初中数学第十四章 三角形综合与测试课后练习题
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这是一份初中数学第十四章 三角形综合与测试课后练习题,共33页。试卷主要包含了三角形的外角和是等内容,欢迎下载使用。
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专项测试
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,在直线BC上取一点P,使得△PAB是等腰三角形,则符合条件的点P有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、如图,将的BC边对折,使点B与点C重合,DE为折痕,若,,则( ).
A.45° B.60° C.35° D.40°
3、如图,在和中,,,,,连接,交于点,连接.下列结论:①;②;③平分;④平分.其中正确的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=40°,直线a∥b,若BC在直线b上,则∠1的度数为( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
5、如图,∠A=α,∠DBC=3∠DBA,∠DCB=3∠DCA,则∠BDC的大小为( )
A. B. C. D.
6、已知的三边长分别为a,b,c,则a,b,c的值可能分别是( )
A.1,2,3 B.3,4,7
C.2,3,4 D.4,5,10
7、如图,是等边三角形,点在边上,,则的度数为( ).
A.25° B.60° C.90° D.100°
8、三角形的外角和是( )
A.60° B.90° C.180° D.360°
9、下列各条件中,不能作出唯一的的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
10、如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,AF=DC,添加下列条件中的一个仍无法证明△ABC≌△DEF的是( )
A.BC=EF B.AB=DE C.∠B=∠E D.∠ACB=∠DFE
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、如图,在中,,交BC的延长线于点E,若,点C是BE中点,则______°.
2、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成 _____).
3、如图,已知∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°,则∠BDC的度数为_____.
4、如图,中,,点在边上,,若,则的度数为_______.
5、一个等腰三角形的一边长为2,另一边长为9,则它的周长是________________.
三、解答题(10小题,每小题5分,共计50分)
1、如图所示,四边形的对角线、相交于点,已知,.求证:
(1);
(2).
2、如图,,,E为BC中点,DE平分.
(1)求证:平分;
(2)求证:;
(3)求证:.
3、在等腰中,,点D是BC边上的一个动点(点D不与点B,C重合),连接AD,作等腰,使,,点D,E在直线AC两旁,连接CE.
(1)如图1,当时,直接写出BC与CE的位置关系;
(2)如图2,当时,过点A作于点F,请你在图2中补全图形,用等式表示线段BD,CD,之间的数量关系,并证明.
4、已知:在△ABC中,AD平分∠BAC,AE=AC.求证:AD∥CE.
5、如图,将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起.
(1)如图(1),若∠DCE=33°,则∠BCD= ,∠ACB= .
(2)如图(1),猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系?并说明理由.
(3)如图(2),若是两个同样的直角三角板60°锐角的顶点A重合在一起,则∠DAB与∠CAE的数量关系为 .
6、如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,射线AE交BC于点P,∠BAE=15°;过点C作CD⊥AE于点D,连接BE,过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数;
(2)若∠ABE=75°,求证:BE∥CF.
7、如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D,∠A=50°,求∠BCD的度数.
8、如图,在等边△ABC中,点P是BC边上一点,∠BAP=(30°<<60°),作点B关于直线AP的对称点D,连接DC并延长交直线AP于点E,连接BE.
(1)依题意补全图形,并直接写出∠AEB的度数;
(2)用等式表示线段AE,BE,CE之间的数量关系,并证明.
分析:①涉及的知识要素:图形轴对称的性质;等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质……
②通过截长补短,利用60°角构造等边三角形,进而构造出全等三角形,从而达到转移边的目的.
请根据上述分析过程,完成解答过程.
9、已知:
(1)O是∠BAC内部的一点.
①如图1,求证:∠BOC>∠A;
②如图2,若OA=OB=OC,试探究∠BOC与∠BAC的数量关系,给出证明.
(2)如图3,当点O在∠BAC的外部,且OA=OB=OC,继续探究∠BOC与∠BAC的数量关系,给出证明.
10、如图,在中,,,点D在边AC上,且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合,点F是ED与AB的交点.
(1)求证:;
(2)若,求的度数.
