黑龙江省哈尔滨市第六中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题（含答案）

www.ks5u.com哈尔滨市第六中学2019级高二上学期期末考试

理科数学试题

考试时间：120分钟    满分：150分

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．若是真命题，是假命题，则（    ）

A．是真命题     B. 是假命题     C．是真命题      D. 是真命题 

2．已知抛物线准线方程为，则其标准方程为（  ）

A．           B.           C．          D.

3．已知正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

4． 方程表示椭圆的充要条件是（    ）

A．       B． C．      D．

5． 已知椭圆：经过点，且的离心率为，则的方程是（    ）

A．   B．   C．  D．

6．如图，点M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是（    ）

A．       B．       C．         D．

7．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（  ）

 A．若，，则    B．若，，则

 C．若，，则    D．若，，则

8．已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（    ）

A．       B．     C．    D．

9．过双曲线的右焦点作轴的垂线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A．       B.    C．    D.

10．如图所示，在长方体中，，点到平面的距离为（     ）

A．              B．          C．           D．

11．如图所示，平面四边形中，，，将其沿对角线折成四面体，使，则下列说法中不正确的是(     )

A．     B．           

C．      D．

12．设抛物线的焦点为, 为抛物线上的两个动点，且满足,过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则的最大值为(      )

A．           B．          C． 1       D．2

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．某四面体的三视图如图所示，三个三角形均为直角三角形，则该四面体的体积是____________．

14．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为____________.

15．世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于年，原是法国的王宫，是法国文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为米，底面边长为米，是华人建筑大师贝聿铭设计的.若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为______米.

16．如图，正方体的棱长为，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）

①当时，为四边形

②当时，为等腰梯形

③当时，与的交点满足

④当时，为六边形

⑤当时，的面积为

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤）

17．（本小题满分10分）

已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）.

（1）求直线的直角坐标方程和圆的普通方程；

（2）若椭圆的参数方程为（为参数），过圆的圆心且与直线垂直的直线与椭圆相交于两点，求.

18．（本小题满分12分）

如图，直棱柱中，分别是的中点，.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

19．（本小题满分12分）

已知是抛物线：的焦点，是抛物线上一点，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）直线与抛物线交于，两点，若（为坐标原点），则直线是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.

20．（本小题满分12分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程是，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线和圆的极坐标方程；

（2）已知射线(其中)与圆交于，射线与直线交于点，若，求的值.

21．（本小题满分12分）

如图所示，四棱锥,底面为四边形，，

平面平面,.

（1）求证： 平面；

（2）若四边形中，，是否在上存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由.

22．（本小题满分12分）

已知椭圆的方程为,其离心率,且短轴的一个端点与两焦点组成的三角形面积为,过椭圆上的点作轴的垂线,垂足为,点满足,设点的轨迹为曲线.

 (1)求曲线的方程;

（2）若直线与曲线相切,且交椭圆于两点, ,记的面积为, 的面积为,求的最大值.

理科数学期末考试答案

13.8    14.2    15.   16.①②③⑤

17.（1），，

    （2）代入中得，，

18.

19.（1）由可知抛物线的准线方程为，

因为，根据抛物线的定义可知，所以，所以抛物线的方程为.

（2）设，直线，

联立，消去并整理得所以，

所以由得，

所以，所以，

所以，所以，，恒过．

20.(Ⅰ)将代入直线的直角坐标方程，

得,即.   

圆的直角坐标方程为，所以圆的极坐标方程为

(Ⅱ)由题意得

则，解得，又因为，所以

21. （1）设，连接

,，为中点

又，

平面平面，平面平面

平面，而平面  

在中，由余弦定理得

，而

平面

（2）过作垂线记为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系

，，，，

，，设

,

设平面法向量为

∴ ，取  设与平面所成角为

解， 

22. (1) (2)

 (1)依题意可得 ，由，解得，椭圆方程为.

设，由，得，

代人椭圆方程得曲线的方程为．

(2)由题知直线的斜率存在，设直线的方程为，由与圆相切可得，即.

由消整理得

又直线与椭圆交于两点，

所以，故得．

设，则，，

.

则，.

，

当且仅当，即时，等号成立．所以的最大值为．