沪教版 (五四制)第十四章 三角形综合与测试随堂练习题

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沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专题攻克 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=（     ）A．30° B．40° C．50° D．60°2、如图，ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将ABC绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边AB上，则的度数是（    ）A．50° B．70° C．110° D．120°3、若一个三角形的三个外角之比为3：4：5，则该三角形为（　　）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形4、如图，≌，和是对应角，和是对应边，则下列结论中一定成立的是（   ）A． B．C． D．5、如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°，则∠BFC＝115°；④DF＝EF．其中正确的有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6、如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（    ）A． B． C． D．7、下列叙述正确的是（    ）A．三角形的外角大于它的内角 B．三角形的外角都比锐角大C．三角形的内角没有小于60°的 D．三角形中可以有三个内角都是锐角8、已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（    ）A．10 B．8 C．7 D．49、如图，∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，则∠BDC的大小为（    ）A． B． C． D．10、以下长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）A．2，3，5 B．4，4，8 C．3，4.8，7 D．3，5，9第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，等腰△ABC中，AB＝AC，A＝40，点D在边AC上，ADB＝100，则DBC的度数为____________ °．2、在中，若，则_______．3、等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为________．4、如图，为△ABC的中线，为△的中线，为△的中线，……按此规律，为△的中线．若△ABC的面积为8，则△的面积为_______________．5、如图，已知点是射线上一点，过作交射线于点，交射线于点，给出下列结论：①是的余角；②图中互余的角共有3对；③的补角只有；④与互补的角共有3个，其中正确结论有______（把你认为正确的结论的序号都填上）．三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、如图，已知点E、C在线段BF上，，，．求证：．2、如图，在中，，，点D是内一点，连接CD，过点C作且，连接AD，BE．求证：．3、如图，在中，是角平分线，，．（1）求的度数；（2）若，求的度数．4、如图，四边形中，，，于点．（1）如图1，求证：；（2）如图2，延长交的延长线于点，点在上，连接，且，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，交于点，连接，且，当，时，求的长．5、如图，在中，，，，BD是的角平分线，点E在AB边上，．求的周长．6、如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起．（1）如图（1），若∠DCE＝33°，则∠BCD＝      ，∠ACB＝      ．（2）如图（1），猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由．（3）如图（2），若是两个同样的直角三角板60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的数量关系为      ．7、如图，AD为△ABC的角平分线．（1）如图1，若BE⊥AD于点E，交AC于点F，AB＝4，AC＝7．则CF＝　   　；（2）如图2，CG⊥AD于点G，连接BG，若△ABG的面积是6，求△ABC的面积；（3）如图3，若∠B＝2∠C，AB＝m，AC＝n，则CD的长为 　   　．（用含m，n的式子表示）8、命题：如图，已知，共线，（1），那么．（1）从①和②两个条件中，选择一个填入横线，使得上述命题为真命题，你选择的条件为_______（填序号）；（2）根据你选择的条件，判定的方法是________；（3）根据你选择的条件，完成的证明．9、周老师带领同学们在数学课上探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你完成下列问题：（1）已知：如图①，在中，，，直线BD平分交AC于点D．求证：与都是等腰三角形；（2）在证明了该命题后，小尹同学发现：图②、③两个等腰三角形也具有这种特性，请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；（3）接着，小尹又发现：还有一些非等腰三角形也具有这样的特性：即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形，请你画出一个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征．10、已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AE=AC．求证：AD∥CE． -参考答案-一、单选题1、A【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．【详解】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，故选：A．【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．2、B【分析】根据旋转可得，，得．【详解】解：，，，将绕点逆时针旋转得到△，使点的对应点恰好落在边上，，，．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．3、A【分析】根据三角形外角和为360°计算，求出内角的度数，判断即可．【详解】解：设三角形的三个外角的度数分别为3x、4x、5x，则3x+4x+5x＝360°，解得，x＝30°，∴三角形的三个外角的度数分别为90°、120°、150°，对应的三个内角的度数分别为90°、60°、30°，∴此三角形为直角三角形，故选：A．【点睛】本题考查的是三角形的外角和，掌握三角形外角和为360°是解题的关键．