北京课改版八年级下册第十五章 四边形综合与测试巩固练习

京改版八年级数学下册第十五章四边形综合训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2、下列四个图形中，为中心对称图形的是（　　）

A．  B． 

C．  D．

3、如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将其折叠，使AB边落在对角线AC上，得到折痕AE，则点E到点B的距离为（     ）

A． B． C． D．

4、如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　）

A．AB=BE B．DE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE

5、下列图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

6、下列说法中，正确的是（    ）

A．若，，则

B．90′＝1.5°

C．过六边形的每一个顶点有4条对角线

D．疫情防控期间，要掌握进入校园人员的体温是否正常，可采用抽样调查

7、下列图形中不是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

8、如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝9，AD，则四边形CDFE的面积是（　　）

A． B． C． D．54

9、如图，M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P，则∠APN的度数是（   ）

A．120° B．118° C．110° D．108°

10、下列图形中，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、点D、E、F分别是△ABC三边的中点，△ABC的周长为24，则△DEF的周长为______．

2、如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n=____

3、如图，矩形的对角线、相交于点，分别以点、为圆心，长为半径画弧，分别交、于点、．若，，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留）

4、如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为________．

5、一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小60°，则这个正多边形的边数为__________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的长．

2、△ABC为等边三角形，AB＝4，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝．以AE为边在直线AD右侧构造等边△AEF．连结CE，N为CE的中点．

（1）如图1，EF与AC交于点G，

①连结NG，求线段NG的长；

②连结ND，求∠DNG的大小．

（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α．M为线段EF的中点．连结DN、MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论．

3、（阅读材料）

材料一：我们在小学学习过正方形，知道：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

材料二：如图1，由一个等腰直角三角形和一个正方形组成的图形，我们要判断等腰直角三角形的面积与正方形的面积的大小关系，可以这样做：如图2，连接AC，BD，把正方形分成四个与等腰三角形ADE全等的三角形，所以．

（解决问题）如图3，图中由三个正方形组成的图形

（1）请你直接写出图中所有的全等三角形；

（2）任意选择一组全等三角形进行证明；

（3）设图中两个小正方形的面积分别为S1和S2，若，求S1和S2的值．

4、（探究发现）

（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝90°，则AE、AF、AB之间满足的数量关系是　   　．

（类比应用）

（2）如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝60°，试探究AE、AF、AB之间满足的数量关系，并说明理由．

（拓展延伸）

（3）在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为直线AC、AB上两点，若满足CE＝1，∠EDF＝60°，请直接写出AF的长．

5、已知：▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，M是AO的中点，N是CO的中点，求证：BM∥DN，BM=DN．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【详解】

解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
 

B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：D．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2、B

【分析】

把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

【详解】

解：选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；

选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．

3、C

【分析】

由于AE是折痕，可得到AB=AF，BE=EF，再求解设BE=x，在Rt△EFC中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．

【详解】

解： 矩形ABCD，

设BE=x，

∵AE为折痕，

∴AB=AF=1，BE=EF=x，∠AFE=∠B=90°，

Rt△ABC中，

∴Rt△EFC中，，EC=2-x，

∴，

解得：，

则点E到点B的距离为：．

故选：C．

【点睛】

本题考查了勾股定理和矩形与折叠问题；二次根式的乘法运算，利用对折得到，再利用勾股定理列方程是解本题的关键．

4、B

【分析】

先证明四边形BCED为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．

【详解】

解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，且AD=BC，

又∵AD=DE，

∴DE∥BC，且DE=BC，

∴四边形BCED为平行四边形，

A、∵AB=BE，DE=AD，

∴BD⊥AE，

∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意；

B、∵DE⊥DC，

∴∠EDB=90°+∠CDB＞90°，

∴四边形DBCE不能为矩形，故本选项符合题意；

C、∵∠ADB=90°，

∴∠EDB=90°，

∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意；

D、∵CE⊥DE，

∴∠CED=90°，

∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，判定四边形BCED为平行四边形是解题的关键．

5、B

【分析】

由题意直接根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得出答案．

【详解】

解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．

【点睛】

本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，注意掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

6、B

【分析】

由等式的基本性质可判断A，由 可判断B，由过边形的一个顶点可作条对角线可判断C，由全面调查与抽样调查的含义可判断D，从而可得答案.

【详解】

解：若，则故A不符合题意；

90′＝故B符合题意；

过六边形的每一个顶点有3条对角线，故C不符合题意；

疫情防控期间，要掌握进入校园人员的体温是否正常，事关重大，一定采用全面调查，故D不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查的是等式的基本性质，角度的换算，多边形的对角线问题，全面调查与抽样调查的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键.

