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    2022年必考点解析沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形定向测评试题(无超纲)

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    2021学年第十四章 三角形综合与测试课后测评

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    这是一份2021学年第十四章 三角形综合与测试课后测评,共33页。试卷主要包含了下列三角形与下图全等的三角形是等内容,欢迎下载使用。
    沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形定向测评
    考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
    考生注意:
    1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
    2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
    3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
    第I卷(选择题 30分)
    一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
    1、如图,在中,AD、AE分别是边BC上的中线与高,,CD的长为5,则的面积为( )

    A.8 B.10 C.20 D.40
    2、下列各条件中,不能作出唯一的的是( )
    A.,, B.,,
    C.,, D.,,
    3、如图,点A、B、C、D在一条直线上,点E、F在AD两侧,,,添加下列条件不能判定的是( )

    A. B. C. D.
    4、如图,在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,∠B=35°,则∠BAD=( )

    A.110° B.70° C.55° D.35°
    5、如图,在中,AD是角平分线,且,若,则的度数是( )

    A.45° B.50° C.52° D.58°
    6、等腰三角形的一个角是80°,则它的一个底角的度数是( )
    A.50° B.80° C.50°或80° D.100°或80°
    7、下列三角形与下图全等的三角形是( )

    A. B. C. D.
    8、小明把一副含有45°,30°角的直角三角板如图摆放其中∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,则∠a+∠β等于( )

    A.180° B.210° C.360° D.270°
    9、如图,在中,,,AD平分交BC于点D,在AB上截取,则的度数为( )


    A.30° B.20° C.10° D.15°
    10、如图,点F,C在BE上,AC=DF,BF=EC,AB=DE,AC与DF相交于点G,则与2∠DFE相等的是(  )

    A.∠A+∠D B.3∠B C.180°﹣∠FGC D.∠ACE+∠B
    第Ⅱ卷(非选择题 70分)
    二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
    1、如图,AB=CD,若要判定△ABD≌△CDB,则需要添加的一个条件是 ____________.

    2、如图,在△ABC 和△DBC,BA=BD中,请你添加一个条件使得△ABC ≌△DBC,这个条件可以是________(写出一个即可).

    3、如图,方格纸中是9个完全相同的正方形,则∠1+∠2的值为 _____.

    4、如图,点,在直线上,且,且,过,,分别作,,,若,,,则的面积是______.

    5、一个三角形的其中两个内角为,,则这个第三个内角的度数为______.
    三、解答题(10小题,每小题5分,共计50分)
    1、如图,在中,是角平分线,,.

    (1)求的度数;
    (2)若,求的度数.
    2、如图,点在上,点在上,,∠=∠.求证:.

    3、如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点为格点,线段的端点都在格点上.要求以为边画一个等腰,且使得点为格点.请在下面的网格图中画出3种不同的等腰.

    4、如图,在等边中,D为BC边上一点,连接AD,将沿AD翻折得到,连接BE并延长交AD的延长线于点F,连接CF.

    (1)若,求的度数;
    (2)若,求的大小;
    (3)猜想CF,BF,AF之间的数量关系,并证明.
    5、已知,∠A=∠D,BC平分∠ABD,求证:AC=DC.

    6、已知:如图,点D为BC的中点,,求证:是等腰三角形.

    7、(1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”,如图1,中,,P为上一点,当_______时,与是偏等积三角形;

    (2)如图2,四边形是一片绿色花园,、是等腰直角三角形,.
    ①与是偏等积三角形吗?请说明理由;
    ②已知的面积为.如图3,计划修建一条经过点C的笔直的小路,F在边上,的延长线经过中点G.若小路每米造价600元,请计算修建小路的总造价.
    8、如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D,∠A=50°,求∠BCD的度数.

    9、已知,在△ABC中,∠BAC=30°,点D在射线BC上,连接AD,∠CAD=,点D关于直线AC的对称点为E,点E关于直线AB的对称点为F,直线EF分别交直线AC,AB于点M,N,连接AF,AE,CE.
    (1)如图1,点D在线段BC上.
    ①根据题意补全图1;
    ②∠AEF = (用含有的代数式表示),∠AMF= °;
    ③用等式表示线段MA,ME,MF之间的数量关系,并证明.
    (2)点D在线段BC的延长线上,且∠CAD<60°,直接用等式表示线段MA,ME,MF之间的数量关系,不证明.

