沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形综合与测试复习练习题

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形同步练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，已知为的外角，，，那么的度数是（    ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

2、下列三角形与下图全等的三角形是（    ）

A． B． C． D．

3、下列叙述正确的是（    ）

A．三角形的外角大于它的内角 B．三角形的外角都比锐角大

C．三角形的内角没有小于60°的 D．三角形中可以有三个内角都是锐角

4、一副三角板如图放置，点A在DF的延长线上，∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，若BC//DA，则∠ABF的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°

5、如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°，则∠BFC＝115°；④DF＝EF．其中正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6、若三条线段中a＝3，b＝5，c为奇数，那么以a、b、c为边组成的三角形共有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7、三根小木棒摆成一个三角形，其中两根木棒的长度分别是和，那么第三根小木棒的长度不可能是（    ）

A． B． C． D．

8、如图，ABC≌DEF，点B、E、C、F在同一直线上，若BC＝7，EC＝4，则CF的长是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．7

9、如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边中点，则下列结论不正确的是（   ）

A．B＝C B．AD⊥BC C．BAD＝CAD D．AB＝2BC

10、下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）

A．3  4  8 B．4  4  10 C．5  6  10 D．5  6  11

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，点是上的一点，，则下列结论：①；②；③；④，其中成立的有______个．

2、如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝60°，∠ABD＝110°，则∠C等于___．

3、已知：如图，AB = DB．只需添加一个条件即可证明．这个条件可以是______．（写出一个即可）．

4、如图，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若BC＝6，则BD的长为______________．

5、△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F且DF＝CD，则∠ABC＝______．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、如图，，，求证：．

2、周老师带领同学们在数学课上探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你完成下列问题：

（1）已知：如图①，在中，，，直线BD平分交AC于点D．求证：与都是等腰三角形；

（2）在证明了该命题后，小尹同学发现：图②、③两个等腰三角形也具有这种特性，请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；

（3）接着，小尹又发现：还有一些非等腰三角形也具有这样的特性：即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形，请你画出一个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．

（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征．

3、在等边中，D、E是BC边上两动点（不与B，C重合）

（1）如图1，，求的度数；

（2）点D在点E的左侧，且AD=AE，点E关于直线AC的对称点为F，连接AF，DF．

①依题意将图2补全；

②求证：．

4、如图，点在上，点在上，，∠=∠．求证：．

5、如图，是的中线，分别过点、作及其延长线的垂线，垂足分别为、．

（1）求证：；

（2）若的面积为8，的面积为6，求的面积．

6、如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，．

（1）求证：．

（2）若，，求∠F的度数．

7、一个零件形状如图所示，按规定应等于75°，和应分别是18°和22°，某质检员测得，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．

8、如图，点D在AC上，BC，DE交于点F，，，．

（1）求证：；

（2）若，求∠CDE的度数．

9、如图，在四边形ABCD中，E是CB上一点，分别延长AE，DC相交于点F，，．

（1）求证：；

（2）若，求BE的长．

10、如图，在长方形ABCD中，AD=3，DC=5，动点M从A点出发沿线段AD—DC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD—DA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动．ME⊥PQ于点E，NF⊥PQ于点F，设运动的时间为秒．

（1）在运动过程中当M、N两点相遇时，求t的值．

（2）在整个运动过程中，求DM的长．(用含t的代数式表示)

（3）当DEM与DFN全等时，请直接写出所有满足条件的DN的长．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

根据三角形的外角性质解答即可．

【详解】

解：∵∠ACD＝60°，∠B＝20°，

∴∠A＝∠ACD−∠B＝60°−20°＝40°，

故选：B．

【点睛】

此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形外角性质解答．

2、C

【分析】

根据已知的三角形求第三个内角的度数，由全等三角形的判定定理即可得出答案．

【详解】

由题可知，第三个内角的度数为，

A.只有两边，故不能判断三角形全等，故此选项错误；

B.两边夹的角度数不相等，故两三角形不全等，故此选项错误；

C.两边相等且夹角相等，故能判断两三角形全等，故此选项正确；

D. 两边夹的角度数不相等，故两三角形不全等，故此选项错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

3、D

【分析】

结合直角三角形，钝角三角形，锐角三角形的内角与外角的含义与大小逐一分析即可.