7、B

【分析】

根据中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、不是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、是中心对称图形，故本选项不合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

8、C

【分析】

过点F作，分别交于M、N，由F是AE中点得，根据，计算即可得出答案．

【详解】

如图，过点F作，分别交于M、N，

∵四边形ABCD是矩形，

∴，，

∵点E是BC的中点，

∴，

∵F是AE中点，

∴，

∴．

故选：C．

【点睛】

本题考查矩形的性质与三角形的面积公式，掌握是解题的关键．

9、D

【分析】

由五边形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠C，证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM=∠CBN，由∠BAM+∠ABP=∠APN，即可得出∠APN=∠ABC，即可得出结果．

【详解】

解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB=BC，∠ABM=∠C，
在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP=∠APN，
∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC=
∴∠APN的度数为108°；
故选：D．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、多边形的内角和定理；熟练掌握五边形的形状，证明三角形全等是解决问题的关键．

10、D

【分析】

把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

【详解】

A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念，理解概念并知道一些常见的中心对称图形是关键．

二、填空题

1、12

【分析】

据D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，可以判断DF、FE、DE为三角形中位线，利用中位线定理求出DF、FE、DE与AB、BC、CA的长度关系即可解答．

【详解】

解：∵如图所示，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，

∴ED、FE、DF为△ABC中位线，

∴DFBC，FEAB，DEAC，

∴△DEF的周长=DF+FE+DEBCABAC（AB+BC+CA）24＝12．

故答案为：12．

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理，根据中点判断出中位线，再利用中位线定理是解题的基本思路．

2、6

【分析】

根据多边形内角和公式（n-2）×180°及多边形外角和始终为360°可列出方程求解问题．

【详解】

解：由题意得：

（n-2）×180°=360°×2，

解得：n=6；

故答案为6．

【点睛】

本题主要考查多边形内角和及外角和，熟练掌握多边形的内角和公式及外角和是解题的关键．

3、##

【分析】

由图可知，阴影部分的面积是扇形AEO和扇形CFO的面积之和．

【详解】

解：∵四边形是矩形，

∴，，，

∴，，

∴图中阴影部分的面积为：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

4、

【分析】

根据题意连接BE，连接AE交FG于O，如图，利用菱形的性质得△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，再在在Rt△BCE中计算出BE=CE=，然后证明BE⊥AB，利用勾股定理计算出AE，从而得到OA的长；设AF=x，根据折叠的性质得到FE=FA=x，在Rt△BEF中利用勾股定理得到（2-x）2+（）2=x2，解得x，然后在Rt△AOF中利用勾股定理计算出OF，再利用余弦的定义求解即可．

【详解】

解：连接BE，连接AE交FG于O，如图，

∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，
∵E点为CD的中点，
∴CE=DE=1，BE⊥CD，
在Rt△BCE中，BE=CE=，
∵AB∥CD，
∴BE⊥AB，
∴．
∴，
设AF=x，
∵菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，
∴FE=FA=x，
∴BF=2-x，
在Rt△BEF中，（2-x）2+（）2=x2，

解得:，
在Rt△AOF中，，
∴．
故答案为: ．

【点睛】

本题考查了折叠的性质以及菱形的性质，注意掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

5、9

【分析】

设正多边形的外角为x度，则可用代数式表示出内角，再由内角与外角互补的关系得到方程，解方程即可求得每一个外角，再根据多边形的外角和为360度即可求得正多边形的边数．

【详解】

设正多边形的外角为x度，则内角为(5x−60)度

由题意得：

解得：

则正多边形的边数为：360÷40=9

即这个正多边形的边数为9

故答案为：9

【点睛】

本题考查了正多边形的内角与外角，关键是运用方程求得正多边形的外角．

三、解答题

1、

【分析】

根据平行四边形的性质可得，，勾股定理求得，，进而求得

【详解】

解：四边形是平行四边形

AB⊥AC，

在中，

在中，

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

2、（1）①；②；（2）的大小是定值，证明见解析．

【分析】

（1）①先根据等边三角形的性质、勾股定理可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据等边三角形的性质可得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得；

②先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据四边形的内角和即可得；

（2）连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据三角形中位线定理可得，然后根据三角形的外角性质、角的和差即可得出结论．