4、D【分析】根据全等三角形的性质求解即可．【详解】解：∵≌，和是对应角，和是对应边，∴，，∴，∴选项A、B、C错误，D正确，故选：D．【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．5、C【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质逐个判定即可解答．【详解】解：∵BF是∠AB的角平分线，∴∠DBF＝∠CBF，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∴∠DBF＝∠DFB，∴BD＝DF，∴△BDF是等腰三角形；故①正确；同理，EF＝CE，∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正确；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴，∴∠FBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝65°，∴∠BFC＝180°﹣65°＝115°，故③正确；当△ABC为等腰三角形时，DF＝EF，但△ABC不一定是等腰三角形，∴DF不一定等于EF，故④错误．故选：C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的定义及平行线的性质等知识点，根据两直线平行、内错角相等以及等角对等边来判定等腰三角形是解答本题的关键．6、C【分析】根据题意，可知仍可辨认的有1条边和2个角，且边为两角的夹边，即可根据来画一个完全一样的三角形【详解】根据题意可得，已知一边和两个角仍保留，且边为两角的夹边，根据两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，即故选C【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形的判定方法是解题的关键．7、D【分析】结合直角三角形，钝角三角形，锐角三角形的内角与外角的含义与大小逐一分析即可.【详解】解：三角形的外角不一定大于它的内角，锐角三角形的任何一个外角都大于内角，故A不符合题意；三角形的外角可以是锐角，不一定比锐角大，故B不符合题意；三角形的内角可以小于60°，一个三角形的三个角可以为： 故C不符合题意；三角形中可以有三个内角都是锐角，这是个锐角三角形，故D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是三角形的的内角与外角的含义与大小，掌握“直角三角形，钝角三角形，锐角三角形的内角与外角”是解本题的关键.8、C【分析】根据三角形三边关系列出不等式，根据不等式的解集求整数m的最大值．【详解】解：条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则，即又为整数，则整数m的最大值是7故选C【点睛】本题考查了求不等式的整数解，三角形三边关系，根据三角形的三边关系列出不等式是解题的关键．9、A【分析】根据题意设，根据三角形内角和公式定理，进而表示出，进而根据三角形内角和定理根据即可求解【详解】解：∵∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，设，∴即故选A【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．10、C【分析】由题意根据三角形的三条边必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行分析即可．【详解】解：A、2+3=5，不能组成三角形，不符合题意；B、4+4=8，不能组成三角形，不符合题意；C、3+4.8＞7，能组成三角形，符合题意；D、3+5＜9，不能组成三角形，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．注意掌握判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数即可．二、填空题1、30【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再根据三角形外角的性质求解即可．【详解】解：∵AB＝AC，A＝40，∴，∵∠ADB=∠DBC+∠C=100°，∴∠DBC=30°，故答案为：30．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．2、65°65度【分析】由三角形的内角和定理，得到，即可得到答案；【详解】解：在中，，∵，∴，∴；故答案为：65°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和等于360°．3、22【分析】分两种情况讨论：当腰长为时， 当腰长为时，再结合三角形的三边关系，从而可得答案.【详解】解： 等腰三角形的两边长分别是和， 当腰长为时，此时 不符合题意，舍去，当腰长为时，此时 符合题意，所以三角形的周长为： 故答案为：【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的三边关系，掌握“等腰三角形的两腰相等，再分情况讨论”是解本题的关键.4、【分析】根据三角形的中线性质，可得△的面积=，△的面积=，……，进而即可得到答案．【详解】由题意得：△的面积=，△的面积=，……，△的面积==．故答案是：．【点睛】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分，是解题的关键．5、①④【分析】根据垂直定义可得∠BAC=90°，∠ADC=∠ADB=∠CAE=90°，结合三角形的内角和，然后再根据余角定义和补角定义逐一进行分析即可．【详解】解： ， 是的余角；故①符合题意； ， 互为余角，互为余角， ，互为余角，所以图中互余的角共有4对，故②不符合题意； 与互补；∵∠1+∠DAC=90°，∠BAD+∠DAC=90°， ∴∠1=∠BAD， ∵∠BAD+∠DAE=180°， ∴∠1+∠DAE=180°， ∴∠1与∠DAE互补， 故③不符合题意； ， 所以与互补的角有 共3个，故④符合题意；所以正确的结论有：①④故答案为：①④【点睛】本题考查的是垂直的定义，互余，互补的含义，三角形的内角和定理，掌握“互为余角的两个角之和为 互为补角是两个角之和为”是解本题的关键.三、解答题1、见解析【分析】由平行线的性质可证明．再由，可推出．最后即可利用“ASA”直接证明．【详解】证明：，即．∴在和中，．【点睛】本题考查三角形全等的判定，平行线的性质，线段的和与差．掌握三角形全等的判定条件是解答本题的关键．2、证明见解析．【分析】先根据角的和差可得，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：，，，，，在和中，，，．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．3、（1）；（2）．【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出，然后利用角平分线进行计算即可得；（2）根据垂直得出，然后根据三角形内角和定理即可得．