初中数学沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形综合与测试课时练习

这是一份初中数学沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形综合与测试课时练习，共36页。试卷主要包含了如图，点A等内容，欢迎下载使用。
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专项攻克
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、三根小木棒摆成一个三角形，其中两根木棒的长度分别是和，那么第三根小木棒的长度不可能是（ ）
A． B． C． D．
2、如图，在中，AD是角平分线，且，若，则的度数是（ ）

A．45° B．50° C．52° D．58°
3、将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
4、如图，点A、B、C、D在一条直线上，点E、F在AD两侧，，，添加下列条件不能判定的是（ ）

A． B． C． D．
5、小明把一副含有45°，30°角的直角三角板如图摆放其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠a+∠β等于（ ）

A．180° B．210° C．360° D．270°
6、如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AF＝DC，添加下列条件中的一个仍无法证明△ABC≌△DEF的是（　　）

A．BC＝EF B．AB＝DE C．∠B＝∠E D．∠ACB＝∠DFE
7、在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则∠C＝（　　）
A．70° B．80° C．100° D．120°
8、已知三角形的两边长分别是3cm和7cm，则下列长度的线段中能作为第三边的是（　　）
A．3cm B．4cm C．7cm D．10cm
9、如图，，AC，BD相交于点O．添加一个条件，不一定能使≌的是（ ）

A． B．
C． D．
10、如图，和全等，且，对应．若，，，则的长为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．无法确定
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、在新年联欢会上，老师设计了“你说我画”的游戏．游戏规则如下：甲同学需要根据乙同学提供的三个条件画出形状和大小都确定的三角形．已知乙同学说出的前两个条件是“，”．现仅存下列三个条件：①；②；③．为了甲同学画出形状和大小都确定的，乙同学可以选择的条件有： ______．（填写序号，写出所有正确答案）
2、如图，在三角形ABC中，，点D为射线CB上一点，过点D作交直线AB于点E，交直线AC于点F，CG平分交DF于点G．若，则______°．

3、如图，已知△ABC是等边三角形，边长为3，G是三角形的重心，那么GA =______．

4、如图，△ABC中，AB平分∠DAC，AB⊥BC，垂足为B，若∠ADC与∠ACB互补，BC＝5，则CD的长为_________．

5、如图，点，在直线上，且，且，过，，分别作，，，若，，，则的面积是______．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）
1、已知，在△ABC中，∠BAC＝30°，点D在射线BC上，连接AD，∠CAD＝，点D关于直线AC的对称点为E，点E关于直线AB的对称点为F，直线EF分别交直线AC，AB于点M，N，连接AF，AE，CE．
（1）如图1，点D在线段BC上．
①根据题意补全图1；
②∠AEF ＝ （用含有的代数式表示），∠AMF＝ °；
③用等式表示线段MA，ME，MF之间的数量关系，并证明．
（2）点D在线段BC的延长线上，且∠CAD＜60°，直接用等式表示线段MA，ME，MF之间的数量关系，不证明．

2、已知AMCN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．
（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系： ．
（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为 ．

3、如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，．求证：．

4、已知∠POQ=120°，点A，B分别在OP，OQ上，OA＜OB，连接AB，在AB上方作等边△ABC，点D是BO延长线上一点，且AB=AD，连接AD
（1）补全图形；
（2）连接OC，求证：∠COP=∠COQ；
（3）连接CD，CD交OP于点F，请你写出一个∠DAB的值，使CD=OB+OC一定成立，并证明


5、如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB=DE，∠B=∠E，BF=CE．求证：AC=DF．

6、已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AE=AC．求证：AD∥CE．

7、如图，在中，AD平分，于点E．求证：．

8、如图，是等边三角形，，分别交AB，AC于点D，E．

（1）求证：是等边三角形；
（2）点F在线段DE上，点G在外，，，求证：．
9、如图，等边△ABC中，点D在BC上，CE=CD，∠BCE=60°，连接AD、BE．

（1）如图1，求证：AD=BE；
（2）如图2，延长AD交BE于点F，连接DE、CF，在不添加任何辅助线和其它字母的情况下，请直接写出等于120°的角．
10、如图，在中，，，，BD是的角平分线，点E在AB边上，．求的周长．


