初中数学北京课改版八年级下册第十五章 四边形综合与测试测试题

京改版八年级数学下册第十五章四边形专项测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在正方形有中，E是AB上的动点，（不与A、B重合），连结DE，点A关于DE的对称点为F，连结EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作⊥DE交DG的延长线于点H，连接，那么的值为（ ）

A．1 B． C． D．2

2、将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若＝10°，则∠EAF的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°

3、如图，在中，，点，分别是，上的点，，，点，，分别是，，的中点，则的长为（    ）．

A．4 B．10 C．6 D．8

4、如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（　　）

A．7 B． C．8 D．9

5、如图，在中，，，AD平分，E是AD中点，若，则CE的长为（    ）

A． B． C． D．

6、下图是文易同学答的试卷，文易同学应得（    ）

A．40分 B．60分 C．80分 D．100分

7、如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E，若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）

A．25° B．20° C．15° D．10°

8、下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

9、若一个直角三角形的周长为，斜边上的中线长为1，则此直角三角形的面积为（    ）

A． B． C． D．

10、下列图形中，不是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、在矩形ABCD中，点E在AD边上，△BCE是以BE为一腰的等腰三角形，若AB＝4，BC＝5，则线段DE的长为 _____．

2、如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，∠AOB＝60°，AB＝3，则矩形的周长为 _____．

3、如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于 _____．

4、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若，则菱形的周长为__________．

5、如图，在长方形ABCD中，．在DC上找一点E，沿直线AE把折叠，使D点恰好落在BC上，设这一点为F，若的面积是54，则的面积=______________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，中，对角线AC、BD相交于点O，点 E， F，G，H分别是OA、OB、OC、OD的中点，顺次连接EFGH．

（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形

（2）若的周长为2（AB+BC）=32，则四边形EFGH的周长为__________

2、如图，在中，对角线AC、BD交于点O，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求

（1）的面积；

（2）△AOD的周长．

3、如图，已知△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足是E，F是BC的中点，求证：BD＝2EF．

4、如图，在长方形中，，，动点沿着的方向运动，到点运动停止，设点运动的路程为，的面积为．

（1）点在边上，求关于的函数表达式．

（2）点在边上，的面积是否发生变化？请说明理由．

（3）点在边上，的面积是否发生变化？如果发生变化，求出面积的变化范围，并写出关于的函数表达式；如果没有发生变化，求出此时的面积．

5、已知：如图，在中，，，．

求证：互相平分．

如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，且已知AB=8，BC=4

（1）判断△ACF的形状，并说明理由；

（2）求△ACF的面积；

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE=HN，AD=EN，再说明△BNH是等腰直角三角形，可得结论．

【详解】

解：如图，在线段AD上截取AM，使AM=AE，

， 

∵AD=AB，

∴DM=BE，

∵点A关于直线DE的对称点为F，

∴△ADE≌△FDE，

∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，∠1=∠2，

∴∠DFG=90°，

在Rt△DFG和Rt△DCG中，

∵，

∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），

∴∠3=∠4，

∵∠ADC=90°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，

∴2∠2+2∠3=90°，

∴∠2+∠3=45°，

即∠EDG=45°，

∵EH⊥DE，

∴∠DEH=90°，△DEH是等腰直角三角形，

∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°，DE=EH，

∴∠1=∠BEH，

在△DME和△EBH中，

∵，

∴△DME≌△EBH（SAS），

∴EM=BH，

Rt△AEM中，∠A=90°，AM=AE，

∴，

∴ ，即=．

故选：B．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等知识，解决本题的关键是作出辅助线，利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等．

2、A

【分析】

可以设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，根据折叠可得∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，用α，β表示∠DAF＝10°+β，∠BAE＝10°+α，根据四边形ABCD是矩形，利用∠DAB＝90°，列方程10°+β+β+10°+10°+α+α＝90°，求出α+β＝30°即可求解．

