数学七年级下册第十四章 三角形综合与测试当堂检测题

这是一份数学七年级下册第十四章 三角形综合与测试当堂检测题，共39页。试卷主要包含了如图，ABC≌DEF，点B，如图，点A等内容，欢迎下载使用。
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形定向攻克
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，若绕点A按逆时针方向旋转40°后与重合，则（ ） ．

A．40° B．50° C．70° D．100
2、如图，直线l1l2，被直线l3、l4所截，并且l3⊥l4，∠1＝46°，则∠2等于（　　）

A．56° B．34° C．44° D．46°
3、三个等边三角形的摆放位置如图所示，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
4、如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，则∠AOD的度数是（ ）

A．50° B．60° C．40° D．30°
5、△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（　　）

A．8 B．10 C．11 D．12
6、如图，ABC≌DEF，点B、E、C、F在同一直线上，若BC＝7，EC＝4，则CF的长是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．7
7、等腰三角形的一个角是80°，则它的一个底角的度数是（ ）
A．50° B．80° C．50°或80° D．100°或80°
8、如图，点A、B、C、D在一条直线上，点E、F在AD两侧，，，添加下列条件不能判定的是（ ）

A． B． C． D．
9、如图，E为线段BC上一点，∠ABE=∠AED=∠ECD=90°，AE=ED，BC=20，AB=8，则BE的长度为（ ）

A．12 B．10 C．8 D．6
10、如图，等腰中，，，于D，点O是线段AD上一点，点P是BA延长线上一点，若，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（ ）

A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B、C的坐标分别为(0，3)、(4，0)、(0，0)，AB=5，点P为x轴上一点，若使得△ABP为等腰三角形，那么点P的坐标除点(，0)外，还可以是_____．
2、如图，已知，请添加一个条件，使得，则添加的条件可以为___（只填写一个即可）．

3、如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为_______．

4、如图，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，则∠BDC的度数为_____．

5、如图，△ABC中，∠B＝20°，D是BC延长线上一点，且∠ACD＝60°，则∠A的度数是____________ 度．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）
1、如图，在△ABC中， AB＝AC，AD是△ABC的中线，BE平分∠ABC交AD于点E，连接EC．求证：CE平分∠ACB．

2、如图，在中，是的平分线，点在边上，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，，求的大小．

3、如图所示，四边形ABCD中，ADC的角平分线DE与BCD的角平分线CA相交于E点，已知：ACB＝32°，CDE＝58°．

（1）求DEC的度数；
（2）试说明直线
4、如图，在中，，AD是角平分线，E是AB边上一点，连接ED，CB是的平分线，ED的延长线与CF交于点F．

（1）求证：；
（2）若，，则______度．
5、在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M，N分别在等边的边上，且，，交于点Q．求证：．同学们利用有关知识完成了解答后，老师又提出了下列问题：

（1）若将题中“”与“”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你给出答案并说明理由．
（2）若将题中的点M，N分别移动到的延长线上，是否仍能得到？请你画出图形，给出答案并说明理由．
6、如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A 顺时针旋转60°得到 ，连接 ．
（1）用等式表示 与CP的数量关系，并证明；
（2）当∠BPC＝120°时，
①直接写出 的度数为 ；
②若M为BC的中点，连接PM，请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．

7、在等腰中，，点D是BC边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，作等腰，使，，点D，E在直线AC两旁，连接CE．

（1）如图1，当时，直接写出BC与CE的位置关系；
（2）如图2，当时，过点A作于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线段BD，CD，之间的数量关系，并证明．
8、在中，，，点D是直线AC上一动点，连接BD并延长至点E，使．过点E作于点F．

（1）如图1，当点D在线段AC上（点D不与点A和点C重合）时，此时DF与DC的数量关系是______．
（2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，依题意补全图形，并证明：．
（3）当点D在线段CA的延长线上时，直接用等式表示线段AD，AF，EF之间的数量关系是______．

9、在四边形ABCD中，，点E在直线AB上，且．
（1）如图1，若，，，求AB的长；
（2）如图2，若DE交BC于点F，，求证：．

10、如图，为等边三角形，D是BC中点，，CE是的外角的平分线．
求证：．


-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
根据旋转的性质，可得 ， ，从而得到，即可求解．
【详解】
解：∵绕点A按逆时针方向旋转40°后与重合，
∴ ， ，
∴．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了图形的旋转，等腰三角形的性质，熟练掌握图形旋转前后对应线段相等，对应角相等是解题的关键．
2、C
【分析】
依据l1∥l2，即可得到∠3＝∠1＝46°，再根据l3⊥l4，可得∠2＝90°﹣46°＝44°．
【详解】
解：如图：

