数学北京课改版第十五章 四边形综合与测试精练

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京改版八年级数学下册第十五章四边形同步练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP＝MP；②AN：AB＝AM：AC；③BN＝2AN；④当∠ABC＝60°时，MN∥BC，一定正确的有（ ）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①④
2、下列说法中正确的是（ ）
A．从一个八边形的某个顶点出发共有8条对角线
B．已知C、D为线段AB上两点，若，则
C．“道路尽可能修直一点”，这是因为“两点确定一条直线”
D．用两个钉子把木条固定在墙上，用数学的知识解释是“两点之间线段最短”
3、如图，在正方形有中，E是AB上的动点，（不与A、B重合），连结DE，点A关于DE的对称点为F，连结EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作⊥DE交DG的延长线于点H，连接，那么的值为（ ）

A．1 B． C． D．2
4、已知中，，，CD是斜边AB上的中线，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
5、如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝CF＝2，CE与DF交于点H，点G为DE的中点，连接GH，则GH的长为（　　）

A． B． C．4.5 D．4.3
6、如图，在中，，点，分别是，上的点，，，点，，分别是，，的中点，则的长为（ ）．

A．4 B．10 C．6 D．8
7、如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）

A．A，B，C都不在 B．只有B
C．只有A，C D．A，B，C
8、下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
9、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，AO＝4，直线l：y＝3x+2经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形OABC的面积平分，则m的值为（　　）

A．7 B．6 C．4 D．8
10、如图是用若干个全等的等腰梯形拼成的图形，下列说法错误的是（ ）

A．梯形的下底是上底的两倍 B．梯形最大角是
C．梯形的腰与上底相等 D．梯形的底角是
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，以矩形的对角线为直径画圆，点、在该圆上，再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．若，．则图中影部分的面积和为 __（结果保留根号和．

2、若一个多边形的一条对角线把它分成两个四边形，则这个多边形的内角和是_____度．
3、一个矩形的两条对角线所夹的锐角是60°，这个角所对的边长为10cm，则该矩形的面积为_______．
4、如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1，3，则正方形ABCD的面积是 _____．

5、如图，已知在矩形中，，，将沿对角线AC翻折，点B落在点E处，连接，则的长为_________．


三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，已知正方形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，垂足为点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求 BG的长．

2、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．点E恰是CD的中点．
求证：（1）△ADE≌△FCE；
（2）BE⊥AF．

3、在平面直角坐标系中，过A(0，4)的直线a垂直于y轴，点M(9，4)为直线a上一点，若点P从点M出发，以每秒2cm的速度沿直线a向左移动，点Q从原点同时出发，以每秒1cm的速度沿x轴向右移动，
（1）几秒后PQ平行于y轴?
（2）在点P、Q运动的过程中，若线段OQ=2AP，求点P的坐标．

4、我们知道正多边形的定义是：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．
（1）如图①，在各边相等的四边形ABCD中，当AC＝BD时，四边形ABCD 　 　正四边形；（填“是”或“不是”）
（2）如图②，在各边相等的五边形ABCDE中，AC＝CE＝EB＝BD＝DA，求证：五边形ABCDE是正五边形；
（3）如图③，在各边相等的五边形ABCDE中，减少相等对角线的条数也能判定它是正五边形，问：至少需要几条对角线相等才能判定它是正五边形？请说明理由．

5、如图，在长方形中，，，动点沿着的方向运动，到点运动停止，设点运动的路程为，的面积为．
（1）点在边上，求关于的函数表达式．
（2）点在边上，的面积是否发生变化？请说明理由．
（3）点在边上，的面积是否发生变化？如果发生变化，求出面积的变化范围，并写出关于的函数表达式；如果没有发生变化，求出此时的面积．


