣2）与Q（﹣4，2）关于原点对称，则m＝_____．4、如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为________．5、如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E、F，连接PB、PD，若AE＝2，PF＝9，则图中阴影面积为______；三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（1）如图，在中，，，，求的度数．（2）已知一个正多边形的内角和比它的外角和的倍多，求这个正多边形每个外角的度数．2、如图，在△ABC中，，，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段CB的延长线上，且，连接DE，过点A作于M．（1）依题意补全图1，并用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明；（2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为_______，使得成立，并证明．3、（教材重现）如图是数学教材第135页的部分截图．在多边形中，三角形是最基本的图形．如图4.4.5所示，每一个多边形都可以分割成若干个三角形．数一数每个多边形中三角形的个数，你能发现什么规律？在多边形中，连接不相邻的两个顶点，所得到的线段称为多边形的对角线．（问题思考）结合如图思考，从多边形的一个顶点出发，可以得到的对角线的数量，并填写表：多边形边数四五六……十二……n从一个顶点出发，得到对角线的数量1条　   　　   　……　   　……　   　（问题探究）n边形有n个顶点，每个顶点分别连接对角线后，每条对角线重复连接了一次，由此可推导出，n边形共有 　   　对角线（用含有n的代数式表示）．（问题拓展）（1）已知平面上4个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接 　   　条线段．（2）已知平面上共有15个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接 　   　条线段．（3）已知平面上共有x个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接 　   　条线段（用含有x的代数式表示，不必化简）．4、如图，在平行四边形中，E是上一点．（1）用尺规完成以下基本操作：在下方作，使得，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法)（2）在（1）所作的图形中，已知，，求的度数．5、如图，是的中位线，延长到，使，连接．求证：．
  -参考答案-一、单选题1、B【详解】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；故选B【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．2、C【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．3、D【分析】一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念逐项判断即可．【详解】A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，掌握它们的概念是关键．4、D【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴选项A不符合题意；B、∵两组对边分别相等是平行四边形，∴选项B不符合题意；C、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴对角线相等的四边形不是矩形，∴选项C不符合题意；D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，∴对角线互相平分且相等，∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、解题的关键是熟记矩形的判定定理．5、A【分析】利用直角三角形斜边的中线的性质可得答案．【详解】解：∵∠C=90°，若D为斜边AB上的中点，
∴CD=AB，
∵AB的长为10，
∴DC=5，
故选：A．【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边的中线，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．6、A【分析】多边形的外角和是360度，多边形的外角和是内角和的2倍，则多边形的内角和是180度，则这个多边形一定是三角形．【详解】解：多边形的外角和是360度，又多边形的外角和是内角和的2倍，多边形的内角和是180度，这个多边形是三角形．故选：A．【点睛】考查了多边形的外角和定理，解题的关键是掌握多边形的外角和定理．7、B【分析】由等式的基本性质可判断A，由 可判断B，由过边形的一个顶点可作条对角线可判断C，由全面调查与抽样调查的含义可判断D，从而可得答案.【详解】解：若，则故A不符合题意；90′＝故B符合题意；过六边形的每一个顶点有3条对角线，故C不符合题意；疫情防控期间，要掌握进入校园人员的体温是否正常，事关重大，一定采用全面调查，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是等式的基本性质，角度的换算，多边形的对角线问题，全面调查与抽样调查的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键.8、C【分析】取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG以及∠FCD=∠ECG，由旋转的性质可得出EC=FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出△FCD≌△ECG，进而即可得出DF=GE，再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值，此题得解．【详解】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．