【详解】

解：（1）①∵是等边三角形，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵是等边三角形，

，

，

∴，即，

又∵点为的中点，

∴；

②如图，连接，

由（1）①知，，

∵，点为的中点，

∴，

，

，

∴；

（2）的大小是定值，证明如下：

如图，连接，

∵和都是等边三角形，

∴，

∴，即，

在和中，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵点为的中点，点为的中点，

∴，

∴，

∵，即点是的中点，

∴，

∴，

∵，

∴

，

∴的大小为定值．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形中位线定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和利用到三角形中位线定理是解题关键．

3、（1）；；；（2）证明；证明见解析；（3），

【分析】

（1）根据图形可得出三对全等三角形；

（2）根据正方形的性质及全等三角形的判定定理对（1）中全等三角形依次证明即可；

（3）连接BG，由材料二可得，被分成4个面积相等的等腰直角三角形，即可得出；连接HJ，KI，过点H作HM⊥AD于点M，过点I作IN⊥CD于点N，则被分为9个面积相等的等腰直角三角形，即可得出．

【详解】

解：（1）；；

（2）证明；

由题意得，在正方形ABCD中，

∵，，

在和中

；

证明：；

由题意得，在正方形HIJK中，

，，

∵AC为正方形ABCD的对角线，

∴，

在和中

，

∴；

证明：

由题意得，在正方形EBFG中，

，，

∵AC为正方形ABCD的对角线，

∴，

在和中

，

∴；

（3）如图，连接BG，由材料二可得，被分成4个面积相等的等腰直角三角形，

．

∴

连接HJ，KI，过点H作HM⊥AD于点M，过点I作IN⊥CD于点N，则被分为9个面积相等的等腰直角三角形，

∴．

∴，．

【点睛】

题目主要考查正方形的性质、全等三角形的判定定理及对题意的理解能力，熟练掌握全等三角形的判定定理及理解题意是解题关键．

4、（1）AB＝AF+AE；（2）AE+AF＝AB，理由见解析；（3）或

【分析】

（1）证明△BDF≌OADE，可得BF＝AE，从而证明AB＝AF+AE；

（2）取AB中点G，连接DG，利用ASA证明△GDF≌△ADE，得到GF＝AE，可得AG＝AB＝AF+FG＝AE+AF；

（3）分两种情况：当点E在线段AC上时或当点E在AC延长线上时，取AC的中点H，连接DH，同理证明△ADF≌△HDE，得到AF＝HE，从而求解．

【详解】

（1）

如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠C＝45°，

∵D为BC中点，

∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，AD＝BD＝CD，

∴∠ADB＝∠ADF+∠BDF＝90°，

∵∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝90°，

∴∠BDF＝∠ADE，

∵BD＝AD，∠B＝∠CAD＝45°，

∴△BDF≌△ADE（ASA），

∴BF＝AE，

∴AB＝AF+BF＝AF+AE；

故答案为：AB＝AF+AE；

（2）

AE+AF＝AB．理由是：

如图2，取AB中点G，连接DG，

∵点G是斜边中点，

∴DG＝AG＝BG＝AB，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，

∴∠BAD＝∠CAD＝60°，

∴∠GDA＝∠BAD＝60°，即∠GDF+∠FDA＝60°，

又∵∠FAD+∠ADE＝∠FDE＝60°，

∴∠GDF＝∠ADE，

∵DG＝AG，∠BAD＝60°，

∴△ADG为等边三角形，

∴∠AGD＝∠CAD＝60°，GD＝AD，

∴△GDF≌△ADE（ASA），

∴GF＝AE，

∴AG＝AB＝AF+FG＝AE+AF，

∴AE+AF＝AB；

（3）

当点E在线段AC上时，如图3，取AC的中点H，连接DH，

当AB＝AC＝5，CE＝1，∠EDF＝60°时，

AE＝4，此时F在BA的延长线上，

同（2）可得：△ADF≌△HDE （ASA），

∴AF＝HE，

∵AH＝CH＝AC＝，CE＝1，

∴，

当点E在AC延长线上时，如图4，

同理可得：；

综上：AF的长为或．

【点睛】

本题考查三角形综合问题，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键

5、见解析

【分析】

连接，根据平行四边形的性质可得AO=OC，DO=OB，由M是AO的中点，N是CO的中点，进而可得MO=ON,进而即可证明四边形是平行四边形，即可得证．

【详解】

如图，连接，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AO=OC，DO=OB．

∵M为AO的中点，N为CO的中点，

即

∴MO=ON．

四边形是平行四边形，

∴BM∥DN，BM=DN．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．