2021学年第十四章 三角形综合与测试课后测评
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这是一份2021学年第十四章 三角形综合与测试课后测评,共33页。试卷主要包含了下列三角形与下图全等的三角形是等内容,欢迎下载使用。
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形定向测评
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、如图,在中,AD、AE分别是边BC上的中线与高,,CD的长为5,则的面积为( )
A.8 B.10 C.20 D.40
2、下列各条件中,不能作出唯一的的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
3、如图,点A、B、C、D在一条直线上,点E、F在AD两侧,,,添加下列条件不能判定的是( )
A. B. C. D.
4、如图,在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,∠B=35°,则∠BAD=( )
A.110° B.70° C.55° D.35°
5、如图,在中,AD是角平分线,且,若,则的度数是( )
A.45° B.50° C.52° D.58°
6、等腰三角形的一个角是80°,则它的一个底角的度数是( )
A.50° B.80° C.50°或80° D.100°或80°
7、下列三角形与下图全等的三角形是( )
A. B. C. D.
8、小明把一副含有45°,30°角的直角三角板如图摆放其中∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,则∠a+∠β等于( )
A.180° B.210° C.360° D.270°
9、如图,在中,,,AD平分交BC于点D,在AB上截取,则的度数为( )
A.30° B.20° C.10° D.15°
10、如图,点F,C在BE上,AC=DF,BF=EC,AB=DE,AC与DF相交于点G,则与2∠DFE相等的是( )
A.∠A+∠D B.3∠B C.180°﹣∠FGC D.∠ACE+∠B
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、如图,AB=CD,若要判定△ABD≌△CDB,则需要添加的一个条件是 ____________.
2、如图,在△ABC 和△DBC,BA=BD中,请你添加一个条件使得△ABC ≌△DBC,这个条件可以是________(写出一个即可).
3、如图,方格纸中是9个完全相同的正方形,则∠1+∠2的值为 _____.
4、如图,点,在直线上,且,且,过,,分别作,,,若,,,则的面积是______.
5、一个三角形的其中两个内角为,,则这个第三个内角的度数为______.
三、解答题(10小题,每小题5分,共计50分)
1、如图,在中,是角平分线,,.
(1)求的度数;
(2)若,求的度数.
2、如图,点在上,点在上,,∠=∠.求证:.
3、如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点为格点,线段的端点都在格点上.要求以为边画一个等腰,且使得点为格点.请在下面的网格图中画出3种不同的等腰.
4、如图,在等边中,D为BC边上一点,连接AD,将沿AD翻折得到,连接BE并延长交AD的延长线于点F,连接CF.
(1)若,求的度数;
(2)若,求的大小;
(3)猜想CF,BF,AF之间的数量关系,并证明.
5、已知,∠A=∠D,BC平分∠ABD,求证:AC=DC.
6、已知:如图,点D为BC的中点,,求证:是等腰三角形.
7、(1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”,如图1,中,,P为上一点,当_______时,与是偏等积三角形;
(2)如图2,四边形是一片绿色花园,、是等腰直角三角形,.
①与是偏等积三角形吗?请说明理由;
②已知的面积为.如图3,计划修建一条经过点C的笔直的小路,F在边上,的延长线经过中点G.若小路每米造价600元,请计算修建小路的总造价.
8、如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D,∠A=50°,求∠BCD的度数.
9、已知,在△ABC中,∠BAC=30°,点D在射线BC上,连接AD,∠CAD=,点D关于直线AC的对称点为E,点E关于直线AB的对称点为F,直线EF分别交直线AC,AB于点M,N,连接AF,AE,CE.
(1)如图1,点D在线段BC上.
①根据题意补全图1;
②∠AEF = (用含有的代数式表示),∠AMF= °;
③用等式表示线段MA,ME,MF之间的数量关系,并证明.
(2)点D在线段BC的延长线上,且∠CAD<60°,直接用等式表示线段MA,ME,MF之间的数量关系,不证明.
10、如图,在△ABC中,CE平分∠ACB交AB于点E,AD是△ABC边BC上的高,AD与CE相交于点F,且∠ACB=80°,求∠AFE的度数.
-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
根据三角形中线的性质得出CB的长为10,再用三角形面积公式计算即可.
【详解】
解:∵AD是边BC上的中线,CD的长为5,
∴CB=2CD=10,
的面积为,
故选:C.
【点睛】
本题考查了三角形中线的性质和面积公式,解题关键是明确中线的性质求出底边长.
2、B
【分析】
根据三角形全等的判定及三角形三边关系即可得出结果.
【详解】
解:A、,不能组成三角形;
B、根据不可以确定选项中条件能作出唯一三角形;
C、根据可以确定选项中条件能作出唯一三角形;
D、根据可以确定选项中条件能作出唯一三角形;
故答案为:B.