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
根据等腰三角形的判定定理,结合图形即可得到结论.
【详解】
解:以点A、B为圆心,AB长为半径画弧,交直线BC于两个点,然后作AB的垂直平分线交直线BC于点,如图所示:
∵∠C=90°,∠A=30°,
∴,
∵,
∴是等边三角形,
∴点重合,
∴符合条件的点P有2个;
故选B.
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质及等边三角形的性质与判定,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
2、A
【分析】
由折叠得到∠B=∠BCD,根据三角形的内角和得∠A+∠B+∠ACB=180°,代入度数计算即可.
【详解】
解:由折叠得∠B=∠BCD,
∵∠A+∠B+∠ACB=180°,,,
∴65°+2∠B+25°=180°,
∴∠B=45°,
故选:A.
【点睛】
此题考查了折叠的性质,三角形内角和定理,熟记折叠的性质是解题的关键.
3、C
【分析】
由全等三角形的判定及性质对每个结论推理论证即可.
【详解】
∵
∴
∴
又∵,
∴
∴
故①正确
∵
∴
由三角形外角的性质有
则
故②正确
作于,于,如图所示:
则°,
在和中,,
∴,
∴,
在和中,
∴,
∴
∴平分
故④正确
假设平分
则
∵
∴
即
由④知
又∵为对顶角
∴
∴
∴
∴在和中,
∴
即AB=AC
又∵
故假设不符,故不平分
故③错误.
综上所述①②④正确,共有3个正确.
故选:C.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质,灵活的选择全等三角形的判定的方法是解题的关键,从判定两个三角形全等的方法可知,要判定两个三角形全等,需要知道这两个三角形分别有三个元素(其中至少一个元素是边)对应相等,这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角,有目的地完善三角形全等的条件,从而得到判定两个三角形全等的思路.
4、C
【分析】
根据三角形内角和定理确定,然后利用平行线的性质求解即可.
【详解】
解:∵,,
∴,
∵,
∴,
故选:C.
【点睛】
题目主要考查平行线的性质,三角形内角和定理等,熟练掌握运用平行线的性质是解题关键.
5、A
【分析】
根据题意设,根据三角形内角和公式定理,进而表示出,进而根据三角形内角和定理根据即可求解
【详解】
解:∵∠A=α,∠DBC=3∠DBA,∠DCB=3∠DCA,设,
∴
即
故选A
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理,掌握三角形内角和定理是解题的关键.
6、C
【分析】
三角形的三边应满足两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,据此求解.
【详解】
解:A、1+2=3,不能组成三角形,不符合题意;
B、3+4=7,不能组成三角形,不符合题意;
C、2+3>4,能组成三角形,符合题意;
D、4+5<10,不能组成三角形,不符合题意;
故选:C.
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系,满足两条较小边的和大于最大边即可.
7、D
【分析】
由等边三角形的性质及三角形外角定理即可求得结果.
【详解】
∵是等边三角形
∴∠C=60°
∴∠ADB=∠DBC+∠C=40°+60°=100°
故选:D
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质,掌握这两个性质是关键.
8、D
【分析】
根据三角形的内角和定理、邻补角的性质即可得.
【详解】
解:如图,,
,
又,
,
即三角形的外角和是,
故选:D.
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质,熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键.
9、B
【分析】
根据三角形全等的判定及三角形三边关系即可得出结果.
【详解】
解:A、,不能组成三角形;
B、根据不可以确定选项中条件能作出唯一三角形;
C、根据可以确定选项中条件能作出唯一三角形;
D、根据可以确定选项中条件能作出唯一三角形;
故答案为:B.
【点睛】
本题考查确定唯一三角形所需要的条件及三角形三边关系,解题关键在于对全等判定条件的理解.
10、A
【分析】
根据AF=DC求出AC=DF,再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可.
