七年级下册第十四章 三角形综合与测试当堂达标检测题

这是一份七年级下册第十四章 三角形综合与测试当堂达标检测题，共36页。
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专题测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边中点，则下列结论不正确的是（ ）

A．ÐB＝ÐC B．AD⊥BC C．ÐBAD＝ÐCAD D．AB＝2BC
2、下列三个说法：
①有一个内角是30°，腰长是6的两个等腰三角形全等；
②有一个内角是120°，底边长是3的两个等腰三角形全等；
③有两条边长分别为5，12的两个直角三角形全等．
其中正确的个数有（ ）．
A．3 B．2 C．1 D．0
3、如图，，于点，与交于点，若，则等于（ ）

A．20° B．50° C．70° D．110°
4、小明把一副含有45°，30°角的直角三角板如图摆放其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠a+∠β等于（ ）

A．180° B．210° C．360° D．270°
5、如图，等腰中，，，于D，点O是线段AD上一点，点P是BA延长线上一点，若，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（ ）

A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
6、等腰三角形的一个角是80°，则它的一个底角的度数是（ ）
A．50° B．80° C．50°或80° D．100°或80°
7、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8、如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°，则∠BFC＝115°；④DF＝EF．其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9、如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AF＝DC，添加下列条件中的一个仍无法证明△ABC≌△DEF的是（　　）

A．BC＝EF B．AB＝DE C．∠B＝∠E D．∠ACB＝∠DFE
10、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，直线a∥b，若BC在直线b上，则∠1的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．60°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，AB，CD相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是______．

2、已知△ABC是等腰三角形，若∠A＝70°，则∠B＝_____．
3、△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F且DF＝CD，则∠ABC＝______．
4、如图，已知AB＝3，AC＝CD＝1，∠D＝∠BAC＝90°，则△ACE的面积是 _____．

5、若，则以、为边长的等腰三角形的周长为________．
三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）
1、如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A 顺时针旋转60°得到 ，连接 ．
（1）用等式表示 与CP的数量关系，并证明；
（2）当∠BPC＝120°时，
①直接写出 的度数为 ；
②若M为BC的中点，连接PM，请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．

2、如图，在△ABC中，AD⊥BE，∠DAC＝10°，AE是∠BAC的外角∠MAC的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，求∠AFB的度数．

3、已知：如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5．
（1）直接写出BC的取值范围是　 　．
（2）若点D是BC边上的一点，∠BAC＝85°，∠ADC＝140°，∠BAD＝∠B，求∠C．

4、阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：
如下图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得．
大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故．


任务：
如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

5、下面是“作一个角的平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，钝角．

求作：射线OC，使．
作法：如图，

①在射线OA上任取一点D；
②以点О为圆心，OD长为半径作弧，交OB于点E；
③分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，在内，两弧相交于点C；
④作射线OC．
则OC为所求作的射线．
完成下面的证明．
证明：连接CD，CE
由作图步骤②可知______．
由作图步骤③可知______．
∵，
∴．
∴（________）（填推理的依据）．
6、如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，∠A=50°，求∠BCD的度数．

7、如图，AD为△ABC的角平分线．

（1）如图1，若BE⊥AD于点E，交AC于点F，AB＝4，AC＝7．则CF＝　 　；
（2）如图2，CG⊥AD于点G，连接BG，若△ABG的面积是6，求△ABC的面积；
（3）如图3，若∠B＝2∠C，AB＝m，AC＝n，则CD的长为 　 　．（用含m，n的式子表示）
8、如图，在中，，AD是角平分线，E是AB边上一点，连接ED，CB是的平分线，ED的延长线与CF交于点F．

（1）求证：；
（2）若，，则______度．
9、如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，连接DE、AC相交于点F，∠BAE＝∠CAD，AB＝AE，AD＝AC．

（1）求证：∠DEC＝∠BAE；
（2）如图2，当∠BAE＝∠CAD＝30°，AD⊥AB时，延长DE、AB交于点G，请直接写出图中除△ABE、△ADC以外的等腰三角形．
10、如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D在BC上，已知∠B＝70°，求∠CDE的大小．


