河北省邯郸市大名县第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题（含答案）

高二期末考试数学试卷

出题人：  审题人：

一、单选题

1．若直线平分圆的周长，则的值为（    ）

A．2 B．－2 C．－3 D．3

2．连续掷两次骰子，先后得到的点数为点的坐标，那么点在圆内部的概率是（  ）

A． B． C． D．

3．下表是某单位1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：

由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则等于（    ）

A．6 B．6.05 C．6.2 D．5.95

4．已知，则（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

5．直三棱柱中，，，则直线与平面所成的角的大小为（     ）

A． B．

C． D．

6．如图，双曲线：的左焦点为，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（    ）

A．3 B．4 C．6 D．8

7．方程表示的曲线是（    ）

A．一个圆和一条直线 B．半个圆和一条直线

C．一个圆和两条射线 D．一个圆和一条线段

8．若椭圆与直线交于，两点，过原点与线段中点的连线的斜率为，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（    ）

A．变量之间呈现负相关关系 B．

C．可以预测，当时，约为 D．由表格数据知，该回归直线必过点

10．下列命题中正确的是（    ）

A．是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面

B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底

C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线

D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为

11．已知关于x的方程，下列结论正确的是（    ）

A．方程有实数根的充要条件是或

B．方程有一正一负根的充要条件是

C．方程有两正实数根的充要条件是

D．方程无实数根的必要条件是

12．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则（    ）

A．的准线方程为 B．点的坐标为

C． D．三角形的面积为（为坐标原点）

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

三、填空题

13．抛物线的准线方程为______.

14．已知，则______.

15．点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为____________

16．若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则的最小值为__________．

四、解答题

17．设命题实数满足，；命题实数满足.

（1）若，，均为真命题，求的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

18．已知圆的圆心在直线上，且过点

（1）求圆的方程；

（2）已知直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，求直线l的方程.

19．某食品厂为了检测某批袋装食品的质量，从该批食品中抽取了一个容量为100的样本，测量它们的质量（单位：克）．根据数据分为，，，，，，七组，其频率分布直方图如图所示．

（1）根据频率分布直方图，估计这批袋装食品质量的中位数．（保留一位小数）

（2）记产品质量在内为优等品，每袋可获利5元；产品质量在内为不合格品，每袋亏损2元；其余的为合格品，每袋可获利3元．若该批食品共有10000袋，以样本的频率代替总体在各组的频率，求该批袋装食品的总利润．

20．已知函数.

（1）若曲线的图象与轴相切，求的值；

（2）求曲线斜率最小的切线方程.

21．如图，在四棱锥中，面ABCD，，且，，，，，N为PD的中点

（1）求证：平面．

（2）求平面与平面所成二面角的余弦值

（3）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在说明理由.

22．已知椭圆过点分别是椭圆C的左右顶点，且直线与直线的斜率之积为．

（1）求椭圆C的方程；（2）设不过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若直线与直线斜率之积为1，试问直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由.

期末答案

1．D

【分析】

根据题中条件，得到直线过圆心，进而可求出结果.

【详解】

因为直线平分圆的周长，

所以直线过该圆的圆心，

又圆的圆心坐标为，

所以，解得.

故选：D.

2．C

【分析】

所有的点共有个，用列举法求得其中满足的点有8个，由此求得点P在圆内部的概率.

【详解】

所有的点共有个，

点P在圆内部，即点满足，

故满足此条件的点有：共8个，

故点P在圆内部的概率是，

故选C.

【点睛】

该题考查的是有关古典概型概率的求解问题，涉及到的知识点有古典概型概率公式，在解题的过程中，正确找出基本事件的个数以及满足条件的基本事件数是关键.

3．C

【解析】

由题中数据可得，即样本中心为：.

代入回归方程，得：，解得.

故选C.

点睛：本题看出回归分析的应用，本题解题的关键是求出样本中心点，根据样本中心点代入求出的值，本题是一个基础题；求回归直线方程的一般步骤：①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系；②求回归系数；③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明.

4．A

【分析】

对函数求导，并令代入可求得.将的值代入可得导函数，即可求得的值.

【详解】

函数，则，

令代入上式可得，则，

所以，

则，

故选：A.

【点睛】

本题考查了导数的定义与运算法则，在求导过程中注意为常数，属于基础题.

5．A

【分析】

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成的角.

【详解】

在直三棱柱中，平面，

又，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

设，则、、、，

，，，

设平面的法向量为，

由，可得，令，可得，，

所以，平面的一个法向量为，，

所以，直线与平面所成角的正弦值为，则直线与平面所成角为.

故选：A.

【点睛】

方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：

（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；

（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；

（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.

6．C

【分析】

设双曲线的右焦点为，连接，根据双曲线的对称性得到，结合双曲线的定义，即可求解.