【详解】
解:∵AF=DC,
∴AF+FC=DC+FC,
即AC=DF,
A、BC=EF,AC=DF,∠A=∠D,不符合全等三角形的判定定理,不能推出△ABC≌△DEF,故本选项符合题意;
B、AB=DE,∠A=∠D,AC=DF,符合全等三角形的判定定理SAS,能推出△ABC≌△DEF,故本选项不符合题意;
C.∠B=∠E,∠A=∠D,AC=DF,符合全等三角形的判定定理AAS,能推出△ABC≌△DEF,故本选项不符合题意;
D.∠ACB=∠DFE,AC=DF,∠A=∠D,符合全等三角形的判定定理ASA,能推出△ABC≌△DEF,故本选项不符合题意;
故选:A.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理,能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,两直角三角形全等还有HL.
二、填空题
1、67.5°
【分析】
连接AE,先得出∠BAC=∠BAE,再根据,得出∠BAC=22.5°,最后得出结果.
【详解】
解:连接AE,
∵点C是BE中点,
∴BC=CE,
∵∠ACB=90°,
∴AC⊥BE,
∴AB=AE,
∴∠BAC=∠BAE,
∵DE⊥AB,
∴∠ADE=90°,
∵,
∴∠AED=∠DAE=45°,
∴∠BAC=∠BAE=22.5°,
∴∠B=90°-∠BAC=67.5°.
故答案为:67.5°.
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质及直角三角形的性质,正确作出辅助线是解题的关键.
2、角边角或
【分析】
根据全等三角形的判定定理得出即可.
【详解】
解答:解:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等,简写成角边角或ASA,
故答案为:角边角或ASA.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理,掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.
3、110°
【分析】
延长BD交AC于点E,根据三角形的外角性质计算,得到答案.
【详解】
延长BD交AC于点E,
∵∠DEC是△ABE的外角,∠A=60°,∠B=20°,
∴∠DEC=∠A+∠B=80°,
则∠BDC=∠DEC+∠C=110°,
故答案为:110°.
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,作辅助线DE是解题的关键.
4、
【分析】
先求出∠EDC=35°,然后根据平行线的性质得到∠C=∠EDC=35°,再由直角三角形两锐角互余即可求解.
【详解】
解:∵∠1=145°,
∴∠EDC=35°,
∵DE∥BC,
∴∠C=∠EDC=35°,
又∵∠A=90°,
∴∠B=90°-∠C=55°,
故答案为:55°.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质,直角三角形两锐角互余,求出∠C的度数是解题的关键.
5、20
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为2和9,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.
【详解】
解:分两种情况:当腰为2时,2+2<9,所以不能构成三角形;
当腰为9时,2+9>9,所以能构成三角形,周长是:2+9+9=20.
故答案为:20.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.
三、解答题
1、
(1)证明见解析;
(2)证明见解析.
【分析】
(1)根据全等三角形的判定定理可直接证明;
(2)根据(1)中结论可得,再由等角对等边得出,运用等式的性质进行计算即可证明.
(1)
解:在与中,
,
∴;
(2)
由(1)可得:,
∴,
∵,
∴,
∴,
即.
【点睛】
题目主要考查全等三角形的判定和性质,等角对等边的性质,理解题意,综合运用这些知识点是解题关键.
2、(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析
【分析】
(1)延长DE交AB延长线于F,由∠B=∠C=90°,推出AB∥CD,则∠CDE=∠F,再由DE平分∠ADC,即可推出∠ADF=∠F,得到AD=AF,即△ADF是等腰三角形,然后证明△CDE≌△BFE得到DE=FE,即E是DF的中点,即可证明AE平分∠BAD;
(2)由(1)即可用三线合一定理证明;
(3)由△CDE≌△BFE,得到CD=BF,则AD=AF=AB+BF=AB+CD.
【详解】
解:(1)如图所示,延长DE交AB延长线于F,
∵∠B=∠C=90°,
∴AB∥CD,
∴∠CDE=∠F,
∵DE平分∠ADC,
∴∠CDE=∠ADE,
∴∠ADF=∠F,
∴AD=AF,
∴△ADF是等腰三角形,
∵E是BC的中点,
∴CE=BE,
∴△CDE≌△BFE(AAS),
∴DE=FE,
∴E是DF的中点,
∴AE平分∠BAD;
(2)由(1)得△ADF是等腰三角形,AD=AF,E是DF的中点,
∴AE⊥DE;
(3)∵△CDE≌△BFE,
∴CD=BF,
∴AD=AF=AB+BF=AB+CD.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定,全等三角形的性质与判定,等腰三角形的性质与判定,熟知相关知识是解题的关键.