【详解】

解：三角形的外角不一定大于它的内角，锐角三角形的任何一个外角都大于内角，故A不符合题意；

三角形的外角可以是锐角，不一定比锐角大，故B不符合题意；

三角形的内角可以小于60°，一个三角形的三个角可以为： 故C不符合题意；

三角形中可以有三个内角都是锐角，这是个锐角三角形，故D符合题意；

故选D

【点睛】

本题考查的是三角形的的内角与外角的含义与大小，掌握“直角三角形，钝角三角形，锐角三角形的内角与外角”是解本题的关键.

4、A

【分析】

先求出∠EFD=60°，∠ABC=45°，由BC∥AD，得到∠EFD=∠FBC=60°，则∠ABF=∠FBC-∠ABC=15°．

【详解】

解：∵∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，

∴∠EFD=60°，∠ABC=45°，

∵BC∥AD，

∴∠EFD=∠FBC=60°，

∴∠ABF=∠FBC-∠ABC=15°，

故选A．

【点睛】

本题主要考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟知直角三角形两锐角互余是解题的关键．

5、C

【分析】

根据平行线的性质和角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质逐个判定即可解答．

【详解】

解：∵BF是∠AB的角平分线，

∴∠DBF＝∠CBF，

∵DE∥BC，

∴∠DFB＝∠CBF，

∴∠DBF＝∠DFB，

∴BD＝DF，

∴△BDF是等腰三角形；故①正确；

同理，EF＝CE，

∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正确；

∵∠A＝50°，

∴∠ABC+∠ACB＝130°，

∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，

∴，

∴∠FBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝65°，

∴∠BFC＝180°﹣65°＝115°，故③正确；

当△ABC为等腰三角形时，DF＝EF，

但△ABC不一定是等腰三角形，

∴DF不一定等于EF，故④错误．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的定义及平行线的性质等知识点，根据两直线平行、内错角相等以及等角对等边来判定等腰三角形是解答本题的关键．

6、C

【分析】

根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形的个数．

【详解】

解：c的范围是：5﹣3＜c＜5+3，即2＜c＜8．

∵c是奇数，

∴c＝3或5或7，有3个值．

则对应的三角形有3个．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了三角形三边关系，准确分析判断是解题的关键．

7、D

【分析】

设第三根木棒长为x厘米，根据三角形的三边关系可得8﹣5＜x＜8+5，确定x的范围即可得到答案．

【详解】

解：设第三根木棒长为x厘米，由题意得：

8﹣5＜x＜8+5，即3＜x＜13，

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．

8、B

【分析】

根据全等三角形的性质可得，根据即可求得答案．

【详解】

解：ABC≌DEF，

点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝4，

故选B

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．

9、D

【分析】

根据等腰三角形的等边对等角的性质及三线合一的性质判断．

【详解】

解：∵AB＝AC，点D是BC边中点，

∴B＝C，AD⊥BC，BAD＝CAD，

故选：D．

【点睛】

此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，三线合一，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．

10、C

【分析】

根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断求解即可．

【详解】

解：A．∵3+4＜8，

∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；

B．∵4+4＜10，

∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；

C．∵5+6＞10，

∴能组成三角形，故本选项符合题意；

D．∵5+6=11，

∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边是解决问题的关键．

二、填空题

1、1

【分析】

根据，得出AC=EB＜BC，可判断①；根据，可得∠ADC=∠ECB，得出AD∥BC，根据BC与BE相交，可判断②；根据，得出∠ADC=∠ECB，根据直角三角形两锐角互余得出∠ADC+∠ACD=90°，利用等量代换得出∠ECB+∠ACD=90°可判断③；，得出AD=EC，DC=CB，根据线段和AD+DE=EC+DE=DC=CB＞BE，可判断④即可．

【详解】

解：∵点是上的一点，，

∴AC=EB＜BC，故①不正确；

∵，

∴∠ADC=∠ECB，

∴AD∥BC，

∵BC与BE相交，故②不正确；

∵，

∴∠ADC=∠ECB，

∵∠ADC+∠ACD=90°，

∴∠ECB+∠ACD=90°即∠ACB=90°，故③正确；

∵，

∴AD=EC，DC=CB，

∴AD+DE=EC+DE=DC=CB＞BE，故④不正确；

∴其中成立的有1个．

故答案为1．

【点睛】

本题考查全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余，线段和差，平行线判定，掌握全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余，线段和差，平行线判定是解题关键．