【详解】

如图所示，设双曲线的右焦点为，连接，

因为双曲线上的点与关于轴对称，根据双曲线的对称性，可得，

所以.

故选：C.

7．C

【分析】

根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为或，表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线在圆外面的两条射线，如图所示．

【详解】

解：变形为：或，

表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线在圆外面的两条射线，如右图．

故选：．

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，利用了数形结合的思想，画出相应的图形是解本题的关键．

8．B

【分析】

把代入椭圆得，由根与系数的关系可以推出线段中点坐标为，再由原点与线段中点的连线的斜率为，能够算出，进而利用离心率的计算公式求出即可.

【详解】

解：把代入椭圆得，

整理得.

设，，则，.

线段中点坐标为，

原点与线段中点的连线的斜率.

由椭圆，可知，，则.

则椭圆的离心率.

故选：B.

【点睛】

本题考查椭圆的性质及其应用，考查转化的思想，属于中档题.

9．ACD

【分析】

根据回归直线斜率知A正确；利用回归直线必过样本中心点可构造方程求得，可知B错误，D正确；将代入回归直线知C正确.

【详解】

对于A，由得：，故呈负相关关系，A正确；

对于B，，，

，解得：，B错误；

对于C，当时，，C正确；

对于D，由知：，回归直线必过点，即必过点，D正确.

故选：ACD.

10．ABD

【分析】

不共面的三个非零向量可以构成空间向量的一个基底，由此可判断A、B，若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则线面平行，可判断C，直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值与该直线与此平面所成角的正弦值相等，由此可判断D．

【详解】

对于A，是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面，则共面，故A对；

对于B，已知为空间的一个基底，则不共面，若，则也不共面，则也是空间的基底，故B对；

对于C，因为，则，若，则，但选项中没有条件，有可能会出现，故C错；

对于D，∵，则则直线与平面所成角的正弦值为，故D对；

故选：ABD．

【点睛】

本题主要考查命题的真假，考查空间基底的定义，考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．

11．CD

【分析】

根据充分条件和必要条件的定义对选项逐一判断即可.

【详解】

在A中，二次方程有实数根，等价于判别式，解得或，即二次方程有实数根的充要条件是或，故A错误；

在B中，二次方程有一正一负根，等价于，解得，

方程有一正一负根的充要条件是，故B错误；

在C中，方程有两正实数根，等价于解得，故方程有两正实数根的充要条件是，故C正确；

在D中，方程无实数根，等价于得，

而，故是方程无实数根的必要条件，故D正确；

故选：CD．

【点睛】

结论点睛：关于充分条件和必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的充分条件，则可推出，即对应集合是对应集合的子集；

（2）若是的必要条件，则可推出，即对应集合是对应集合的子集；

（3）若是的充要条件，则，可互推，即对应集合与对应集合相等.

12．ACD

【分析】

先求的准线方程，再求焦点的坐标为，接着求出，，中位线，最后求出，即可得到答案.

【详解】

如图，不妨设点位于第一象限，

设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点.

由抛物线的解析式可得准线方程为，

点的坐标为，则，，

在直角梯形中，中位线，

由抛物线的定义有，结合题意，有，

故，，.

故选：ACD.

【点睛】

本题考查抛物线的标准方程与几何性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是基础题.

13．

【解析】

试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是

考点：抛物线方程

14．6

【分析】

根据导数的定义，将所求的式子用表示，即可求解.

【详解】

.

故答案为：6.

【点睛】

本题考查利用导数的定义求值，要注意函数值的变化量和自变量的变化量要一致，属于容易题.

15．

【分析】

记椭圆的左焦点为，由椭圆定义，得到，再由圆的方程，得到圆的圆心为，半径为，画出图形，结合图形，得到，即可求出结果.

【详解】

记椭圆的左焦点为，

由椭圆的定义可得，，所以，

由得，

即圆的圆心为，半径为，

作出图形如下：

由圆的性质可得，，

（当且仅当四点共线时，等号成立.）

故答案为：.

【点睛】

思路点睛：

求一动点到两点的距离差的最小值时，一般根据动点的轨迹方程，结合定义，将差转化为距离和的问题，结合图形，即可求出结果.

16．

【解析】

设直线与曲线相切于，由函数，可得，令，又，解得，即有，可得切点，代入，解得，可得与直线平行且与曲线相切的直线，而两条平行线与的距离，
即有的最小值为，故答案为.

点睛：本题考查了导数的几何意义、切线的方程、两条平行线之间的距离、最小值的转化问题等基础知识与基本技能方法，属于中档题；设出切点，求得函数的导数，可得切线的斜率，解方程可得切点，求出与直线平行且与曲线相切的直线，再求出此两条平行线之间的距离，即可得出.