【详解】

解：设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，

根据折叠性质可知：

∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，

∵∠B′AD′＝10°，

∴∠DAF＝10°+β，

∠BAE＝10°+α，

∵四边形ABCD是矩形

∴∠DAB＝90°，

∴10°+β+β+10°+10°+α+α＝90°，

∴α+β＝30°，

∴∠EAF＝∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′，

＝10°+α+β，

＝10°+30°，

＝40°．

则∠EAF的度数为40°．

故选：A．

【点睛】

本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．

3、B

【分析】

根据三角形中位线定理得到PD=BF=6，PD∥BC，根据平行线的性质得到∠PDA=∠CBA，同理得到∠PDQ=90°，根据勾股定理计算，得到答案．

【详解】

解：∵∠C=90°，

∴∠CAB+∠CBA=90°，

∵点P，D分别是AF，AB的中点，

∴PD=BF=6，PD//BC，

∴∠PDA=∠CBA，

同理，QD=AE=8，∠QDB=∠CAB，

∴∠PDA+∠QDB=90°，即∠PDQ=90°，

∴PQ==10，

故选：B．

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

4、C

【分析】

根据直角三角形的性质求出DE，由EF=1，得到DF，再根据三角形中位线定理即可求出线段AC的长．

【详解】

解：∵∠AEB＝90，D是边AB的中点，AB＝6，

∴DE＝AB＝3，

∵EF＝1，

∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．

∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，

∴DF是ABC的中位线，

∴AC＝2DF＝8．

故选：C．

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形中位线定理，求出DF的长是解题的关键．

5、B

【分析】

根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义∠DAB=∠B，求出AD，根据直角三角形的性质解答即可．

【详解】

解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠BAC=90°-30°=60°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAB=∠BAC=30°，

∴∠DAB=∠B，

∴AD=BD=a，

在Rt△ACB中，E是AD中点，

∴CE=AD=，

故选： B．

【点睛】

本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．

6、B

【分析】

分别根据菱形的判定与性质、正方形的判定、矩形的判定与性质进行判断即可．

【详解】

解：（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知（1）是正确的；

（2）根据根据对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形可知（2）是正确的；

（3）根据对角线相等的平行四边形是矩形可知（3）是正确的；

（4）根据菱形的对角线互相垂直，不一定相等可知（4）是错误的；

（5）根据矩形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心，并且矩形的对角线相等且互相平分可知，矩形的对称中心到四个顶点的距离相等是正确的，

∴文易同学答对3道题，得60分，

故选：B．

【点睛】

本题考查菱形的判定与性质、正方形的判定、矩形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解答的关键

7、D

【分析】

根据矩形的性质，可得∠ABD＝40°，∠DBC＝50°，根据折叠可得∠DBC′＝∠DBC＝50°，最后根据∠2＝∠DB C′−∠DBA进行计算即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，CD∥AB，
∴∠ABD=∠1＝40°，

∴∠DBC＝∠ABC-∠ABD=50°，
由折叠可得∠DB C′＝∠DBC＝50°，
∴∠2＝∠DB C′−∠DBA＝50°−40°＝10°，
故选D．

【点睛】

本题考查了长方形性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算的应用，关键是求出∠DBC′和∠DBA的度数．

8、B

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解

【详解】

第一个图形是中心对称图形，又是轴对称图形，

第二个图形是中心对称图形，又是轴对称图形，

第三个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，

第四个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，

综上所述第一个和第二个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．

故选：B．

【点睛】

点睛本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

9、B

【分析】

根据直角三角形斜边上中线的性质，可得斜边为2，然后利用两直角边之间的关系以及勾股定理求出两直角边之积，从而确定面积．

【详解】

解：根据直角三角形斜边上中线的性质可知，斜边上的中线等于斜边的一半，得AC=2BD=2．

∵一个直角三角形的周长为3+，

∴AB+BC=3+-2=1+．

等式两边平方得（AB+BC）2= (1+) 2，

即AB2+BC2+2AB•BC=4+2，

∵AB2+BC2=AC2=4，

∴2AB•BC=2，AB•BC=，

即三角形的面积为×AB•BC=．

故选：B．

【点睛】

本题考查直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，巧妙求出AC•BC的值是解此题的关键，值得学习应用．

