湘教版八年级下册1.4 角平分线的性质教课内容课件ppt

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1.4 角平分线的性质第1课时 角平分线的性质 角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角. 探究 如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P,作PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D,E,试问PD与PE相等吗？ 你能证明吗？ 将∠AOB沿OC对折，我发现PD与重合，即PD与PE相等我们来证明这个结论：∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∵∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP,∴△PDO≌△PEO.∴PD=PE.由此得到角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？ 如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB,垂足分别为点D,E.若PD=PE,那么点P在∠AOB的平分线上吗？如图，过点O,P作射线OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，∵OP=OP,PD=PE,∴Rt△PDO≌Rt△PEO.∴∠AOC=∠BOC.∴OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.由此得到角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.例1 如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；（2）求证：BD是∠ABC的平分线上.证明（1）在△ABC中，∵∠1=∠2，∴BA=BC.又BA⊥AD,BC⊥CD,∴点B在∠ADC的平分线上.（2）在Rt△BAD和Rt△BCD中，∵BA=BC,BD=BD,∴Rt△BAD和Rt△BCD.∴∠ABD=∠CBD.∴BD是∠ABC的平分线. 1.如图，在直线MN上求作一点P,使点P到∠AOB两边的距离相等.解：作∠AOB的平分线，∠AOB的平分线与MN交于一点，如图1所示：点P即为所求. 2.如图，在△ABC中，AD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F,BD=CD. 求证：AB=AC.证明：∵AD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F,∴DE=DF.∵BD=CD,∴Rt△DBE≌Rt△DCF.∴∠B=∠C.∴AB=AC.今天这堂课学了什么内容？反 思 小 结1.角平分线上的点到角的两边的距离相等.2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.