3、
(1)
(2)或,见解析
【分析】
(1)根据已知条件求出∠B=∠ACB=45°,证明△BAD≌△CAE,得到∠ACE=∠B=45°,求出∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,即可得到结论;
(2)根据题意作图即可,证明≌.得到,,,推出.延长EF到点G,使,证明≌,推出.由此得到.同理可证.
(1)
解:,,
∴∠B=∠ACB=45°,
∵,
∴,即∠BAD=∠CAE,
∵,,
∴△BAD≌△CAE,
∴∠ACE=∠B=45°,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,
∴;
(2)
解:如图,补全图形;
.
证明:∵,
∴.
又∵,,
∴≌.
∴,,.
∵,
∴.
∴.
延长EF到点G,使.
∵,
∴.
∴.
∵,
∴.
∴.
∵,
∴≌.
∴.
∵,
∴.
如图,同理可证.
.
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质,等腰三角形的性质,熟记全等三角形的判定及性质是解题的关键.掌握分类思想解题是难点.
4、见解析.
【分析】
先根据角平分线的定义得到∠BAD=∠BAC,再根据等腰三角形的性质和三角形外角定理得到∠E=∠BAC,从而得到∠BAD=∠E,即可证明AD∥CE.
【详解】
解:∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠BAC,
∵AE=AC,
∴∠E=∠ACE,
∵∠E+∠ACE=∠BAC,
∴∠E=∠BAC,
∴∠BAD=∠E,
∴AD∥CE.
【点睛】
本题考查了角平分线的定义,等腰三角形的性质,平行线的判定,三角形外角定理,熟知相关定理并灵活应用是解题关键.
5、(1)57°,147°;(2)∠ACB=180°-∠DCE,理由见解析;(3)∠DAB+∠CAE=120°
【分析】
(1)根据角的和差定义计算即可.
(2)利用角的和差定义计算即可.
(3)利用特殊三角板的性质,角的和差定义即可解决问题.
【详解】
解:(1)由题意,
;
;
故答案为:57°,147°.
(2)∠ACB=180°-∠DCE,
理由如下:
∵ ∠ACE=90°-∠DCE,∠BCD=90°-∠DCE,
∴ ∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠BCD
=90°-∠DCE+∠DCE+90°-∠DCE
=180°-∠DCE.
(3)结论:∠DAB+∠CAE=120°.
理由如下:
∵∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠BAC+∠CAE=∠DAC+∠EAB,
又∵∠DAC=∠EAB=60°,
∴∠DAB+∠CAE=60°+60°=120°.
故答案为:∠DAB+∠CAE=120°.
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理,角的和差定义等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
6、(1);(2)证明见详解.
.
【分析】
(1)根据三角形内角和及等腰三角形的性质可得,,由各角之间的关系及三角形内角和定理可得,,最后由平行线的性质即可得出;
(2)由题意及各角之间的关系可得,得出,利用平行线的判定定理即可证明.
【详解】
解:(1)∵,,,
∴,,
∵,
∴,,
∴,
∴,
∵,
∴,,
∴;
(2)∵,,
∴,
由(1)可得,
∴,
∴(内错角相等,两直线平行).
【点睛】
题目主要考查平行线的判定与性质,三角形内角和定理等,熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键.
7、25°
【分析】
直接利用等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=65°,进而利用三角形内角和定理得出答案.
【详解】
∵AB=AC,∠A=50°,
∴∠ABC=∠ACB=65°,
∵CD⊥BC于点D,
∴∠BCD的度数为:180°−90°−65°=25°.
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质,正确得出∠B的度数是解题关键.