-参考答案-
一、单选题
1、D
【分析】
设第三根木棒长为x厘米，根据三角形的三边关系可得8﹣5＜x＜8+5，确定x的范围即可得到答案．
【详解】
解：设第三根木棒长为x厘米，由题意得：
8﹣5＜x＜8+5，即3＜x＜13，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．
2、A
【分析】
根据角平分线性质求出∠DCA，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠C和∠B即可．
【详解】
解：∵AD是角平分线，，
∴∠DCA==30°，
∵AD=AC，
∴∠C=（180°－∠DCA）÷2=75°，
∴∠B=180°－∠BAC－∠C=180°－60°－75°=45°，
故选：A．
【点睛】
本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键．
3、A
【分析】
根据三根木条即为三角形的三边长，利用全等三角形判定定理确定唯一三角形即可得．
【详解】
解：三根木条即为三角形的三边长，
即为利用确定三角形，
故选：A．
【点睛】
题目主要考查利用全等三角形判定确定唯一三角形，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．
4、A
【分析】
根据题意，可得，结合选项根据三角形全等的性质与判定逐项分析即可．
【详解】
解：

A. ，，不能根据SSA证明三角形全等，故该选项符合题意；
B.


,

故能判定，不符合题意；
C. ,，
，故能判定，不符合题意；
D.


，故能判定，不符合题意；
故选A
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
5、B
【分析】
已知，得到，根据外角性质，得到，，再将两式相加，等量代换，即可得解；
【详解】
解：如图所示，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴；
故选D．
【点睛】
本题主要考查了三角形外角定理的应用，准确分析计算是解题的关键．
6、A
【分析】
根据AF=DC求出AC=DF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】
解：∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，
即AC=DF，
A、BC=EF，AC=DF，∠A=∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
B、AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
C．∠B=∠E，∠A=∠D，AC=DF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．∠ACB=∠DFE，AC=DF，∠A=∠D，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
7、D
【分析】
根据三角形的内角和，①，进而根据已知条件，将代入①即可求得
【详解】
解：∵在△ABC中，，∠A＝∠B＝∠C，
∴
解得
故选D
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
8、C
【分析】
设三角形第三边的长为x cm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．
【详解】
解：设三角形的第三边是xcm．则
7-3＜x＜7+3．
即4＜x＜10，
四个选项中，只有选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形三边关系的应用．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
9、C
【分析】
直接利用直角三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项；先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项；直接利用三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项，由此即可得出答案．
【详解】
解：当添加条件是时，
在和中，，
，则选项不符题意；
当添加条件是时，
，
在和中，，
，则选项不符题意；
当添加条件是时，
在和中，，
，则选项不符题意；
当添加条件是时，不一定能使，则选项符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
10、A
【分析】
全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可．
【详解】
∵和全等，，对应
∴
∴AB=DF=4
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等③全等三角形有传递性．
二、填空题
1、②
【分析】
根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，即可求解．
【详解】
解：①若选，是边边角，不能得到形状和大小都确定的；
②若选，是边角边，能得到形状和大小都确定的；
③若选，是边边角，不能得到形状和大小都确定的；
所以乙同学可以选择的条件有②．
故答案为：②
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边及其夹角对应相等的两个三角形全等是解题的关键．
2、80
【分析】
先求解 再求解 再利用三角形的外角的性质可得答案.
【详解】
解： ，，

，

，


CG平分，


故答案为：
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练的运用平行线的性质探究角之间的关系是解本题的关键.
3、
【分析】
延长AG交BC于D，根据重心的概念得到AD⊥BC，BD=DC=BC=，根据勾股定理求出AD，根据重心的概念计算即可．
【详解】
解：延长AG交BC于D，
∵G是三角形的重心，
∴AD⊥BC，BD=DC=BC=，
由勾股定理得，AD=，
∴GA=AD=，

故答案为：．
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质、三角形的重心的概念，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
4、10
【分析】
构造，再证得，求得EB=BC,再通过等量代换、等角的补角相等求得∠E=∠CDE，则CE=2BC=10．
【详解】
解：延长AD.和CB交于点E.

∵AB平分∠DAC
∴∠EAB=∠CAB
又∵
∴∠ABE=∠ABC
又∵AB=AB
∴
∴BC=EB=5，∠E=∠ACB，
又∵
∴∠ACB=∠CDE
∴∠E=∠CDE
∴.CD=CE
又∵CE=2BC=10
∴CD=10
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等角的补角相等，能根据全等三角形的性质找到角与角之间的关系是解答此题的关键．
5、15
【分析】
根据AAS证明△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，再根据全等三角形的性质以及三角形的面积公式求解即可．
【详解】
解：（1）∵EF⊥FG，BG⊥FG，
∴∠EFA=∠AGB=90°，
∴∠AEF+∠EAF=90°，
又∵AE⊥AB，即∠EAB=90°，
∴∠BAG+∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠BAG，
在△AEC和△CDB中，
，
∴△EFA≌△AGB（AAS）；
同理可证△BGC≌△CHD（AAS），
∴AG=EF=6，CG=DH=4，
∴S△ABC=ACBG=(AG+GC)BG=(6+4)3=15．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题
1、（1）①见解析； ②，；③MF＝MA＋ME，证明见解析；（2）
【分析】
（1）①按照要求旋转作图即可；②由旋转和等腰三角形性质解出∠AEF；再由三角形外角定理求出∠AMF； ③在FE上截取GF＝ME，连接AG，证明△AFG ≌△AEM且△AGM为等边三角形后即可证得MF＝MA＋ME；
（2）根据题意画出图形，根据含30°的直角三角形的性质，即可得到结论．
【详解】
解：（1）①补全图形如下图：