-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
利用直角三角形斜边上的中线的性质即可判定①正确；利用含30度角的直角三角形的性质即可判定②正确，由勾股定理即可判定③错误；由等边三角形的判定及性质、三角形中位线定理即可判定④正确．
【详解】
∵CM、BN分别是高
∴△CMB、△BNC均是直角三角形
∵点P是BC的中点
∴PM、PN分别是两个直角三角形斜边BC上的中线
∴
故①正确
∵∠BAC=60゜
∴∠ABN=∠ACM=90゜−∠BAC=30゜
∴AB=2AN，AC=2AM
∴AN：AB=AM：AC=1：2
即②正确
在Rt△ABN中，由勾股定理得：
故③错误
当∠ABC=60゜时，△ABC是等边三角形
∵CM⊥AB，BN⊥AC
∴M、N分别是AB、AC的中点
∴MN是△ABC的中位线
∴MN∥BC
故④正确
即正确的结论有①②④
故选：C
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识并正确运用是解题的关键．
2、B
【分析】
根据n边形的某个顶点出发共有（n-3）条对角线即可判断A；根据线段的和差即可判断B；根据两点之间，线段最短即可判断C；根据两点确定一条直线即可判断D．
【详解】
解：A、从一个八边形的某个顶点出发共有5条对角线，说法错误，不符合题意；
B、已知C、D为线段AB上两点，若AC=BD，则AD=BC，说法正确，符合题意；

C、“道路尽可能修直一点”，这是因为“两点之间，线段最短”，说法错误，不符合题意；
D、用两个钉子把木条固定在墙上，用数学的知识解释是“两点确定一条直线”，说法错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了多边形对角线问题，线段的和差，两点之间，线段最短，两点确定一条直线等等，熟知相关知识是解题的关键．
3、B
【分析】
作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE=HN，AD=EN，再说明△BNH是等腰直角三角形，可得结论．
【详解】
解：如图，在线段AD上截取AM，使AM=AE，
，
∵AD=AB，
∴DM=BE，
∵点A关于直线DE的对称点为F，
∴△ADE≌△FDE，
∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，∠1=∠2，
∴∠DFG=90°，
在Rt△DFG和Rt△DCG中，
∵，
∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），
∴∠3=∠4，
∵∠ADC=90°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴2∠2+2∠3=90°，
∴∠2+∠3=45°，
即∠EDG=45°，
∵EH⊥DE，
∴∠DEH=90°，△DEH是等腰直角三角形，
∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°，DE=EH，
∴∠1=∠BEH，
在△DME和△EBH中，
∵，
∴△DME≌△EBH（SAS），
∴EM=BH，
Rt△AEM中，∠A=90°，AM=AE，
∴，
∴ ，即=．
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等知识，解决本题的关键是作出辅助线，利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等．
4、B
【分析】
由题意根据三角形的内角和得到∠A=36°，由CD是斜边AB上的中线，得到CD=AD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，∠B=54°，
∴∠A=36°，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠A=36°.
故选：B．
【点睛】
本题考查直角三角形的性质与三角形的内角和，熟练掌握直角三角形的性质即直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
5、A
【分析】
根据正方形的四条边都相等可得BC＝DC，每一个角都是直角可得∠B＝∠DCF＝90°，然后利用“边角边”证明△CBE≌△DCF，得∠BCE＝∠CDF，进一步得∠DHC＝∠DHE＝90°，从而知GH＝DE，利用勾股定理求出DE的长即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝DC，
在△CBE和△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠BCE＝∠CDF，
∵∠BCE+∠DCH＝90°，
∴∠CDF+∠DCH＝90°，
∴∠DHC＝∠DHE＝90°，
∵点G为DE的中点，
∴GH＝DE，
∵AD＝AB＝6，AE＝AB﹣BE＝6﹣2＝4，
∴，
∴GH＝．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
6、B
【分析】
根据三角形中位线定理得到PD=BF=6，PD∥BC，根据平行线的性质得到∠PDA=∠CBA，同理得到∠PDQ=90°，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】
解：∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵点P，D分别是AF，AB的中点，
∴PD=BF=6，PD//BC，
∴∠PDA=∠CBA，
同理，QD=AE=8，∠QDB=∠CAB，
∴∠PDA+∠QDB=90°，即∠PDQ=90°，
∴PQ==10，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
7、D
【分析】
根据三角形边长然后利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，由直角三角形斜边上的中线性质即可得．
【详解】
解：如图所示：连接BD，