8、(1)图见解析,∠AEB=60°;(2)AE=BE+CE,证明见解析
【分析】
(1)依题意补全图形,如图所示:然后连接AD,先求出,然后根据轴对称的性质得到,AD=AB=AC,∠AEC=∠AEB,求出,即可求出,再由进行求解即可;
(2)如图,在AE上截取EG=BE,连接BG.先证明△BGE是等边三角形,得到BG=BE=EG,∠GBE=60°. 再证明∠ABG=∠CBE,即可证明△ABG≌△CBE得到AG=CE,则AE=EG+AG=BE+CE.
【详解】
解:(1)依题意补全图形,如图所示:连接AD,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,AB=AC,
∵,
∴,
∵B、D关于AP对称,
∴,AD=AB=AC,∠AEC=∠AEB,
∴,
∴,
∴,
∴
∴∠AEB=60°.
(2)AE=BE+CE.
证明:如图,在AE上截取EG=BE,连接BG.
∵∠AEB=60°,
∴△BGE是等边三角形,
∴BG=BE=EG,∠GBE=60°.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABC=60°,
∴∠ABG+∠GBC=∠GBC+∠CBE=60°,
∴∠ABG=∠CBE.
在△ABG和△CBE中,
∴△ABG≌△CBE(SAS),
∴AG=CE,
∴AE=EG+AG=BE+CE.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质,等边三角形的性质与判定,轴对称的性质,等腰三角形的性质与判定,三角形内角和定理,三角形外角的性质等等,熟知相关知识是解题的关键
9、(1)①见解析;②∠BOC=2∠A,见解析;(2)∠BOC=2∠BAC,见解析
【分析】
(1)①连接AO并延长AO至点E,根据三角形外角性质解答即可;
②延长AO至点E,根据三角形外角性质解答即可;
(2)根据三角形外角性质和三角形内角和定理解答即可.
【详解】
证明:(1)①如图所示:连接AO并延长AO至点E,则∠BOE>∠BAO,∠COE>∠CAO,
∴∠BOC>∠A;
②∠BOC与∠BAC的数量关系:∠BOC=2∠A;
证明:如图所示,延长AO至点E,则∠BOE=∠BAO+∠B,∠COE=∠CAO+∠C,
∵OA=OB=OC,
∴∠BAO=∠B,∠CAO=∠C,
∴∠BOC=∠COE+∠COE=∠BAO+∠B+∠CAO+∠C=2(∠BAO+∠CAO)=2∠BAC;
(2)∠BOC与∠BAC的数量关系:∠BOC=2∠BAC;
证明:如图所示,设∠B=x,
∵OA=OB=OC,
∴∠B=∠BAO=x,∠C=∠OAC=∠BAC+x;
在△BEO和△AEC中,有:∠B+∠BOC=∠C+∠CAE;
即x+∠BOC=∠CAE+x+∠CAE=2∠BAC+x;
即∠BOC=2∠BAC.
【点睛】
此题考查三角形综合题,关键是根据三角形外角性质和三角形内角和定理解答.
10、(1)见解析;(2)
【分析】
(1)由旋转的性质可得,,再证明,结合 从而可得结论;
(2)由可得,再利用等腰三角形的性质求解,再利用三角形的内角和定理可得答案.
【详解】
证明:(1)∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合,
∴,,
∵,,
∴,
∴,
∴(SAS),
∴.
(2)解:由(1)知
,,,
∴,
∴.
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质,旋转的性质,等腰三角形的性质,掌握“旋转前后的对应边相等,对应角相等”是解本题的关键.
相关试卷
这是一份沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形综合与测试当堂达标检测题,共33页。试卷主要包含了下列三角形与下图全等的三角形是,有下列说法,如图,ABC≌DEF,点B等内容,欢迎下载使用。
这是一份初中数学沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形综合与测试同步练习题,共34页。试卷主要包含了已知长方形纸片ABCD,点E等内容,欢迎下载使用。
这是一份初中沪教版 (五四制)第十四章 三角形综合与测试精练,共38页。试卷主要包含了下列三角形与下图全等的三角形是,如图,在中,,下列三个说法等内容,欢迎下载使用。