    10、如图,在△ABC中,CE平分∠ACB交AB于点E,AD是△ABC边BC上的高,AD与CE相交于点F,且∠ACB=80°,求∠AFE的度数.


    -参考答案-
    一、单选题
    1、C
    【分析】
    根据三角形中线的性质得出CB的长为10,再用三角形面积公式计算即可.
    【详解】
    解:∵AD是边BC上的中线,CD的长为5,
    ∴CB=2CD=10,
    的面积为,
    故选:C.
    【点睛】
    本题考查了三角形中线的性质和面积公式,解题关键是明确中线的性质求出底边长.
    2、B
    【分析】
    根据三角形全等的判定及三角形三边关系即可得出结果.
    【详解】
    解:A、,不能组成三角形;
    B、根据不可以确定选项中条件能作出唯一三角形;
    C、根据可以确定选项中条件能作出唯一三角形;
    D、根据可以确定选项中条件能作出唯一三角形;
    故答案为:B.
    【点睛】
    本题考查确定唯一三角形所需要的条件及三角形三边关系,解题关键在于对全等判定条件的理解.
    3、A
    【分析】
    根据题意,可得,结合选项根据三角形全等的性质与判定逐项分析即可.
    【详解】
    解:

    A. ,,不能根据SSA证明三角形全等,故该选项符合题意;
    B.


    ,

    故能判定,不符合题意;
    C. ,,
    ,故能判定,不符合题意;
    D.


    ,故能判定,不符合题意;
    故选A
    【点睛】
    本题考查了平行线的性质,三角形全等的性质与判定,掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键.
    4、C
    【分析】
    根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC,然后利用直角三角形两锐角互余的性质解答.
    【详解】
    解:∵AB=AC,D是BC的中点,
    ∴AD⊥BC,
    ∵∠B=35°,
    ∴∠BAD=90°−35°=55°.
    故选:C.
    【点睛】
    本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质,直角三角形两锐角互余的性质,是基础题,熟记性质是解题的关键.
    5、A
    【分析】
    根据角平分线性质求出∠DCA,再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠C和∠B即可.
    【详解】
    解:∵AD是角平分线,,
    ∴∠DCA==30°,
    ∵AD=AC,
    ∴∠C=(180°-∠DCA)÷2=75°,
    ∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-60°-75°=45°,
    故选:A.
    【点睛】
    本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理,熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键.
    6、C
    【分析】
    已知给出一个角的的度数为80º,没有明确是顶角还是底角,要分类讨论,联合内角和求出底角即可.
    【详解】
    解:等腰三角形的一个角是80°,
    当80º为底角时,它的一个底角是80º,
    当80º为顶角时,它的一个底角是,
    则它的一个底角是50º或80º.
    故选:C.
    【点睛】
    本题考查等腰三角形的性质,内角和定理,掌握分类讨论的思想是解决问题的关键.
    7、C
    【分析】
    根据已知的三角形求第三个内角的度数,由全等三角形的判定定理即可得出答案.
    【详解】
    由题可知,第三个内角的度数为,
    A.只有两边,故不能判断三角形全等,故此选项错误;
    B.两边夹的角度数不相等,故两三角形不全等,故此选项错误;
    C.两边相等且夹角相等,故能判断两三角形全等,故此选项正确;
    D. 两边夹的角度数不相等,故两三角形不全等,故此选项错误.
    故选:C.
    【点睛】
    本题考查全等三角形的判定,掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.
    8、B
    【分析】
    已知,得到,根据外角性质,得到,,再将两式相加,等量代换,即可得解;
    【详解】
    解:如图所示,

    ∵,
    ∴,
    ∵,,
    ∴,
    ∵,,
    ∴,
    ∵,,
    ∴;
    故选D.
    【点睛】
    本题主要考查了三角形外角定理的应用,准确分析计算是解题的关键.
    9、B
    【分析】
    利用已知条件证明△ADE≌△ADC(SAS),得到∠DEA=∠C,根据外角的性质可求的度数.
    【详解】
    解:∵AD是∠BAC的平分线,
    ∴∠EAD=∠CAD
    在△ADE和△ADC中,