10、C

【详解】

解：选项A是中心对称图形，故A不符合题意；

选项B是中心对称图形，故B不符合题意；

选项C不是中心对称图形，故C符合题意；

选项D是中心对称图形，故D不符合题意；

故选C

【点睛】

本题考查的是中心对称图形的识别，掌握“中心对称图形的定义判断中心对称图形”是解本题的关键，中心对称图形的定义：把一个图形绕某点旋转后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形.

二、填空题

1、2.5或2．

【分析】

需要分类讨论：①BE1＝E1C，此时点E1是BC的中垂线与AD的交点；②BE＝BC，在直角△ABE中，利用勾股定理求得AE的长度，然后求得DE的长度即可．

【详解】

解：①当BE1＝E1C时，点E1是BC的中垂线与AD的交点，；

②当BC＝BE＝5时，在直角△ABE中，AB＝4，则，

∴．

综上所述，线段DE的长为2.5或2．

故答案是：2.5或2．

【点睛】

本题考查矩形的性质和等腰三角形的性质，勾股定理，在此题中，没有确定等腰三角形的底边，所以需要分类讨论，以防漏解．

2、##

【分析】

根据矩形性质得出AD＝BC，AB＝CD，∠BAD＝90°，OA＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AC＝BD，推出OA＝OB＝OC＝OD，得出等边三角形AOB，求出BD，根据勾股定理求出AD即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝90°，OA＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AC＝BD，

∴OA＝OB＝OC＝OD，

∵∠AOB＝60°，OB＝OA，

∴△AOB是等边三角形，

∵AB＝3，

∴OA＝OB＝AB＝3，

∴BD＝2OB＝6，

在Rt△BAD中，AB＝3，BD＝6，由勾股定理得：AD＝3，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝3，

∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD＝6+6．

故答案为：6+6．

【点睛】

本题考查了矩形性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，关键是求出AD的长．

3、

【分析】

由“AAS”可证△ACP≌△CBQ，可得AP＝CQ，PC＝BQ，由“AAS”可证△APO≌△BHO，可得AP＝BH，OP＝OH，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．

【详解】

解：如图，连接PO，并延长交l2于点H，

∵l1⊥l3，l2⊥l3，

∴l1∥l3，∠APC＝∠BQC＝∠ACB＝90°，

∴∠PAC+∠ACP＝90°＝∠ACP+∠BCQ，

∴∠PAC＝∠BCQ，

在△ACP和△CBQ中，

，

∴△ACP≌△CBQ（AAS），

∴AP＝CQ，PC＝BQ，

∴PC+CQ＝AP+BQ＝PQ＝，

∵AP∥BQ，

∴∠OAP＝∠OBH，

∵点O是斜边AB的中点，

∴AO＝BO，

在△APO和△BHO中，

，

∴△APO≌△BHO（AAS），

∴AP＝BH，OP＝OH，

∴BH+BQ＝AP+BQ＝PQ，

∴PQ＝QH＝，

∵∠PQH＝90°，

∴PH＝PQ＝12，

∵OP＝OH，∠PQH＝90°，

∴OQ＝PH＝6．

故答案为：6

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形和直角三角形的性质定理是解题的关键．

4、16

【分析】

由菱形的性质和三角形中位线定理即可得菱形的边长，从而可求得菱形的周长．

【详解】

∵四边形ABCD是菱形，且对角线相交于点O

∴点O是AC的中点

∵E为DC的中点

∴OE为△CAD的中位线

∴AD=2OE=2×2=4

∴菱形的周长为：4×4=16

故答案为：16

【点睛】

本题考查了菱形的性质及三角形中位线定理、菱形周长等知识，掌握这些知识是解答本题的关键．

5、6

【分析】

根据三角形的面积求出BF，利用勾股定理列式求出AF，再根据翻折变换的性质可得AD=AF，然后求出CF，设DE=x，表示出EF、EC，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列方程求解和三角形的面积公式解答即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形