【点睛】
本题考查确定唯一三角形所需要的条件及三角形三边关系,解题关键在于对全等判定条件的理解.
3、A
【分析】
根据题意,可得,结合选项根据三角形全等的性质与判定逐项分析即可.
【详解】
解:
A. ,,不能根据SSA证明三角形全等,故该选项符合题意;
B.
,
故能判定,不符合题意;
C. ,,
,故能判定,不符合题意;
D.
,故能判定,不符合题意;
故选A
【点睛】
本题考查了平行线的性质,三角形全等的性质与判定,掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键.
4、C
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC,然后利用直角三角形两锐角互余的性质解答.
【详解】
解:∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,
∵∠B=35°,
∴∠BAD=90°−35°=55°.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质,直角三角形两锐角互余的性质,是基础题,熟记性质是解题的关键.
5、A
【分析】
根据角平分线性质求出∠DCA,再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠C和∠B即可.
【详解】
解:∵AD是角平分线,,
∴∠DCA==30°,
∵AD=AC,
∴∠C=(180°-∠DCA)÷2=75°,
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-60°-75°=45°,
故选:A.
【点睛】
本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理,熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键.
6、C
【分析】
已知给出一个角的的度数为80º,没有明确是顶角还是底角,要分类讨论,联合内角和求出底角即可.
【详解】
解:等腰三角形的一个角是80°,
当80º为底角时,它的一个底角是80º,
当80º为顶角时,它的一个底角是,
则它的一个底角是50º或80º.
故选:C.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质,内角和定理,掌握分类讨论的思想是解决问题的关键.
7、C
【分析】
根据已知的三角形求第三个内角的度数,由全等三角形的判定定理即可得出答案.
【详解】
由题可知,第三个内角的度数为,
A.只有两边,故不能判断三角形全等,故此选项错误;
B.两边夹的角度数不相等,故两三角形不全等,故此选项错误;
C.两边相等且夹角相等,故能判断两三角形全等,故此选项正确;
D. 两边夹的角度数不相等,故两三角形不全等,故此选项错误.
故选:C.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定,掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.
8、B
【分析】
已知,得到,根据外角性质,得到,,再将两式相加,等量代换,即可得解;
【详解】
解:如图所示,
∵,
∴,
∵,,
∴,
∵,,
∴,
∵,,
∴;
故选D.
【点睛】
本题主要考查了三角形外角定理的应用,准确分析计算是解题的关键.
9、B
【分析】
利用已知条件证明△ADE≌△ADC(SAS),得到∠DEA=∠C,根据外角的性质可求的度数.
【详解】
解:∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠EAD=∠CAD
在△ADE和△ADC中,
,
∴△ADE≌△ADC(SAS),
∴∠DEA=∠C,
∵,∠DEA=∠B +,
∴;
故选:B
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定,解决本题的关键是证明△ADE≌△ADC.
10、C
【详解】
由题意根据等式的性质得出BC=EF,进而利用SSS证明△ABC与△DEF全等,利用全等三角形的性质得出∠ACB=∠DFE,最后利用三角形内角和进行分析解答.
【分析】
解:∵BF=EC,
∴BF+FC=EC+FC,
∴BC=EF,
在△ABC与△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(SSS),
∴∠ACB=∠DFE,
∴2∠DFE=180°﹣∠FGC,
故选:C.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质,其中全等三角形的判定方法有:SSS;SAS;ASA;AAS;以及HL(直角三角形的判定方法).
二、填空题
1、∠1=∠2(或填AD=CB)
【分析】
根据题意知,在△ABD与△CDB中,AB=CD,BD=DB,所以由三角形判定定理SAS可以推知,只需添加∠1=∠2即可.由三角形判定定理SSS可以推知,只需要添加AD=CB即可.
【详解】
解:∵在△ABD与△CDB中,AB=CD,BD=DB,
∴添加∠1=∠2时,可以根据SAS判定△ABD≌△CDB,
添加AD=CB时,可以根据SSS判定△ABD≌△CDB,,
故答案为∠1=∠2(或填AD=CB).
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
2、(答案不唯一)
【分析】
由已知有BA=BD,BC边公共,由三角形全等的判定定理,可以添加这两边的夹角相等或第三边相等,均可使得△ABC ≌△DBC.
【详解】
添加CA=CD,则由边边边的判定定理即可得△ABC ≌△DBC
故答案为:CA=CD(答案不唯一)
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定,熟悉全等三角形的几个判定定理是解题的关键.
3、
【分析】
如图(见解析),先根据三角形全等的判定定理证出,再根据全等三角形的性质可得,由此即可得出答案.