∵，，，
∴，
∴为直角三角形，
∵D为AC中点，
∴，
∵覆盖半径为300 ，
∴A、B、C三个点都被覆盖，
故选：D．
【点睛】
题目主要考查勾股定理逆定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，综合运用两个定理是解题关键．
8、A
【分析】
中心对称图形是指绕一点旋转180°后得到的图形与原图形能够完全重合的图形，由此判断即可．
【详解】
解：根据中心对称图形的定义，可知A选项的图形为中心对称图形，
故选：A．
【点睛】
本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的基本定义是解题关键．
9、A
【分析】
如图所示，连接AC，OB交于点D，先求出C和A的坐标，然后根据矩形的性质得到D是AC的中点，从而求出D点坐标为（2，1），再由当直线经过点D时，可将矩形OABC的面积平分，进行求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接AC，OB交于点D，
∵C是直线与y轴的交点，
∴点C的坐标为（0，2），
∵OA=4，
∴A点坐标为（4，0），
∵四边形OABC是矩形，
∴D是AC的中点，
∴D点坐标为（2，1），
当直线经过点D时，可将矩形OABC的面积平分，
由题意得平移后的直线解析式为，
∴，
∴，
故选A．

【点睛】
本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的平移，矩形的性质，解题的关键在于能够熟知过矩形中心的直线平分矩形面积．
10、D
【分析】
如图（见解析），先根据平角的定义可得，再根据可求出，由此可判断选项；先根据等边三角形的判定与性质可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，然后根据菱形的判定可得四边形是菱形，根据菱形的性质可得，最后根据线段的和差、等量代换可得，由此可判断选项．
【详解】
解：如图，，
，
，
，
梯形是等腰梯形，
，
则梯形最大角是，选项B正确；
没有指明哪个角是底角，
梯形的底角是或，选项D错误；
如图，连接，
，
是等边三角形，
，
，
点共线，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
四边形是菱形，
，
，，选项A、C正确；
故选：D．

【点睛】
本题考查了等腰梯形、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各判定与性质是解题关键．
二、填空题
1、
【分析】
设的中点为，连接，先求出，，则，，然后求出，最后根据求解即可．
【详解】
解：设的中点为，连接，
，四边形ABCD是矩形，
，∠ABC=90°，
又∵∠CAB=30°，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
∴．
故答案为：．

【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，扇形面积公式，解题的关键在于能够根据题意得到．
2、720
【分析】
根据一个多边形被一条对角线分成两个四边形，可得多边形的边数，根据多边形的内角和定理，可得答案．
【详解】
解：由题意，得
两个四边形有一条公共边，得
多边形是，
由多边形内角和定理，得
．
故答案为：720．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线，利用了多边形内角和定理，解题的关键是注意对角线是两个四边形的公共边．
3、
【分析】
先根据矩形的性质证明△ABC是等边三角形，得到，则，然后根据勾股定理求出，最后根据矩形面积公式求解即可．
【详解】
：如图所示，在矩形ABCD中，∠AOB=60°，，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，，
∴△ABC是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的性质．
4、10
【分析】
根据正方形的性质，结合题意易求证，，，即可利用“ASA”证明，得出．最后根据勾股定理可求出，即正方形的面积为10．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴．
根据题意可知：，，
∴，，
∴在和中，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴正方形ABCD的面积是10．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
5、
【分析】
过点E作EF⊥AD于点F，先证明CG=AG，再利用勾股定理列方程，求出AG的值，结合三角形的面积法和勾股定理，即可求解．
【详解】
解：如图所示：过点E作EF⊥AD于点F，


有折叠的性质可知：∠ACB=∠ACE，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD，
∴∠CAD=∠ACE，
∴CG=AG，
设CG=x，则DG=8-x，
∵在中，，
∴x=5，
∴AG=5，
在中，EG=，EF⊥AD，∠AEG=90°，
∴，
∵在中，，、
∴DF=8-=，
∴在中，，
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定定理，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由正方形的性质可得，，由的余角相等可得∠CBG=∠CDE，进而证明△BCG≌△DCE，从而证明CG=CE；
（2）证明正方形的性质可得，结合已知条件即可求得，进而勾股定理即可求得的长
【详解】
（1）∵BF⊥DE
∴∠BFE=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DCE=90°,