17．（1）；（2）.

【分析】

解一元二次不等式求出，均为真命题时的取值范.

（1）将代入，求交集即可求解.

（2）根据题意，是的充分不必要条件，只需，解不等式即可求解.

【详解】

解：由题意得，当为真命题时，；

当为真命题时，

（1）若，，均为真命题，则，得

（2）若是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件，

则，得.

18．（1）；（2）或.

【分析】

（1）根据题意设圆心坐标为，进而得，解得，故圆的方程为

（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可.

【详解】

（1）圆的圆心在直线上，设所求圆心坐标为

∵ 过点，

解得

∴ 所求圆的方程为

（2）直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2

①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

此时直线被圆截得的弦长为2，满足条件；

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由于直线被圆截得的弦长为，故圆心到直线的距离为

故由点到直线的距离公式得：

解得，所以直线l的方程为

综上所述，则直线l的方程为或

【点睛】

易错点点睛：本题第二问在解题的过程中要注意直线斜率不存在情况的讨论，即分直线的斜率存在和不存在两种，避免在解题的过程中忽视斜率不存在的情况致错，考查运算求解能力与分类讨论思想，是中档题.

19．（1）99.6；（2）35600元.

【分析】

（1）根据频率分布直方图中的中位数在长方形面积为的地方取得得解．

（2）求出批食品中优等品、不合格品、合格品的袋数得总利润.

【详解】

（1）因为，

所以样本质量的中位数在内．设样本质量的中位数为m，则，

解得，故这批袋装食品质量的中位数为99.6．

（2）由题意可得，这批食品中优等品有袋，

这批食品中不合格品有袋，

这批食品中合格品有袋．

故该批袋装食品的总利润为元．

【点睛】

频率分布直方图中的中位数求法在长方形面积为的地方取得是解题关键,属于基础题.

20．（1）或；（2）.

【分析】

（1）求得函数的导数，设切点为，由，求得的值，进而得到的方程，可解得的值；

（2）求得的导数，利用配方法可得导数的最小值，以及切点，由点斜式方程可得所求切线的方程．

【详解】

（1）函数的导数为，

设切点为，可得，解得或，

当时，则，可得；当时，.

综上可得或；

（2），当时，的最小值为，

可得切点为，此时切线的方程为，即为.

【点睛】

本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，化简运算能力，属于基础题．

21．（1）证明见解析；（2）；（3）存在，且.

【分析】

（1）过作于，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的向量，从而可证明线面平行.

（2）求出平面的法向量，利用向量求夹角公式解得.

（3）令，，设，求出，结合已知条件可列出关于的方程，从而可求出的值.

【详解】

（1）证明：过作，垂足为，则，

如图，以为坐标原点，分別以，，为轴建立空间直角坐标系，

则，，， ，，，

为的中点，，则，

设平面的一个法向量为，，，

则，令，解得：.

，即，

又平面，所以平面．

（2）设平面的一个法向量为，，，

所以，令，解得.

所以.

即平面与平面所成二面角的余弦值为.

（3）假设线段上存在一点，设，，.

，，则

又直线与平面所成角的正弦值为，平面的一个法向量

，

化简得，即，

，，故存在，且.

【点睛】

方法点睛：本题考查线面平行的证明，及线面角，面面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则

①两直线所成的角为(),；

②直线与平面所成的角为(),；

③二面角的大小为(),

22．（1）；（2）过定点，定点为.

【分析】

（1）设坐标分别为，由，可得，再根据过点，带入即可得解；

（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线l的斜率存在时，设直线方程为，带入椭圆方程整理可得：，

设，所以，根据条件带入整理即可得解，当直线l的斜率不存在时，直接求解即可，综合考虑即可得解.

【详解】

（1）易知坐标分别为，

则，

解得，又为上一点，

可得，，

所以椭圆C的方程为；

（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为，

带入椭圆方程整理可得：，

设，

所以，

，整理可得：，

，，带入整理可得：

，

带入可得：

，

整理可得：，

即，，

所以，此时直线方程为过定点，舍去，

或，此时直线方程为，过定点，

当斜率不存在时设直线方程为（），

带入椭圆方程可得，

所以，，，

同理由可得：

解得（舍去）或，

此时也过定点，

综上可得直线l过定点，定点为.

【点睛】

本题考查了求椭圆方程以及椭圆中的定点问题，考查了利用韦达定理解决圆锥曲线问题，计算量较大，属于难题.

本题几个关键点如下：

（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间的桥梁，是解决直线和圆锥曲线的最重要的方法，体现了转化思想；

（2）计算能力和计算技巧，在解决圆锥曲线问题时，计算能力和计算技巧至关重要.