②∵∠CAE=∠DAC=，
∴∠BAE=30°+
∴∠FAE=2×（30°+）
∴∠AEF==60°-；
∵∠AMF=∠CAE+∠AEF=+60°-=60°，
故答案是：60°-，60°；
③MF＝MA＋ME．
证明：在FE上截取GF＝ME，连接AG ．

∵点D关于直线AC的对称点为E，
∴△ADC ≌△AEC．
∴∠CAE ＝∠CAD ＝．
∵∠BAC＝30°，
∴∠EAN＝30°＋．
又∵点E关于直线AB的对称点为F，
∴AB垂直平分EF．
∴AF＝AE，∠FAN＝∠EAN ＝30°＋，
∴∠F＝∠AEF＝．
∴∠AMG ＝．
∵AF＝AE，∠F＝∠AEF， GF＝ME，
∴△AFG ≌△AEM．
∴AG ＝AM．
又∵∠AMG＝，
∴△AGM为等边三角形．
∴MA＝MG．
∴MF＝MG＋GF＝MA＋ME．
（2），理由如下：
如图1所示，
∵点E与点F关于直线AB对称，
∴∠ANM=90°，NE=NF，
又∵∠NAM=30°，
∴AM=2MN，
∴AM=2NE+2EM =MF+ME，
∴MF=AM-ME；

如图2所示，
∵点E与点F关于直线AB对称，
∴∠ANM=90°，NE=NF，
∵∠NAM=30°，
∴AM=2NM，
∴AM=2MF+2NF=2MF+NE+NF=ME+MF，
∴MF=MA-ME；

综上所述：MF=MA-ME．
【点睛】
本题考查轴对称、三角形全等判定与性质、等边三角形判定与性质，掌握这些是本题关键．
2、（1）∠A+∠C＝90°；（2）∠C﹣∠A＝90°，见解析；（3）45°
【分析】
（1）过点B作BE∥AM，利用平行线的性质即可求得结论；
（2）过点B作BE∥AM，利用平行线的性质即可求得结论；
（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．
【详解】
（1）过点B作BE∥AM，如图，

∵BE∥AM，
∴∠A＝∠ABE，
∵BE∥AM，AM∥CN，
∴BE∥CN，
∴∠C＝∠CBE，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝90°．
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝90°．理由：
过点B作BE∥AM，如图，

∵BE∥AM，
∴∠A＝∠ABE，
∵BE∥AM，AM∥CN，
∴BE∥CN，
∴∠C+∠CBE＝180°，
∴∠CBE＝180°﹣∠C，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠A+180°﹣∠C＝90°，
∴∠C﹣∠A＝90°；
（3）设CH与AB交于点F，如图，

∵AE平分∠MAB，
∴∠GAF＝∠MAB，
∵CH平分∠NCB，
∴∠BCF＝∠BCN，
∵∠B＝90°，
∴∠BFC＝90°﹣∠BCF，
∵∠AFG＝∠BFC，
∴∠AFG＝90°﹣∠BCF．
∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，
∴∠AGH＝∠MAB+90°﹣∠BCN＝90°﹣（∠BCN﹣∠MAB）．
由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝90°，
∴∠AGH＝90°﹣45°＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查平行线的性质以及三角形外角的性质，由题作出辅助线是解题的关键．
3、见解析
【分析】
根据平行线的性质得出，运用“角角边”证明△AEB≌△CFD即可．
【详解】
证明：∵，
∴，
在△AEB和△CFD中，

∴△AEB≌△CFD，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用全等三角形的判定定理进行证明．
4、（1）见解析；（2）见解析；（3）∠DAB=150°，见解析
【分析】
（1）依据题意作出相应图形即可；
（2）在BQ上截取BE=AO，连接CE，由等边三角形的性质得，CA=CB，∠ACB=60°
由同角的补角相等得∠CAO=∠CBE，由SAS证得△CAO和△CBE全等，即可得证；
（3）由∠DAB=150°， DA=AB，得∠ADB=∠ABD=15°，由等边三角形性质，可得∠CAB=∠CBA=∠ACB =60°，故∠CAD=150°，由等边对等角得∠ADC=∠ACD=15°，由此∠DBC=∠DCB=75°，由等角对等边得DB=DC 再由∠POQ=120°，∠BDC=30°，得∠DFO=90°，等量代换即可得证.
【详解】
解：（1）如图所示：