∵l1∥l2，∠1＝46°，
∴∠3＝∠1＝46°，
又∵l3⊥l4，
∴∠2＝90°﹣46°＝44°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线性质以及三角形内角和，平行线的性质：两直线平行，同位角相等以及三角形内角和是180°．
3、A
【分析】
利用三个平角的和减去中间三角形的内角和，再减去三个的角即可．
【详解】
解：，，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．
4、A
【分析】
根据旋转的性质求解再利用三角形的内角和定理求解再利用角的和差关系可得答案.
【详解】
解： 将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，

∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，


故选A
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，掌握“旋转前后的对应角相等”是解本题的关键.
5、B
【分析】
证明△AFH≌△CHG（AAS），得出AF=CH．由题意可知BE=FH，则得出五边形DECHF的周长=AB+BC，则可得出答案．
【详解】
解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH=GH，∠FHG=60°，
∴∠AHF+∠GHC=120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=5，∠ACB=∠A=60°，
∵∠AHF=180°-∠FHG-∠GHC =120°-∠GHC，
∠HGC=180°-∠C-∠GHC =120°-∠GHC，
∴∠AHF=∠HGC，
在△AFH和△CHG中
，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF=CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE=FH，
∴五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF，
=(BD+DF+AF)+(CE+BE)，
=AB+BC=10．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
6、B
【分析】
根据全等三角形的性质可得，根据即可求得答案．
【详解】
解：ABC≌DEF，

点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝4，

故选B
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
7、C
【分析】
已知给出一个角的的度数为80º，没有明确是顶角还是底角，要分类讨论，联合内角和求出底角即可．
【详解】
解：等腰三角形的一个角是80°，
当80º为底角时，它的一个底角是80º，
当80º为顶角时，它的一个底角是，
则它的一个底角是50º或80º．
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，内角和定理，掌握分类讨论的思想是解决问题的关键．
8、A
【分析】
根据题意，可得，结合选项根据三角形全等的性质与判定逐项分析即可．
【详解】
解：

A. ，，不能根据SSA证明三角形全等，故该选项符合题意；
B.


,

故能判定，不符合题意；
C. ,，
，故能判定，不符合题意；
D.


，故能判定，不符合题意；
故选A
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
9、A
【分析】
利用角相等和边相等证明，利用全等三角形的性质以及边的关系，即可求出BE的长度．
【详解】
解：由题意可知：∠ABE=∠AED=∠ECD=90°，
，，
，
在和中，

，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题主要是考查了全等三角形的判定和性质，熟练通过已知条件证明三角形全等，利用全等性质及边的关系，来求解未知边的长度，这是解决本题的主要思路．
10、A
【分析】
①利用等边对等角得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；④证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，得AC＝AE+CE＝AO+AP．
【详解】
解：①如图1，连接OB，

∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故①正确；
②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，
则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形，故③正确；
④如图2，在AC上截取AE＝PA，

∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AO+AP，
∴AB＝AO+AP，故④正确；
正确的结论有：①③④，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．
二、填空题
1、（，0）、（，0）、（9，0）
【分析】
先表示出PB=|a-4|，PB2=a2+9，AB=5，再分三种情况①当PB=AB时．②当PA=PB时，③当PA=AB时，讨论计算即可．
【详解】
设P（a，0），
∵A（0，3），B（4，0），
∴PB=|a-4|，PA2=a2+9，AB=5，
∵△ABP是等腰三角形，
∴①当PB=AB时，
∴|a-4|=5，
∴a=-1或9，
∴P（-1，0）或（9，0），
②当PA=PB时，
∴（a-4）2=a2+9，
∴a=，
∴P（，0），
③当PA=AB时，
∴a2+9=25，
∴a=4（舍）或a=-4，
∴P（-4，0）．
即：满足条件的点P的坐标为（-1，0）、（-4，0）、（9，0）．

【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，等腰三角形的性质，分类讨论和用方程思想解决问题是解本题的关键．
2、或
【分析】
根据全等三角形的判定方法即可解决问题．
【详解】
解：由题意，，
根据，可以添加，使得，
根据，可以添加，使得．
故答案为：或
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键．
3、
【分析】
作FH垂直于FE，交AC于点H，可证得，由对应边、对应角相等可得出，进而可求出，则．
【详解】
作FH垂直于FE，交AC于点H，
∵
又∵，
∴
∵，FA=CF
∴
∴FH=FE
∵
∵
∴
又∵DF=DF
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴

