黑龙江省鹤岗市第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（文）试题（含答案）

鹤岗一中2020～2021学年度高二上学期期末考试

文科数学试题

一、选择题（每题5分，共60分）

1．抛物线的准线方程是（   ）

A.     B.        C.      D.

2．设，则“”是“直线与直线垂直”的（     ）

A．充分不必要条件            B．必要不充分条件

C．充要条件               D．既不充分也不必要条件

3.已知命题若，则，则下列说法正确的是（    ）

A．命题是真命题

B．命题的逆命题是真命题

C．命题的否命题是“若，则”

D．命题的逆否命题是“若，则”

4.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其线性相关系数比较，正确的是（    ）

A．        B．

C．        D．

5.已知下列命题：①由独立性检验可知，有的把握认为物理成绩与数学成绩有关，若某人数学成绩优秀，则他有的可能物理成绩优秀；②在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好；③甲同学所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按系统抽样的方法抽取容量为200的一个样本，则被抽到的概率为；④在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；⑤若“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假。

其中真命题的个数是（    ）

A．4              B．3              C．5               D．2

6.港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径，某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由香港大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取名，若青年旅客抽到60人，则（    ）

A．老年旅客抽到150人  B．中年旅客抽到20人

C．    D．被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和超过200

7.今年春节期间，一场突如其来的新型冠状病毒肺炎自武汉开始迅速向全国蔓延，随之而来的是医疗物资的紧缺，由于武汉医务人员和医院床位严重不够，国家领导人当机立断，仅仅用了十多天时间建成两座医院，名为“火神山”、“雷神山”，全国人民如同一家人，纷纷捐款捐物，全国各地的白衣天使义无反顾踏上志愿者之路，纷纷驰援武汉.假设火神山医院有名志愿者医生来自湖南湘雅医院，有名志愿者医生来自广州中山医科大学附属医院，从这人中任取人分配新的任务，则两所医院各取一人的概率为（    ）

A．             B．         C．          D．

8.如图，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，已知小正方形的外接圆恰好是大正方形的内切圆，现在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（   ）

A.          B.   

C.          D.

9.据《九章算术》记载，“鳖臑(biēnào)”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（    ）

A．            B．     C．         D．

10.已知椭圆的离心率为，点是椭圆上的一个动点，则的最大值为（    ）

A．         B．        C．         D．

11.，是椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，且为等腰三角形，，则的离心率为（    ）

A．            B．       C．       D．

12. 设是双曲线上在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，若，设，且，则的取值范围是（    ）

A.              B.    

C.                D.

二、填空题（每题5分，共20分）

13.已知命题p：x <1，，则为                                                 

14.椭圆中以点为中点的弦所在直线斜率为              

15.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点、的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为               

16. 平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，于，于，中点为，于，则下列说法：①为钝角三角形    ②为直角三角形

③为钝角三角形   ④

正确命题的序号是__________(填写你认为正确的所有命题的序号.

三、解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分）

17.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，轴正半轴为极轴）中，圆的方程为

（1）求圆的直角坐标方程；

（2）设圆与直线交于点，，若点的坐标为，求.

18.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图.

（1）求出直方图中的值；

（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01).

19.2018年8月16日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话.会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全.因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵.国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效.某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：

现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为.

（1）求列联表中的数据，，，的值；

（2）能否有把握认为注射此种疫苗有效？

（3）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率.

附：，.

20.交通安全法有规定：机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行.机动车行经没有交通信号的道路时，遇行人横过马路，应当避让.我们将符合这条规定的称为“礼让斑马线”，不符合这条规定的称为“不礼让斑马线”.下表是鹤岗市某十字路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“不礼让斑马线”行为的统计数据：

（1）根据表中所给的5个月的数据，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；

（2）求“不礼让斑马线”的驾驶员人数关于月份之间的线性回归方程；

（3）若从4，5月份“不礼让斑马线”的驾驶员中分别选取4人和2人，再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查，求抽取的2人分别来自两个月份的概率；

参考公式：线性回归方程，其中，，.

21.如图1，已知矩形中，点是边上的点，与相交于点,且，现将沿折起，如图2,点的位置记为，此时.

（1）求证：面；

（2）求三棱锥的体积.

22.已知椭圆的离心率是，原点到直线的距离等于．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

鹤岗一中2020～2021学年度高二上学期期末考试

文科数学试题答案

选择题

1-5 DCBBB  6-10 CBBCA  11-12 CA

选择题

16. ①②④

12.设双曲线的左焦点为，设，则，

因为点关于原点的对称点为，且，

所以，

所以，

所以，即，

所以，

因为，所以，

所以，

因为，所以，

所以，所以，

所以，所以，

故答案为：

16.∵抛物线的焦点为

∴设经过点的直线的方程为，代入到抛物线方程，可得

∵，，

∴

∴

对于①，

∴为钝角，故①正确；

对于③，如图：

由抛物线的定义可知，，三角形是等腰三角形；
∵∥
∴平分
同理平分
∴，故③错误；
 对于②，由③得，，
∴平分，平分
∴，故②正确
对于④，设与交于点，由②③得≌
∴，故④正确．
故答案为①②④．

17.（1）利用极坐标方程和直角坐标方程的互化公式即可求解；（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得到关于的一元二次方程，利用的几何意义和根与系数的关系进行求解.

试题解析：（1）由得，

即.

（2）将直线的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，

即由于，故可设是上述方程的两实根，

所以，又直线过点，故由上式及t的几何意义得：.

18.（1）由，得.

（2）平均数为，

设中位数为，则，得.

故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.

19.（1）由题意，易得，，，，

（2）由

得，

所以没有把握认为注射此种疫苗有效.

（3）由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例为，故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗，用，，表示，2只已注射疫苗，用，表示，从这五只小白鼠中随机抽取3只，可能的情况共有以下10种：

，，，，，，，，，.

其中至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的情况有以下7种：，，，，，，

所以至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率为.

20.（1）依题意，，，，，

，计算，

具有很强的线性相关关系.

（2），，

所以关于月份之间的线性回归方程为.

（3）从4月份选取的4人分别记为，，，，从5月份选取的2人分别记为，

.从这6人中任意抽取2人进行交规调查包含的基本事件有，，

，，，，，，，，

，，，，，共15个，其中“抽取的2人分别来

自两个月份”包含的基本事件为，，，，，

，，，共8个，故所求概率为.

21.（1）证明：∵为矩形，,

∴，因此，图2中，

又∵交于点，

∴面.

（2）∵矩形中，点是边上的点，与相交于点，且

∴，，∽

∴

∴，，

∵

∴

∴

∴三棱锥的体积.

22.（1）由题意可得，，

又，

所以，解得，

所以椭圆的标准方程为

（2）设，

联立，消元得，

则

又，

因为以为直径的圆过椭圆C的右顶点D,

，

即，

，

，

，

解得：，且满足，

当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾.

当时，的方程为，直线过定点.

所以直线方程过定点，定点坐标为.