∵AC=BC=8，∠BCA=60°，
∴△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，
∴CD=CG=AB=4，∠ACD=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠FCD=∠ECG，
在△FCD和△ECG中，，
∴△FCD≌△ECG（SAS），
∴DF=GE．
当EG∥BC时，EG最小，
∵点G为AC的中点，
∴此时EG=DF=CD=BC=2．
故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF=GE，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．9、C【分析】依题意得出AE=AB=AD，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC-∠ADE，从而求解．【详解】∵ADBC，
∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，
∴AE=AB=AD，
在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，
∴∠ADE=50°，
又∵∠B=80°，
∴∠ADC=80°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°．
故选：C．【点睛】考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质求得∠ADE的度数．10、B【分析】根据完全平方公式分解因式得到a=b，c=d，利用边的位置关系得到该四边形的形状．【详解】解：，，，，∴a=b，c=d，∵四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，∴c、d是对边，∴该四边形是平行四边形，故选：B．【点睛】此题考查了完全平方公式分解因式，平行四边形的判定方法，熟练掌握完全平方公式分解因式是解题的关键．二、填空题1、【分析】利用正方形ABCD的及勾股定理，求出的长，再根据勾股定理求出和的长，找出规律，即可得出正方形的边长．【详解】解：∵A，B，C，D是正方形各边的中点∴，∵正方形ABCD的边长为，即AB=，∴，解得：，∴==2，同理==2，
==4  …，
∴，
∴=，∴的边长为
故答案为：．【点睛】本题考查了正方形性质、勾股定理的应用，解此题的关键是能根据计算结果得出规律，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．2、##【分析】根据勾股定理求出AC，根据矩形性质得出∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，求出BD、OD，根据三角形中位线求出即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD， ∵AB=6cm，BC=8cm， ∴由勾股定理得：（cm）， ∴DO=5cm， ∵点E、F分别是AO、AD的中点， ∴EF=OD=2.5cm， 故答案为：2.5．【点睛】本题考查了矩形的性质的应用，勾股定理，三角形中位线的应用，解本题的关键是求出OD长及证明EF=OD．3、4【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P1（-x，-y）．【详解】解：因为点P（m，﹣2）与Q（﹣4，2）关于原点对称，所以m-4=0,即m=4，故答案为：4．【点睛】本题考查平面内两点关于原点对称的点，属于基础题，掌握相关知识是解题关键．4、【分析】根据题意连接BE，连接AE交FG于O，如图，利用菱形的性质得△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，再在在Rt△BCE中计算出BE=CE=，然后证明BE⊥AB，利用勾股定理计算出AE，从而得到OA的长；设AF=x，根据折叠的性质得到FE=FA=x，在Rt△BEF中利用勾股定理得到（2-x）2+（）2=x2，解得x，然后在Rt△AOF中利用勾股定理计算出OF，再利用余弦的定义求解即可．【详解】解：连接BE，连接AE交FG于O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，
∵E点为CD的中点，
∴CE=DE=1，BE⊥CD，
在Rt△BCE中，BE=CE=，
∵AB∥CD，
∴BE⊥AB，
∴．
∴，
设AF=x，
∵菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，
∴FE=FA=x，
∴BF=2-x，
在Rt△BEF中，（2-x）2+（）2=x2，解得:，
在Rt△AOF中，，
∴．
故答案为: ．【点睛】本题考查了折叠的性质以及菱形的性质，注意掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．5、【分析】作PM⊥AD于M，交BC于N，根据矩形的性质可得S△PEB=S△PFD即可求解.【详解】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．