【详解】
解:如图,在和中,,
,
,
,
故答案为:.
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理与性质等知识点,正确找出两个全等三角形是解题关键.
4、15
【分析】
根据AAS证明△EFA≌△AGB,△BGC≌△CHD,再根据全等三角形的性质以及三角形的面积公式求解即可.
【详解】
解:(1)∵EF⊥FG,BG⊥FG,
∴∠EFA=∠AGB=90°,
∴∠AEF+∠EAF=90°,
又∵AE⊥AB,即∠EAB=90°,
∴∠BAG+∠EAF=90°,
∴∠AEF=∠BAG,
在△AEC和△CDB中,
,
∴△EFA≌△AGB(AAS);
同理可证△BGC≌△CHD(AAS),
∴AG=EF=6,CG=DH=4,
∴S△ABC=ACBG=(AG+GC)BG=(6+4)3=15.
故答案为:15.
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质和判定,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
5、60°
【分析】
依题意,利用三角形内角和为:,即可;
【详解】
由题得:一个三角形的内角和为:;又已知两个其中的内角为:,;
∴ 第三个角为:;
故填:
【点睛】
本题主要考查三角形的内角和,关键在于熟练并运用基本的计算;
三、解答题
1、
(1);
(2).
【分析】
(1)根据三角形内角和定理可求出,然后利用角平分线进行计算即可得;
(2)根据垂直得出,然后根据三角形内角和定理即可得.
(1)
解:∵,,
∴,
∵AD是角平分线,
∴,
∴;
(2)
∵,
∴,
∴,
∴.
【点睛】
题目主要考查三角形内角和定理,角平分线的计算等,熟练运用三角形内角和定理是解题关键.
2、见解析
【分析】
根据已知条件和公共角,直接根据角边角证明,进而即可证明
【详解】
在与中,
∴.
∴.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定,掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.
3、答案见解析
【分析】
AB为4个等边三角形组成的平行四边形的对角线,因此只要找到另一腰也4个等边三角形组成的平行四边形的对角线即可
【详解】
解:如图,
……
[答案不唯一]
【点睛】
本题考查等腰三角形的绘图,掌握等边三角形和等腰三角形性质即可.
4、(1)20°;(2);(3)AF= CF+BF,理由见解析
【分析】
(1)由△ABC是等边三角形,得到AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,由折叠的性质可知,∠EAD=∠CAD=20°,AC=AE,则∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°,AB=AE,,∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°;
(2)同(1)求解即可;
(3)如图所示,将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG,先证明△AEF≌△ACF得到∠AFE=∠AFC,然后证明∠AFE=∠AFC=60°,得到∠BFC=120°,即可证明F、C、G三点共线,得到△AFG是等边三角形,则AF=GF=CF+CG=CF+BF.
【详解】
解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,
由折叠的性质可知,∠EAD=∠CAD=20°,AC=AE,
∴∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°,AB=AE,
∴,
∴∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°;
(2)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,
由折叠的性质可知,,AC=AE,
∴ ,AB=AE,
∴,
∴;
(3)AF= CF+BF,理由如下:
如图所示,将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG,
∴AF=AG,∠FAG=60°,∠ACG=∠ABF,BF=CG
在△AEF和△ACF中,
,
∴△AEF≌△ACF(SAS),
∴∠AFE=∠AFC,
∵∠CBF+∠BCF+∠BFD+∠CFD=180°,∠CAF+∠CFA+∠ACD+∠CFD=180°,
∴∠BFD=∠ACD=60°,
∴∠AFE=∠AFC=60°,
∴∠BFC=120°,
∴∠BAC+∠BFC=180°,
∴∠ABF+∠ACF=180°,
∴∠ACG+∠ACF=180°,
∴F、C、G三点共线,
∴△AFG是等边三角形,
∴AF=GF=CF+CG=CF+BF.
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质与判定,旋转的性质,折叠的性质,全等三角形的性质与判定,三角形内角和定理,熟知相关知识是解题的关键.
5、见解析
【分析】
证明△BAC≌△BDC即可得出结论.
【详解】
解:∵BC平分∠ABD,
∴∠ABC=∠DBC,
在△BAC和△BDC中,
∴△BAC≌△BDC,
∴AC=DC.
【点睛】
本题考查角平分线的意义及全等三角形的判定与性质,解题关键是掌握角平分线的性质及全等三角形的判定与性质.
6、证明见解析
【分析】
过点D作,交AB于点M,过点D做,交AC于点N,根据角平分线性质,得;根据全等三角形的性质,通过证明,通过证明,得,结合等腰三角形的性质,即可完成证明.
【详解】
如下图,过点D作,交AB于点M,过点D做,交AC于点N
∵
∴
直角和直角中
∴
∴
∵点D为BC的中点,
∴
直角和直角中
∴
∴
∵,
∴,即是等腰三角形.