∴AB=CD=9，BC=AD

∵•AB•BF＝54，

∴BF=12．            

在Rt△ABF中，AB=9，BF=12，

由勾股定理得，．

∴BC=AD=AF=15，

∴CF=BC-BF=15-12=3．

设DE=x，则CE=9-x，EF=DE=x．

则x2=（9-x）2+32，

解得，x=5．

∴DE=5．    

∴EC=DC-DE=9-5=4．    

∴△FCE的面积=×4×3=6．

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，三角形的面积，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．

三、解答题

1、（1）见解析；（2）16

【分析】

（1）根据平行四边形的性质，可得OA=OC，OB=OD，从而得到OE=OG，OF=OH，即可求证；

（2）根据三角形中位线定理，可得，从而得到 ，再由（1）四边形EFGH是平行四边形，即可求解．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，

∵点 E、 F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，

∴，

∴OE=OG，OF=OH，

∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）∵点 E、 F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，

∴，

∴ ，

∵的周长为2（AB+BC）=32，

∴ ，

∴ ，

由（1）知：四边形EFGH是平行四边形，

∴四边形EFGH的周长为 ．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，三角形的中位线定理是解题的关键．

2、（1）48（2）

【分析】

（1）利用勾股定理先求出高AC，故可求解面积；

（2）根据平行四边形的性质求出AO，再利用勾股定理求出OB的长，故可求解．

【详解】

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，且AD=8

∴BC=AD=8

∵AC⊥BC

∴∠ACB=90°

在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=AB2-BC2

∴

∴

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=6

∴

∵∠ACB=90°，BC=8

∴，

∴

∴．

【点睛】

此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质及勾股定理的应用．

3、见解析．

【分析】

先证明 再证明EF是△CDB的中位线，从而可得结论.

【详解】

证明：∵AD＝AC，AE⊥CD

∴CE＝ED

∵F是BC的中点

∴EF是△CDB的中位线

∴BD＝2EF

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，掌握“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”是解题的关键.

4、（1）；（2）的面积不发生变化，理由见解析；（3）的面积发生变化，，．

【分析】

（1）由题意可求出的长，利用三角形的面积公式即可得到求与的关系式；

（2）当点在上运动时，的面积不发生改变，过点作于点，利用三角形的面积公式可得的面积为18，是个定值；

（3）先求出的长，再利用三角形的面积公式可得与的函数关系式，然后利用点在上可得出的范围，由此即可得出面积的变化范围．

【详解】

解：（1）在长方形中，，，

，

由题意知，当点在边上时，，且，

；

（2）的面积不发生变化．理由如下：

如图，过点作于点，

则，

，是一个定值，

所以的面积不发生变化；

（3）的面积发生变化，求解过程如下：

当点在边上时，，且，

，，

，

，

，

即．

【点睛】

本题考查了一次函数的几何应用、长方形的性质等知识点，熟练掌握一次函数的求解方法是解题关键．

5、证明见解析

【分析】

连接,由三角形中位线定理可得，，可证四边形ADEF是平行四边形，由平行四边形的性质可得AE，DF互相平分；

【详解】

证明：连接,

∵AD＝DB，BE＝EC，

∴，

∵BE＝EC，AF＝FC，

∴，

∴四边形ADEF是平行四边形，

∴AE，DF互相平分．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质判定和性质及三角形中位线定理，灵活运用这些性质是解题的关键．

(1)△ACF是等腰三角形，理由见解析；(2)10；(3)