    ∴△ADE≌△ADC(SAS),
    ∴∠DEA=∠C,
    ∵,∠DEA=∠B +,
    ∴;
    故选:B
    【点睛】
    本题考查了全等三角形的性质与判定,解决本题的关键是证明△ADE≌△ADC.
    10、C
    【详解】
    由题意根据等式的性质得出BC=EF,进而利用SSS证明△ABC与△DEF全等,利用全等三角形的性质得出∠ACB=∠DFE,最后利用三角形内角和进行分析解答.
    【分析】
    解:∵BF=EC,
    ∴BF+FC=EC+FC,
    ∴BC=EF,
    在△ABC与△DEF中,

    ∴△ABC≌△DEF(SSS),
    ∴∠ACB=∠DFE,
    ∴2∠DFE=180°﹣∠FGC,
    故选:C.
    【点睛】
    本题考查全等三角形的判定与性质,其中全等三角形的判定方法有:SSS;SAS;ASA;AAS;以及HL(直角三角形的判定方法).
    二、填空题
    1、∠1=∠2(或填AD=CB)
    【分析】
    根据题意知,在△ABD与△CDB中,AB=CD,BD=DB,所以由三角形判定定理SAS可以推知,只需添加∠1=∠2即可.由三角形判定定理SSS可以推知,只需要添加AD=CB即可.
    【详解】
    解:∵在△ABD与△CDB中,AB=CD,BD=DB,
    ∴添加∠1=∠2时,可以根据SAS判定△ABD≌△CDB,
    添加AD=CB时,可以根据SSS判定△ABD≌△CDB,,
    故答案为∠1=∠2(或填AD=CB).
    【点睛】
    本题考查了全等三角形的判定,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
    2、(答案不唯一)
    【分析】
    由已知有BA=BD,BC边公共,由三角形全等的判定定理,可以添加这两边的夹角相等或第三边相等,均可使得△ABC ≌△DBC.
    【详解】
    添加CA=CD,则由边边边的判定定理即可得△ABC ≌△DBC
    故答案为:CA=CD(答案不唯一)
    【点睛】
    本题考查了全等三角形的判定,熟悉全等三角形的几个判定定理是解题的关键.
    3、
    【分析】
    如图(见解析),先根据三角形全等的判定定理证出,再根据全等三角形的性质可得,由此即可得出答案.
    【详解】
    解:如图,在和中,,



    故答案为:.

    【点睛】
    本题考查了三角形全等的判定定理与性质等知识点,正确找出两个全等三角形是解题关键.
    4、15
    【分析】
    根据AAS证明△EFA≌△AGB,△BGC≌△CHD,再根据全等三角形的性质以及三角形的面积公式求解即可.
    【详解】
    解:(1)∵EF⊥FG,BG⊥FG,
    ∴∠EFA=∠AGB=90°,
    ∴∠AEF+∠EAF=90°,
    又∵AE⊥AB,即∠EAB=90°,
    ∴∠BAG+∠EAF=90°,
    ∴∠AEF=∠BAG,
    在△AEC和△CDB中,

    ∴△EFA≌△AGB(AAS);
    同理可证△BGC≌△CHD(AAS),
    ∴AG=EF=6,CG=DH=4,
    ∴S△ABC=ACBG=(AG+GC)BG=(6+4)3=15.
    故答案为:15.
    【点睛】
    本题考查了三角形全等的性质和判定,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
    5、60°
    【分析】
    依题意,利用三角形内角和为:,即可;
    【详解】
    由题得:一个三角形的内角和为:;又已知两个其中的内角为:,;
    ∴ 第三个角为:;
    故填:
    【点睛】
    本题主要考查三角形的内角和,关键在于熟练并运用基本的计算;
    三、解答题
    1、
    (1);
    (2).
    【分析】
    (1)根据三角形内角和定理可求出,然后利用角平分线进行计算即可得;
    (2)根据垂直得出,然后根据三角形内角和定理即可得.
    (1)
    解:∵,,
    ∴,
    ∵AD是角平分线,
    ∴,
    ∴;
    (2)
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    【点睛】
    题目主要考查三角形内角和定理,角平分线的计算等,熟练运用三角形内角和定理是解题关键.
    2、见解析
    【分析】
    根据已知条件和公共角,直接根据角边角证明,进而即可证明
    【详解】
    在与中,