2、50°

【分析】

首先根据平角的概念求出的度数，然后根据三角形内角和定理即可求出的度数．

【详解】

解：∵∠ABD＝110°，

∴，

∴

故答案为：50°．

【点睛】

此题考查了平角的概念，三角形三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平角的概念，三角形三角形内角和定理．

3、AC=DC

【分析】

由题意可得，BC为公共边，AB=DB，即添加一组边对应相等，可证△ABC与△DBC全等．

【详解】

解：∵AB=DB，BC=BC，

添加AC=DC，

∴在△ABC与△DBC中，

，

∴△ABC≌△DBC（SSS），

故答案为：AC=DC．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．

4、3

【分析】

根据题意依据等腰三角形的性质，即可得到BD=BC，进而分析计算即可得出结论．

【详解】

解：由题可得，AR平分∠BAC，

又∵AB=AC，

∴AD是三角形ABC的中线，

∴BD=BC=×6=3.

故答案为：3．

【点睛】

本题主要考查基本作图以及等腰三角形的性质，注意掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．

5、45°或135°

【分析】

根据题意，分两种情况讨论：①当为锐角三角形时；②当为钝角三角形时；作出相应图形，然后利用全等三角形的判定证明三角形全等，根据其性质及各角直角的等量关系即可得．

【详解】

解：①如图所示：当为锐角三角形时，

∵，，

∴，

∴，，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，

∵，

∴；

②如图所示：当为钝角三角形时，

∵，，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

，

综合①②可得：为或，

故答案为：或．

【点睛】

题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，根据题意进行分类讨论，作出相应图形是解题关键．

三、解答题

1、证明过程见解析

【分析】

先证明，得到，，再证明，即可得解；

【详解】

由题可得，在和中，

，

∴，

∴，，

又∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键．

2、

（1）见详解；

（2）见详解；

（3）见详解；

（4）见详解；

【分析】

（1）根据等边对等角，及角平分线定义易得∠1=∠2=36°，∠C=72°，那么∠BDC=72°，则可得AD=BD=CB，所以△ABD与△DBC都是等腰三角形；

（2）把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108°的角分为36°和72°即可；

（3）利用直角三角形的中线等于直角三角形斜边的一半可得任意直角三角形的中线把直角三角形分为两个等腰三角形；由（1），（2）易得所知的两个角要么是2倍关系，要么是3倍关系，可猜测只要所给的三个角中有2个角是2倍或3倍关系都可得到上述图形；

（4）按照发现的（3）的特点来写，注意去掉特殊三角形的形式．

（1）

证明：在△ABC中，∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠1=∠2=36°

∴∠3=∠1+∠A=72°，

∴∠1=∠A，∠3=∠C，

∴AD=BD，BD=BC，

∴△ABD与△BDC都是等腰三角形

（2）

解：如下图所示：

（3）

解：如图所示：

（4）

解：特征一：直角三角形（直角边不等）；

特征二：2倍内角关系，在△ABC中，∠A=2∠B，0°＜∠B＜45°，其中，∠B≠30°；

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定；注意应根据题中所给的范例用类比的方法推测出把一般三角形分为两个等腰三角形的一般结论．