【点睛】
本题考查了角平分线、三角形中线、全等三角形、等腰三角形的知识;解题的关键是熟练掌握角平分线、三角形中线,全等三角形的性质,从而完成求解.
7、(1);(2)①与是偏等积三角形,理由见详解;②修建小路的总造价为元
【分析】
(1)当时,则,证,再证与不全等,即可得出结论;
(2)①过作于,过作于,证,得,则,再证与不全等,即可得出结论;②过点作,交的延长线于,证得,得到,再证,得,由余角的性质可证,然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得,,求出,即可求解.
【详解】
解:(1)当时,与是偏等积三角形,理由如下:
设点到的距离为,则,,
,
,,
,
、,
与不全等,
与是偏等积三角形,
故答案为:;
(3)①与是偏等积三角形,理由如下:
过作于,过作于,如图3所示:
则,
、是等腰直角三角形,
,,,
,
,
,
在和中,
,
,
,
,,
,
,,
,
,,
与不全等,
与是偏等积三角形;
②如图4,过点作,交的延长线于,
则,
点为的中点,
,
在和中,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
在和中,
,
,
,
,
,
,
.
由①得:与是偏等积三角形,
,,
,
修建小路的总造价为:(元.
【点睛】
本题是四边形综合题目,考查了新定义“偏等积三角形”的定义、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识;本题综合性强,熟练掌握“偏等积三角形”的定义,证明和是解题的关键,属于中考常考题型.
8、25°
【分析】
直接利用等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=65°,进而利用三角形内角和定理得出答案.
【详解】
∵AB=AC,∠A=50°,
∴∠ABC=∠ACB=65°,
∵CD⊥BC于点D,
∴∠BCD的度数为:180°−90°−65°=25°.
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质,正确得出∠B的度数是解题关键.
9、(1)①见解析; ②,;③MF=MA+ME,证明见解析;(2)
【分析】
(1)①按照要求旋转作图即可;②由旋转和等腰三角形性质解出∠AEF;再由三角形外角定理求出∠AMF; ③在FE上截取GF=ME,连接AG,证明△AFG ≌△AEM且△AGM为等边三角形后即可证得MF=MA+ME;
(2)根据题意画出图形,根据含30°的直角三角形的性质,即可得到结论.
【详解】
解:(1)①补全图形如下图:
②∵∠CAE=∠DAC=,
∴∠BAE=30°+
∴∠FAE=2×(30°+)
∴∠AEF==60°-;
∵∠AMF=∠CAE+∠AEF=+60°-=60°,
故答案是:60°-,60°;
③MF=MA+ME.
证明:在FE上截取GF=ME,连接AG .
∵点D关于直线AC的对称点为E,
∴△ADC ≌△AEC.
∴∠CAE =∠CAD =.
∵∠BAC=30°,
∴∠EAN=30°+.
又∵点E关于直线AB的对称点为F,
∴AB垂直平分EF.
∴AF=AE,∠FAN=∠EAN =30°+,
∴∠F=∠AEF=.
∴∠AMG =.
∵AF=AE,∠F=∠AEF, GF=ME,
∴△AFG ≌△AEM.
∴AG =AM.
又∵∠AMG=,
∴△AGM为等边三角形.
∴MA=MG.
∴MF=MG+GF=MA+ME.
(2),理由如下:
如图1所示,
∵点E与点F关于直线AB对称,
∴∠ANM=90°,NE=NF,
又∵∠NAM=30°,
∴AM=2MN,
∴AM=2NE+2EM =MF+ME,
∴MF=AM-ME;
如图2所示,
∵点E与点F关于直线AB对称,
∴∠ANM=90°,NE=NF,
∵∠NAM=30°,
∴AM=2NM,
∴AM=2MF+2NF=2MF+NE+NF=ME+MF,
∴MF=MA-ME;
综上所述:MF=MA-ME.
【点睛】
本题考查轴对称、三角形全等判定与性质、等边三角形判定与性质,掌握这些是本题关键.
10、∠AFE=50°.
【分析】
根据CE平分∠ACB,∠ACB=80°,得出∠ECB=,根据高线性质得出∠ADC=90°,根据三角形内角和得出∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°,利用对顶角性质得出∠AFE=∠DFC=50°即可.
【详解】
解:∵CE平分∠ACB,∠ACB=80°,
∴∠ECB=,
∵AD是△ABC边BC上的高,AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°,
∴∠AFE=∠DFC=50°.
【点睛】
本题考查角平分线定义,垂线性质,三角形内角和,对顶角性质,掌握角平分线定义,垂线性质,三角形内角和,对顶角性质是解题关键.
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