    ∴.
    ∴.
    【点睛】
    本题考查了全等三角形的性质与判定,掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.
    3、答案见解析
    【分析】
    AB为4个等边三角形组成的平行四边形的对角线,因此只要找到另一腰也4个等边三角形组成的平行四边形的对角线即可
    【详解】
    解:如图,
    ……
    [答案不唯一]
    【点睛】
    本题考查等腰三角形的绘图,掌握等边三角形和等腰三角形性质即可.
    4、(1)20°;(2);(3)AF= CF+BF,理由见解析
    【分析】
    (1)由△ABC是等边三角形,得到AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,由折叠的性质可知,∠EAD=∠CAD=20°,AC=AE,则∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°,AB=AE,,∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°;
    (2)同(1)求解即可;
    (3)如图所示,将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG,先证明△AEF≌△ACF得到∠AFE=∠AFC,然后证明∠AFE=∠AFC=60°,得到∠BFC=120°,即可证明F、C、G三点共线,得到△AFG是等边三角形,则AF=GF=CF+CG=CF+BF.
    【详解】
    解:(1)∵△ABC是等边三角形,
    ∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,
    由折叠的性质可知,∠EAD=∠CAD=20°,AC=AE,
    ∴∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°,AB=AE,
    ∴,
    ∴∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°;
    (2)∵△ABC是等边三角形,
    ∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,
    由折叠的性质可知,,AC=AE,
    ∴ ,AB=AE,
    ∴,
    ∴;
    (3)AF= CF+BF,理由如下:
    如图所示,将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG,
    ∴AF=AG,∠FAG=60°,∠ACG=∠ABF,BF=CG
    在△AEF和△ACF中,

    ∴△AEF≌△ACF(SAS),
    ∴∠AFE=∠AFC,
    ∵∠CBF+∠BCF+∠BFD+∠CFD=180°,∠CAF+∠CFA+∠ACD+∠CFD=180°,
    ∴∠BFD=∠ACD=60°,
    ∴∠AFE=∠AFC=60°,
    ∴∠BFC=120°,
    ∴∠BAC+∠BFC=180°,
    ∴∠ABF+∠ACF=180°,
    ∴∠ACG+∠ACF=180°,
    ∴F、C、G三点共线,
    ∴△AFG是等边三角形,
    ∴AF=GF=CF+CG=CF+BF.

    【点睛】
    本题主要考查了等边三角形的性质与判定,旋转的性质,折叠的性质,全等三角形的性质与判定,三角形内角和定理,熟知相关知识是解题的关键.
    5、见解析
    【分析】
    证明△BAC≌△BDC即可得出结论.
    【详解】
    解:∵BC平分∠ABD,
    ∴∠ABC=∠DBC,
    在△BAC和△BDC中,
    ∴△BAC≌△BDC,
    ∴AC=DC.
    【点睛】
    本题考查角平分线的意义及全等三角形的判定与性质,解题关键是掌握角平分线的性质及全等三角形的判定与性质.
    6、证明见解析
    【分析】
    过点D作,交AB于点M,过点D做,交AC于点N,根据角平分线性质,得;根据全等三角形的性质,通过证明,通过证明,得,结合等腰三角形的性质,即可完成证明.
    【详解】
    如下图,过点D作,交AB于点M,过点D做,交AC于点N



    直角和直角中



    ∵点D为BC的中点,

    直角和直角中



    ∵,
    ∴,即是等腰三角形.
    【点睛】
    本题考查了角平分线、三角形中线、全等三角形、等腰三角形的知识;解题的关键是熟练掌握角平分线、三角形中线,全等三角形的性质,从而完成求解.
    7、(1);(2)①与是偏等积三角形,理由见详解;②修建小路的总造价为元
    【分析】
    (1)当时,则,证,再证与不全等,即可得出结论;
    (2)①过作于,过作于,证,得,则,再证与不全等,即可得出结论;②过点作,交的延长线于,证得,得到,再证,得,由余角的性质可证,然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得,,求出,即可求解.
    【详解】
    解:(1)当时,与是偏等积三角形,理由如下:
    设点到的距离为,则,,