故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及其性质，作辅助线HF垂直于FE是解题的关键．
4、110°
【分析】
延长BD交AC于点E，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】
延长BD交AC于点E，
∵∠DEC是△ABE的外角，∠A＝60°，∠B＝20°，
∴∠DEC＝∠A+∠B＝80°，
则∠BDC＝∠DEC+∠C＝110°，

故答案为：110°．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线DE是解题的关键．
5、40
【分析】
直接根据三角形外角的性质可得结果．
【详解】
解：∵∠B＝20°，∠ACD＝60°，∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠B+∠A，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键
三、解答题
1、见解析
【分析】
根据等腰三角形的性质，可得∠ADB=∠ADC=90°，∠ABC=∠ACB，BD=CD，从而得到△BDE≌△CDE，进而得到∠DCE=∠DBE，再由BE平分∠ABC，可得 ，进而得到，即可求证．
【详解】
解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠ABC=∠ACB，BD=CD，
∵DE=DE，
∴△BDE≌△CDE，
∴∠DCE=∠DBE，
∵BE平分∠ABC，
∴ ，
∴，
∴，
∴CE平分∠ACB．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的两底角相等，等腰三角形“三线合一”是解题的关键．
2、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）由CD是的平分线得出，由得出
从而得出，由平行线的判断即可得证；
（Ⅱ）由三角形内角和求出，由角平分线得出，由三角形内角和求出即可得出答案．
【详解】
（Ⅰ）∵CD是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（Ⅱ）∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查平行线的判定以及三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键
3、（1）90°；（2）见解析
【分析】
（1）根据三角形内角和定理即可求解；
（2）首先求得∠ADC的度数和∠DCB的度数，根据同旁内角互补，两直线平行即可证得．
【详解】
解：（1）∵AC是BCD的平分线
∴
∵
∴∠DEC=180°-∠ACD-∠CDE=180°-32°-58°=90°；
（2）∵DE平分∠ADC，CA平分∠BCD
∴∠ADC=2∠CDE=116°，∠BCD=2∠ACD=64°
∵∠ADC+∠BCD=116°+64°=180°
∴
【点睛】
本题主要考查了角平分线，平行线的判定以及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键．
4、（1）见解析，（2）46
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和角平分线得到∠B＝∠ACB＝∠BCF，由AD是角平分线，得到BD＝CD，证△BDE≌△CDF即可；
（2）根据全等三角形的性质得到DE＝DF＝DA，根据求得∠DAB，进而求出∠B的度数即可．
【详解】
（1）证明：∵，
∴∠B＝∠ACB，
∵CB是的平分线，
∴∠ACB＝∠BCF，
∴∠B＝∠BCF，
∵AD是角平分线，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵∠BDE＝∠CDF，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
∴；
（2）∵△BDE≌△CDF；
∴ED＝FD，
∵,
∴ED＝AD，
∵，
∴，
∴，
∴∠B＝∠ACB＝∠BCF＝23°，
∴，
故答案为：46．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关知识进行推理证明和计算．
5、
（1）仍是真命题，证明见解析
（2）仍能得到，作图和证明见解析
【分析】
（1）由角边角得出和全等，对应边相等即可．
（2）由（1）问可知BM=CN，故可由边角边得出和全等，对应角相等，即可得出．
（1）
∵
∴
∵
∴
在和中有

∴
∴
故结论仍为真命题．
（2）
∵BM=CN
∴CM=AN
∵AB=AC，，
在和中有

∴
∴
∴
故仍能得到，如图所示

【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角，有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路．
6、（1），理由见解析；（2）①60°；②PM＝，见解析
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，可得AB＝AC，∠BAC＝60°，再由由旋转可知：从而得到，可证得，即可求解 ；
（2）①由∠BPC＝120°，可得∠PBC＋∠PCB＝60°．根据等边三角形的性质，可得∠BAC＝60°，从而得到∠ABC＋∠ACB＝120°，进而得到∠ABP＋∠ACP＝60°．再由，可得 ，即可求解；
②延长PM到N，使得NM＝PM，连接BN．可先证得△PCM≌△NBM．从而得到CP＝BN，∠PCM＝∠NBM．进而得到 ．根据①可得，可证得，从而得到 ．再由 为等边三角形，可得 ．从而得到 ，即可求解．
【详解】
解：（1） ．理由如下：
在等边三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，
由旋转可知：
∴
即
在和△ACP中

∴ ．
∴ ．
（2）①∵∠BPC＝120°，
∴∠PBC＋∠PCB＝60°．
∵在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＋∠ACB＝120°，
∴∠ABP＋∠ACP＝60°．
∵ ．
∴ ，
∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．
即 ；
②PM＝ ．理由如下：
如图，延长PM到N，使得NM＝PM，连接BN．