（1）解：∵，，∴，∵AD是角平分线，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴．【点睛】题目主要考查三角形内角和定理，角平分线的计算等，熟练运用三角形内角和定理是解题关键．4、（1）见解析；（2）见解析；（3）2【分析】（1）过点B作于点Q，根据AAS证明△得，再证明四边形是矩形得BQ=CG，从而得出结论；(2) 在GF上截取GH=GE，连接AH，证明AH=FH，GE=GH即可；(3) 过点A作于点P，在FC上截取，连接，证明得，可证明AC是EH的垂直平分线，再证明和△得可求出，从而可得结论．【详解】解：（1）证明：过点B作于点Q，如图1∵又，∴△∴四边形是矩形；（2）在GF上截取GH=GE，连接AH，如图2，又（3）过点A作于点P，在FC上截取，连接，如图3，由（1）、（2）知，，∵∴∵∴∴∴∠∵∴∠∴∵∴∠∴∴AC是EH的垂直平分线，∴∴又∵∴∴∠∴∠∵∠， ∴∠∴∵ ∴ ∴ ∵∠∴，即 ∴ ∵，即 ∴ 在和中， ∴△∴∴∴∴【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5、【分析】由题意结合角平分线性质和全等三角形判定得出，进而依据的周长进行求解即可.【详解】解：∵，，，∴,∵BD是的角平分线，∴,在和中，,∴，∴，∵，∴的周长.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及角平分线性质，熟练掌握利用全等三角形的判定与性质以及角平分线性质进行边的等量替换是解题的关键.6、（1）57°，147°；（2）∠ACB＝180°－∠DCE，理由见解析；（3）∠DAB+∠CAE＝120°【分析】（1）根据角的和差定义计算即可．（2）利用角的和差定义计算即可．（3）利用特殊三角板的性质，角的和差定义即可解决问题．【详解】解：（1）由题意，；；故答案为：57°，147°．    （2）∠ACB＝180°－∠DCE，   理由如下：∵  ∠ACE＝90°－∠DCE，∠BCD＝90°－∠DCE， ∴  ∠ACB＝∠ACE＋∠DCE＋∠BCD＝90°－∠DCE＋∠DCE＋90°－∠DCE＝180°－∠DCE．    （3）结论：∠DAB+∠CAE=120°．理由如下：∵∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠BAC+∠CAE=∠DAC+∠EAB，又∵∠DAC=∠EAB=60°，∴∠DAB+∠CAE=60°+60°=120°．故答案为：∠DAB+∠CAE=120°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7、（1）3（2）12（3）【分析】（1）利用ASA证明△AEF≌△ABE，得AE=AB=4，得出答案；（2）延长CG、AB交于点H，设S△BGC=S△HGB=a，用两种方法表示△ACH的面积即可；（3）在AC上取AN=AB，可得CD=DN=n-m，根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可求出CD的长．（1）∵AD是△ABC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵BE⊥AD，∴∠BEA=∠FEA，在△AEF和△AEB中， ，∴△AEF≌△AEB（ASA），∴AF=AB=4，∵AC=7    ∴CF=AC-AF=7-4=3，故答案为：3；（2）延长CG、AB交于点H，如图，由（1）知AC=AH，点G为CH的中点，设S△BGC=S△HGB=a，根据△ACH的面积可得：S△ABC+2a=2（6+a），∴S△ABC=12；（3）在AC上取AN=AB，如图，∵AD是△ABC的平分线，∴∠NAD=∠BAD，在△ADN与△ADB中，，∴△ADN≌△ADB（SAS），∴∠AND=∠B，DN=BD，∵∠B=2∠C，∴∠AND=2∠C，∴∠C=∠CDN，∴CN=DN=AC-AB=n-m，∴BD=DN=n-m，根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可得：，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积等知识，利用角的轴对称性构造全等三角形是解题的关键．8、（1）①（2）SAS（3）见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定方法分析得出答案；（2）根据（1）直接填写即可；（3）利用SAS进行证明．（1）解：∵，∴∠A=∠F，∵AC=EF，∴当时，可根据SAS证明；当时，不能证明，故答案为：①；（2）解：当时，可根据SAS证明，故答案为：SAS；（3）证明：在△ABC和△FDE中，，∴．【点睛】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．9、（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解；【分析】（1）根据等边对等角，及角平分线定义易得∠1=∠2=36°，∠C=72°，那么∠BDC=72°，则可得AD=BD=CB，所以△ABD与△DBC都是等腰三角形；（2）把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108°的角分为36°和72°即可；（3）利用直角三角形的中线等于直角三角形斜边的一半可得任意直角三角形的中线把直角三角形分为两个等腰三角形；由（1），（2）易得所知的两个角要么是2倍关系，要么是3倍关系，可猜测只要所给的三个角中有2个角是2倍或3倍关系都可得到上述图形；（4）按照发现的（3）的特点来写，注意去掉特殊三角形的形式．（1）证明：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠A=36°，∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2=36°∴∠3=∠1+∠A=72°，∴∠1=∠A，∠3=∠C，∴AD=BD，BD=BC，∴△ABD与△BDC都是等腰三角形（2）解：如下图所示：（3）解：如图所示：（4）解：特征一：直角三角形（直角边不等）；特征二：2倍内角关系，在△ABC中，∠A=2∠B，0°＜∠B＜45°，其中，∠B≠30°；【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；注意应根据题中所给的范例用类比的方法推测出把一般三角形分为两个等腰三角形的一般结论．10、见解析．【分析】先根据角平分线的定义得到∠BAD=∠BAC，再根据等腰三角形的性质和三角形外角定理得到∠E=∠BAC，从而得到∠BAD=∠E，即可证明AD∥CE．【详解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC，∵AE=AC，∴∠E=∠ACE，∵∠E+∠ACE=∠BAC，∴∠E=∠BAC，∴∠BAD=∠E，∴AD∥CE．【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形外角定理，熟知相关定理并灵活应用是解题关键．