（2）证明如下：
在BQ上截取BE=AO，连接CE，

∵△ABC为等边三角形，
∴CA=CB，∠ACB=60°
∵∠POQ=120°，
∴∠CAO+∠CBO=180°
∵∠CBO+∠CBE=180°，
∴∠CAO=∠CBE，
在△CAO和△CBE中，，
∴△CAO≌△CBE（SAS），
∴CO=CE，∠COA=∠CEB，
∴∠COE=∠CEB，
∴∠COP=∠COQ；
（3）∠DAB=150°，
如图：

∵∠DAB=150°， DA=AB，
∴∠ADB=∠ABD=15°
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=∠CBA=∠ACB =60°，
∴∠CAD=150°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD=15°，
∴∠DBC=∠DCB=75°，
∴DB=DC，
∵∠POQ=120°，∠BDC=30°，
∴∠DFO=90°
∵AD=AC，
∴DF=FC
∴DO=OC
∵DB=DO+OB，
∴DB=CO+OB，
∴CD= OB + OC.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，以及添加辅助线构造全等三角形，掌握相应的判定和性质是解答此题的关键.
5、见解析
【分析】
先由BF=CE说明BC= EF．然后运用SAS证明△ABC≌△DEF，最后运用全等三角形的性质即可证明．
【详解】
证明：∵BF= CE，
∴BC= EF．
在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（SAS）．
∴AC=DF．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确证明△ABC≌△DEF是解答本题的关键．
6、见解析．
【分析】
先根据角平分线的定义得到∠BAD=∠BAC，再根据等腰三角形的性质和三角形外角定理得到∠E=∠BAC，从而得到∠BAD=∠E，即可证明AD∥CE．
【详解】
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC，
∵AE=AC，
∴∠E=∠ACE，
∵∠E+∠ACE=∠BAC，
∴∠E=∠BAC，
∴∠BAD=∠E，
∴AD∥CE．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形外角定理，熟知相关定理并灵活应用是解题关键．
7、证明见解析.
【分析】
延长CE交AB于F，求出∠AEC＝∠AEF，∠FAE＝∠CAE，根据ASA证△FAE≌△CAE，推出∠ACE＝∠AFC，根据三角形外角性质得出∠AFC＝∠B＋∠ECD，代入即可．
【详解】
证明：延长CE交AB于F，

∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝∠AEF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAE＝∠CAE，
在△FAE和△CAE中，
∵ ，
∴△FAE≌△CAE（ASA），
∴∠ACE＝∠AFC，
∵∠AFC＝∠B＋∠ECD，
∴∠ACE＝∠B＋∠ECD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，关键是作辅助线后求出∠AFC＝∠ACE．
8、（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1）由题意易得，然后根据平行线的性质可得，进而问题可求证；
（2）连接AG，由题意易得AB=AC，然后可知△ABF≌△ACG，则有AF=AG，进而可得∠FAG=60°，最后问题可求证．
【详解】
证明：（1）∵是等边三角形，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）连接AG，如图所示：

∵是等边三角形，
∴，AB=AC，
∵，，
∴△ABF≌△ACG（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
【点睛】
本题主要考查全等三角形及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形及等边三角形的性质与判定是解题的关键．
9、（1）见解析；（2）等于120°的角有∠BFC、∠BDE、∠DFE=120°．
【分析】
（1）利用SAS证明△ADC≌△BEC，即可证明AD=BE；
（2）证明△CDE为等边三角形，可求得∠BDE=120°；利用全等三角形的性质可求得∠BFD=∠BCA=60°，推出∠DFE=120°；同理可推出∠BFC=∠AFC+∠BFD=120°．
【详解】
（1）证明：等边△ABC中，CA=CB，∠ACB=60°，
∵CE=CD，∠BCE=60°，
∴△ADC≌△BEC(SAS)，
∴AD=BE；
（2）等于120°的角有∠BFC、∠BDE、∠DFE=120°．
∵CE=CD，∠BCE=60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠CDE=60°，
∴∠BDE=120°；
∵△ADC≌△BEC，
∴∠DAC=∠EBC，
又∠BDF=∠ADC，
∴∠BFD=∠BCA=60°，
∴∠DFE=120°；
同理可求得∠AFC=∠ABC=60°，
∴∠BFC=∠AFC+∠BFD=120°；

综上，等于120°的角有∠BFC、∠BDE、∠DFE=120°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
10、
【分析】
由题意结合角平分线性质和全等三角形判定得出，进而依据的周长进行求解即可.
【详解】
解：∵，，，
∴,
∵BD是的角平分线，
∴,
在和中，
,
∴，
∴，
∵，
∴的周长.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质以及角平分线性质，熟练掌握利用全等三角形的判定与性质以及角平分线性质进行边的等量替换是解题的关键.