3、（1）；（2）①作图见解析；②证明见解析

【分析】

（1）等边三角形中，由知，，进而求出的值；

（2）①作图见详解；② ，，，点E，F关于直线对称，，，，为等边三角形，进而可得到．

【详解】

解：（1）为等边三角形

．

（2）①补全图形如图所示，

②证明：为等边三角形

  ，

点E，F关于直线对称

，

即

为等边三角形

．

【点睛】

本题考察了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质．解题的关键在于角度的转化．

4、见解析

【分析】

根据已知条件和公共角，直接根据角边角证明，进而即可证明

【详解】

在与中，

∴．

∴．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．

5、

（1）见解析

（2）的面积为20．

【分析】

（1）根据已知条件得到、，然后利用全等三角形的判定，进行证明即可．

（2）分别根据和的面积，用CF表示AF、DF，通过，得到，，用CF表示出AE的长，最后利用面积公式求解即可．

（1）

（1）解：由题意可知：

是的中线

在与中

．

（2）

解：的面积为8，的面积为6．

，即

 ，即

由（1）可知：

，

．

【点睛】

本题主要是考查了全等三角形的判定和性质，熟练根据条件证明三角形全等，利用其性质，证明对应边相等，这是解决本题的关键．

6、（1）见解析；（2）

【分析】

（1）根据平行线的性质可得，根据线段的和差关系可得，进而根据即证明；

（2）根据三角形内角和定理以及补角的意义求得∠E，进而根据（1）的结论即可求得∠F．

【详解】

（1）证明：

，

即

又，

（2）解：，，

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形全等的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．

7、不合格，理由见解析

【分析】

延长BD与AC相交于点E．利用三角形的外角性质，可得，，即可求解．

【详解】

解：如图，延长BD与AC相交于点E．

∵是的一个外角，，，

∴，

同理可得

∵李师傅量得，不是115°，

∴这个零件不合格．

【点睛】

本题主要考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

8、

（1）证明见解析；

（2）∠CDE=20°．

【分析】

（1）由“SAS”可证△ABC≌△DBE；

（2）由全等三角形的性质可得∠C=∠E，由三角形的外角性质可求解．

（1）

证明：∵∠ABD=∠CBE，

∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，

即：∠ABC=∠DBE，

在△ABC和△DBE中，

，

∴△ABC≌△DBE（SAS）；

（2）

解：由（1）可知：△ABC≌△DBE，

∴∠C=∠E，

∵∠DFB=∠C+∠CDE，

∠DFB=∠E+∠CBE，

∴∠CDE=∠CBE，

∵∠ABD=∠CBE=20°，

∴∠CDE=20°．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，证明三角形全等是解题的关键．

9、

（1）见解析

（2）

【分析】

(1)利用是的外角,以及证明即可．

(2)证明≌,可知,从而得出答案．

（1）

证明：∵是的外角，

∴．

又∵，∴．

（2）

解：在和中，

，

∴≌．

∴．

∵，

∴．

【点睛】

本题考查了三角形的外角以及三角形全等的性质和判定,掌握三角形全等的性质和判定是解题的关键．

10、（1）2；（2）当0≤t≤3时，DM=3-t，当3＜t≤8时，DM=t-3；（3）2或1

【分析】

（1）根据题意得： ，解得：，即可求解；

（2）根据题意得：当0≤t≤3时，AM=t，则DM=3-t，当3＜t≤8时，DM=t-3，即可求解；

（3）根据ME⊥PQ，NF⊥PQ，可得∠DEM=∠DFN=90°，再由∠ADC=90°，可得∠DME =∠FDN，从而得到当DEM与DFN全等时，DM=DN，根据题意可得M到达点D时， ，M到达点C时， ，N到达点D时， ，N到达点A时，，然后分两种情况：当时和当时，即可求解．

【详解】

解：（1）根据题意得： ，解得：，

即在运动过程中当M、N两点相遇时，t的值为2；

（2）根据题意得：当0≤t≤3时，AM=t，则DM=3-t，

当3＜t≤8时，DM=t-3；

（3）∵ME⊥PQ，NF⊥PQ，

∴∠DEM=∠DFN=90°，

∴∠EDM+ ∠DME =90°，

∵∠ADC=90°，

∴∠EDM+∠FDN =90°，

∴∠DME =∠FDN，

∴当DEM与DFN全等时，DM=DN，

∵M到达点D时， ，M到达点C时， ，

N到达点D时， ，N到达点A时，，

当时，DM=3-t，CN=3t，则DN=5-3t，

∴3-t=5-3t，解得：t=1，

∴此时DN=5-3t=2，

当时，DM=3-t，DN=3t-5，

∴3-t=3t-5，解得： ，

∴DN=3t-5=1，

综上所述，当DEM与DFN全等时，所有满足条件的DN的长为2或1．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定和性质，动点问题，利用分类讨论思想解答是解题的关键．