    ,,

    、,
    与不全等,
    与是偏等积三角形,
    故答案为:;
    (3)①与是偏等积三角形,理由如下:
    过作于,过作于,如图3所示:

    则,
    、是等腰直角三角形,
    ,,,



    在和中,



    ,,

    ,,

    ,,
    与不全等,
    与是偏等积三角形;
    ②如图4,过点作,交的延长线于,

    则,
    点为的中点,

    在和中,










    在和中,







    由①得:与是偏等积三角形,
    ,,

    修建小路的总造价为:(元.
    【点睛】
    本题是四边形综合题目,考查了新定义“偏等积三角形”的定义、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识;本题综合性强,熟练掌握“偏等积三角形”的定义,证明和是解题的关键,属于中考常考题型.
    8、25°
    【分析】
    直接利用等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=65°,进而利用三角形内角和定理得出答案.
    【详解】
    ∵AB=AC,∠A=50°,
    ∴∠ABC=∠ACB=65°,
    ∵CD⊥BC于点D,
    ∴∠BCD的度数为:180°−90°−65°=25°.
    【点睛】
    此题主要考查了等腰三角形的性质,正确得出∠B的度数是解题关键.
    9、(1)①见解析; ②,;③MF=MA+ME,证明见解析;(2)
    【分析】
    (1)①按照要求旋转作图即可;②由旋转和等腰三角形性质解出∠AEF;再由三角形外角定理求出∠AMF; ③在FE上截取GF=ME,连接AG,证明△AFG ≌△AEM且△AGM为等边三角形后即可证得MF=MA+ME;
    (2)根据题意画出图形,根据含30°的直角三角形的性质,即可得到结论.
    【详解】
    解:(1)①补全图形如下图:

    ②∵∠CAE=∠DAC=,
    ∴∠BAE=30°+
    ∴∠FAE=2×(30°+)
    ∴∠AEF==60°-;
    ∵∠AMF=∠CAE+∠AEF=+60°-=60°,
    故答案是:60°-,60°;
    ③MF=MA+ME.
    证明:在FE上截取GF=ME,连接AG .

    ∵点D关于直线AC的对称点为E,
    ∴△ADC ≌△AEC.
    ∴∠CAE =∠CAD =.
    ∵∠BAC=30°,
    ∴∠EAN=30°+.
    又∵点E关于直线AB的对称点为F,
    ∴AB垂直平分EF.
    ∴AF=AE,∠FAN=∠EAN =30°+,
    ∴∠F=∠AEF=.
    ∴∠AMG =.
    ∵AF=AE,∠F=∠AEF, GF=ME,
    ∴△AFG ≌△AEM.
    ∴AG =AM.
    又∵∠AMG=,
    ∴△AGM为等边三角形.
    ∴MA=MG.
    ∴MF=MG+GF=MA+ME.
    (2),理由如下:
    如图1所示,
    ∵点E与点F关于直线AB对称,
    ∴∠ANM=90°,NE=NF,
    又∵∠NAM=30°,
    ∴AM=2MN,
    ∴AM=2NE+2EM =MF+ME,
    ∴MF=AM-ME;

    如图2所示,
    ∵点E与点F关于直线AB对称,
    ∴∠ANM=90°,NE=NF,
    ∵∠NAM=30°,
    ∴AM=2NM,
    ∴AM=2MF+2NF=2MF+NE+NF=ME+MF,
    ∴MF=MA-ME;

    综上所述:MF=MA-ME.
    【点睛】
    本题考查轴对称、三角形全等判定与性质、等边三角形判定与性质,掌握这些是本题关键.
    10、∠AFE=50°.
    【分析】
    根据CE平分∠ACB,∠ACB=80°,得出∠ECB=,根据高线性质得出∠ADC=90°,根据三角形内角和得出∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°,利用对顶角性质得出∠AFE=∠DFC=50°即可.
    【详解】
    解:∵CE平分∠ACB,∠ACB=80°,
    ∴∠ECB=,
    ∵AD是△ABC边BC上的高,AD⊥BC,
    ∴∠ADC=90°,
    ∴∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°,
    ∴∠AFE=∠DFC=50°.
    【点睛】
    本题考查角平分线定义,垂线性质,三角形内角和,对顶角性质,掌握角平分线定义,垂线性质,三角形内角和,对顶角性质是解题关键.

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