∵M为BC的中点，
∴BM＝CM．
在△PCM和△NBM中

∴△PCM≌△NBM（SAS）．
∴CP＝BN，∠PCM＝∠NBM．
∴ ．
∵∠BPC＝120°，
∴∠PBC＋∠PCB＝60°．
∴∠PBC＋∠NBM＝60°．
即∠NBP＝60°．
∵∠ABC＋∠ACB＝120°，
∴∠ABP＋∠ACP＝60°．
∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．
即 ．
∴ ．
在△PNB和 中

∴ （SAS）．
∴ ．
∵
∴ 为等边三角形，
∴ ．
∴ ，
∴PM＝ ．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键．
7、
（1）
（2）或，见解析
【分析】
（1）根据已知条件求出∠B=∠ACB=45°，证明△BAD≌△CAE，得到∠ACE=∠B=45°，求出∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，即可得到结论；
（2）根据题意作图即可，证明≌．得到，，，推出．延长EF到点G，使，证明≌，推出．由此得到．同理可证．
（1）
解：，，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵，
∴，即∠BAD=∠CAE，
∵，，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠B=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∴；
（2）
解：如图，补全图形；

．
证明：∵，
∴．
又∵，，
∴≌．
∴，，．
∵，
∴．
∴．
延长EF到点G，使．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴≌．
∴．
∵，
∴．
如图，同理可证．
．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟记全等三角形的判定及性质是解题的关键．掌握分类思想解题是难点．
8、（1）（2）见解析（3）
【分析】
（1）利用边相等和角相等，直接证明，即可得到结论．
（2）利用边相等和角相等，直接证明，得到和，最后通过边与边之间的关系，即可证明结论成立．
（3）要证明，先利用边相等和角相等，直接证明，得到和，最后通过边与边之间的关系，即可证明结论成立．
【详解】
（1）解：
，，
，
在和中，

，
．
（2）解：当点D在线段AC的延长线上时，如下图所示：

，，
，
在和中，

，
，，
．
（3）解：，如下图所示：

，，
，
在和中，

，
，，
．
【点睛】
本题主要是考查了三角形全等的判定和性质，熟练利用条件证明三角形全等，然后利用边相等以及边与边之间关系，即可证明结论成立，这是解决该题的关键．
9、（1）5；（2）证明见解析
【分析】
（1）推出∠ADE＝∠BEC，根据AAS证△AED≌△CEB，推出AE＝BC，BE＝AD，代入求出即可；
（2）推出∠A＝∠EBC，∠AED＝∠BCE，根据AAS证△AED≌△BCE，推出AD＝BE，AE＝BC，即可得出结论．
【详解】
（1）解：∵∠DEC＝∠A＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°，∠AED+∠BEC＝90°，
∴∠ADE＝∠BEC，
∵，∠A＝90°，
∴∠B+∠A＝180°，
∴∠B＝∠A＝90°，
在△AED和△CEB中
，
∴△AED≌△BCE（AAS），
∴AE＝BC＝3，BE＝AD＝2，
∴AB＝AE+BE＝2+3＝5．
（2）证明：∵，
∴∠A＝∠EBC，
∵∠DFC＝∠AEC，
∠DFC＝∠BCE+∠DEC，∠AEC＝∠AED+∠DEC，
∴∠AED＝∠BCE，
在△AED和△BCE中
，
∴△AED≌△BCE（AAS），
∴AD＝BE，AE＝BC，
∵BC＝AE＝AB+BE＝AB+AD，
即AB+AD＝BC．
【点睛】
本题考查了三角形的外角的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的运用，掌握“利用证明两个三角形全等”是解本题的关键．
10、证明见解析.
【分析】
过D作DG∥AC交AB于G，由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDG＝∠BGD＝60°，于是得到△BDG是等边三角形，再证明△AGD≌△DCE即可得到结论.
【详解】
证明：过D作DG∥AC交AB于G，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
又∵DG∥AC，
∴∠BDG＝∠BGD＝60°，
∴△BDG是等边三角形，∠AGD＝180°−∠BGD＝120°，
∴DG＝BD，
∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∴DG＝CD，
∵EC是△ABC外角的平分线，
∴∠ACE＝（180°−∠ACB）＝60°，
∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝120°＝∠AGD，
∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
又∵∠BDG＝60°，∠ADE＝60°，
∴∠ADG＝∠EDC＝30°，
在△AGD和△ECD中，
，
∴△AGD≌△ECD（ASA）．
∴AD＝DE．
【点睛】
本题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．