则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，,∴，，∴S阴=9+9=18，故答案为：18．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明．三、解答题1、（1）；（2）每一个外角的度数是【分析】（1）根据平行线的性质可得∠B的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠A的度数；
（2）根据n边形的内角和等于外角和的3倍多180°，可得方程180（n-2）=360×3+180，再解方程即可．【详解】解：（1）∵，，，，；设这个多边形的边数为，根据题意得：，解得，即它的边数是，所以每一个外角的度数是．【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质以及多边形内角和与外角和．解题的关键是掌握多边形内角和公式，明确外角和是360°．2、（1）DM=ME，见解析；（2），见解析【分析】（1）补全图形，连接AE、AD，通过∠ABE=∠ACD，AB=AC，BE=CD，证明 △ABE ≌ △ACD，得AE=AD，再利用AM⊥DE于M，即可得到DM=EM．（2）连接AD，AE，BM ，可求出，当时，可得，由（1）得DM=EM，可知BM是△CDE的中位线从而得到，BM∥CD，得到∠ABM=135°=∠ABE．因为N为BE中点，可知从而证明△ABN ≌ △ABM得到AN=AM，由（1），△ABE ≌ △ACD，可证明∠EAB=∠DAC，AD=AE进而得到∠EAD=90°，又因为DM=EM，即可得到．【详解】（1）补全图形如下图，DM与ME之间的数量关系为DM=ME．           证明：连接AE，AD，∵ ∠BAC=90°，AB=AC，∴ ∠ABC=∠ACB=45°．∴ ∠ABE=180°-∠ABC=135°．∵ 由旋转，∠BCD=90°，∴ ∠ACD=∠ACB+∠BCD=135°．∴ ∠ABE=∠ACD．∵ AB=AC，BE=CD，∴ △ABE ≌ △ACD．        ∴ AE=AD．∵ AM⊥DE于M，∴ DM=EM．                               （2）                                    证明：连接AD，AE，BM．∵ AB=AC=1，∠BAC=90°，∴ ．∵ ，∴ ．∵ 由（1）得DM=EM，∴ BM是△CDE的中位线．  ∴ ，BM∥CD．∴ ∠EBM=∠ECD=90°．∵ ∠ABE=135°，∴ ∠ABM=135°=∠ABE．∵ N为BE中点，∴ ．∴ BM=BN．  ∵ AB=AB，∴ △ABN ≌ △ABM．∴ AN=AM．∵ 由（1），△ABE ≌ △ACD，∴ ∠EAB=∠DAC，AD=AE．∵ ∠BAC=∠DAC+∠DAB=90°，∴ ∠EAD=90°．∵ DM=EM，∴ ．∴ ．                             【点睛】本题考查了旋转的性质和三角形全等的判定及性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键．3、规律为：多边形的边数减去2，就是多边形中的三角形的个数； 2条，3条，9条，条；条；（1）6；（2）105；（3）【分析】通过观察多边形边数与其分割的三角形个数，即可发现规律利用规律，多边形的边数一个顶点出发的对角线数，直接填写表格即可先求出所有顶点得到的对角线之和，最后除以2即可得到边形的对角线条数（1）根据题意，四边形一个顶点可以得到一条，四个点共4条，再去除一半，加上四个点单独连接的4条线段，即可得到答案．（2）根据规律可以发现：十五边形的每个点可以得到12条，15点有180条，去掉一半，加上15个点组成的十五边形的的15条边，即可得到答案．（3）通过上述两小题，即可以找到对应的规律，利用规律进行求解即可．【详解】由图可以直接发现：多边形的边数与其分割的三角形个数相差2，故规律为：多边形的边数减去2，就是多边形中的三角形的个数．利用上图规律，便可以知道从五边形的一个顶点出发，得到2条对角线；六边形的一个顶点出发，得到3条对角线；十二边形的一个顶点出发，得到9条对角线；边形的一个顶点出发，得到条对角线．边形的一个顶点可以得到条对角线，故个顶点共有，由于每条对角线重复连接了一次，故n边形共有条对角线（1）解：有四个点可以组成四边形，每个点可以得到1条对角线，四个点共4条，每条对角线重复连接了一次，对角线条数为2，四边形的边数为4，一共可以连接2+4=6条线段．（2）解：有15个点可以组成十五边形，每个点可以得到12条对角线，四个点共180条，每条对角线重复连接了一次，对角线条数为90，四边形的边数为15，一共可以连接90+15=105条线段．（3）解：由前面题的规律可知：有个点可以组成边形，每个点可以得到条对角线，四个点共条，每条对角线重复连接了一次，对角线条数为，四边形的边数为，一共可以连接条线段．【点睛】本题主要是考察了图形类的规律问题以及列代数式，根据题意，找到对角线与多边形的边数关系是解决本题的关键，另外，注意本题是问的点与点之间可连接的线段数，不要只算对角线的条数．4、（1）见解析；（2）【分析】（1）延长，在射线上截取两点，使得，作的垂线，交于点，在上截取，作的中垂线，交于点，则即为所求；（2）根据三角形的外角性质以及平行线的性质即可求得的度数【详解】（1）如图所示，
 根据作图可知，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形则即为所求；（2），，由（1）可知【点睛】本题考查了尺规作图-作垂线，平行四边形的性质，三角形的外角性质，平行线的性质，掌握基本作图是解题的关键．5、见解析【分析】由已知条件可得DF=AB及DF∥AB，从而可得四边形ABFD为平行四边形，则问题解决．【详解】∵是的中位线∴DE∥AB，，AD=DC∴DF∥AB∵EF=DE∴DF=AB∴四边形ABFD为平行四边形∴AD=BF∴BF=DC【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线的性质定理，掌握它们是解答本题的关键．当然本题也可以用三角形全等的知识来解决．