∴∠CBG+∠E=∠CDE+∠E，
∴∠CBG=∠CDE
∴△BCG≌△DCE
∴CG=CE
（2）∵，且，，
∴
∵CG=CE
∴，
在中，
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握三角形全等的性质与判定与勾股定理是解题的关键．
2、（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠D＝∠ECF，则可证明△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）由平行四边形的性质证出AB＝BF，由全等三角形的性质得出AE＝FE，由等腰三角形的性质可得出结论．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，
∵E为CD的中点，
∴ED＝EC，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴∠FAD＝∠AFB，
又∵AF平分∠BAD，
∴∠FAD＝∠FAB．
∴∠AFB＝∠FAB．
∴AB＝BF，
∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝FE，
∴BE⊥AF．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
3、（1）3秒后平行于轴；（2）或．
【分析】
（1）设秒后平行于轴，先求出的长，再根据矩形的判定与性质可得，由此建立方程，解方程即可得；
（2）分①点在点右侧，②点在点左侧两种情况，分别根据建立方程，解方程即可得．
【详解】
解：（1），
，
设秒后平行于轴，
，
垂直于轴，垂直于轴，平行于轴，
四边形是矩形，
，即，
解得，
即3秒后平行于轴；
（2）由题意得：经过秒后，，
垂直于轴，点在直线上，且点的坐标为，
点的纵坐标为4，
①当点在点右侧时，，
由得：，
解得，
，
此时点的坐标为；
②当点在点左侧时，，
由得：，
解得，
，
此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
【点睛】
本题考查了坐标与图形、矩形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键．
4、（1）是；（2）见解析；（3）至少需要3条对角线相等才能判定它是正五边形，见解析
【分析】
（1）根据对角线相等的菱形是正方形，证明即可；
（2）由SSS证明△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌△EAB得出∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB，即可得出结论；
（3）由SSS证明△ABE≌△BCA≌△DEC得出∠BAE=∠CBA=∠EDC，∠AEB=∠ABE=∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC，由SSS证明△ACE≌△BEC得出∠ACE=∠CEB，∠CEA=∠CAE=∠EBC=∠ECB，由四边形ABCE内角和为360°得出∠ABC+∠ECB=180°，证出AB∥CE，由平行线的性质得出∠ABE=∠BEC，∠BAC=∠ACE，证出∠BAE=3∠ABE，同理：∠CBA=∠D=∠AED=∠BCD=3∠ABE=∠BAE，即可得出结论；
【详解】
（1）解：结论：四边形ABCD是正四边形．
理由：∵AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形．
∴四边形ABCD是正四边形．
故答案为：是．
（2）证明：∵凸五边形ABCDE的各条边都相等，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
在△ABC、△BCD、△CDE、△DEA、△EAB中，

∴△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌EAB（SSS），
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB，
∴五边形ABCDE是正五边形；
（3）解：结论：至少需要3条对角线相等才能判定它是正五边形．
若AC＝BE＝CE，五边形ABCDE是正五边形，理由如下：
在△ABE、△BCA和△DEC中，
，
∴△ABE≌△BCA≌△DEC（SSS），
∴∠BAE＝∠CBA＝∠EDC，∠AEB＝∠ABE＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC，
在△ACE和△BEC中，

∴△ACE≌△BEC（SSS），
∴∠ACE＝∠CEB，∠CEA＝∠CAE＝∠EBC＝∠ECB，
∵四边形ABCE内角和为360°，
∴∠ABC+∠ECB＝180°，
∴AB∥CE，
∴∠ABE＝∠BEC，∠BAC＝∠ACE，
∴∠CAE＝∠CEA＝2∠ABE，
∴∠BAE＝3∠ABE，
同理：∠CBA＝∠D＝∠AED＝∠BCD＝3∠ABE＝∠BAE，
∴五边形ABCDE是正五边形；
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正多边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．
5、（1）；（2）的面积不发生变化，理由见解析；（3）的面积发生变化，，．
【分析】
（1）由题意可求出的长，利用三角形的面积公式即可得到求与的关系式；
（2）当点在上运动时，的面积不发生改变，过点作于点，利用三角形的面积公式可得的面积为18，是个定值；
（3）先求出的长，再利用三角形的面积公式可得与的函数关系式，然后利用点在上可得出的范围，由此即可得出面积的变化范围．
【详解】
解：（1）在长方形中，，，
，
由题意知，当点在边上时，，且，
；
（2）的面积不发生变化．理由如下：
如图，过点作于点，

则，
，是一个定值，
所以的面积不发生变化；
（3）的面积发生变化，求解过程如下：
当点在边上时，，且，
，，
，
，
，
即．

【点睛】
本题考查了一次函数的几何应用、长方形的性质等知识点，熟练掌握一次函数的求解方法是解题关键．