-参考答案-
一、单选题
1、D
【分析】
根据等腰三角形的等边对等角的性质及三线合一的性质判断．
【详解】
解：∵AB＝AC，点D是BC边中点，
∴ÐB＝ÐC，AD⊥BC，ÐBAD＝ÐCAD，
故选：D．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，三线合一，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
2、C
【分析】
根据三角形全等的判定方法，等腰三角形的性质和直角三角形的性质判断即可．
【详解】
解：①当一个是底角是30°，一个是顶角是30°时，两三角形就不全等，故本选项错误；
②有一个内角是120°，底边长是3的两个等腰三角形全等，本选项正确；
③当一条直角边为12，一条斜边为12时，两个直角三角形不全等，故本选项错误；正确的只有1个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
3、C
【分析】
由与，即可求得的度数，又由，根据两直线平行，同位角相等，即可求得的度数．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】
题目主要考查了平行线的性质与垂直的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
4、B
【分析】
已知，得到，根据外角性质，得到，，再将两式相加，等量代换，即可得解；
【详解】
解：如图所示，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴；
故选D．
【点睛】
本题主要考查了三角形外角定理的应用，准确分析计算是解题的关键．
5、A
【分析】
①利用等边对等角得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；④证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，得AC＝AE+CE＝AO+AP．
【详解】
解：①如图1，连接OB，

∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故①正确；
②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，
则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形，故③正确；
④如图2，在AC上截取AE＝PA，

∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AO+AP，
∴AB＝AO+AP，故④正确；
正确的结论有：①③④，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．
6、C
【分析】
已知给出一个角的的度数为80º，没有明确是顶角还是底角，要分类讨论，联合内角和求出底角即可．
【详解】
解：等腰三角形的一个角是80°，
当80º为底角时，它的一个底角是80º，
当80º为顶角时，它的一个底角是，
则它的一个底角是50º或80º．
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，内角和定理，掌握分类讨论的思想是解决问题的关键．
7、B
【分析】
根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论．
【详解】
解：以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交直线BC于两个点，然后作AB的垂直平分线交直线BC于点，如图所示：

∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴点重合，
∴符合条件的点P有2个；
故选B．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
8、C
【分析】
根据平行线的性质和角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质逐个判定即可解答．
【详解】
解：∵BF是∠AB的角平分线，
∴∠DBF＝∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF，
∴△BDF是等腰三角形；故①正确；
同理，EF＝CE，
∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正确；
∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝65°，
∴∠BFC＝180°﹣65°＝115°，故③正确；
当△ABC为等腰三角形时，DF＝EF，
但△ABC不一定是等腰三角形，
∴DF不一定等于EF，故④错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的定义及平行线的性质等知识点，根据两直线平行、内错角相等以及等角对等边来判定等腰三角形是解答本题的关键．
9、A
【分析】
根据AF=DC求出AC=DF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】
解：∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，
即AC=DF，
A、BC=EF，AC=DF，∠A=∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
B、AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
C．∠B=∠E，∠A=∠D，AC=DF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．∠ACB=∠DFE，AC=DF，∠A=∠D，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
10、C
【分析】
根据三角形内角和定理确定，然后利用平行线的性质求解即可．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】
题目主要考查平行线的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．
二、填空题
1、（答案不唯一）
【分析】
在与中，已经有条件： 所以补充可以利用证明两个三角形全等.
【详解】
解：在与中，

所以补充：

故答案为：
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明两个三角形全等”是解本题的关键.
2、或或
【分析】
分①是顶角，是底角，②是底角，是底角，③是底角，是顶角三种情况，再根据等腰三角形的定义、三角形的内角和定理即可得．
【详解】
解：由题意，分以下三种情况：
①当是顶角，是底角时，
则；
②当是底角，是底角时，
则；
③当是底角，是顶角时，
则；
综上，的度数为或或，
故答案为：或或．
【点睛】
本题考查了等腰三角形、三角形的内角和定理，正确分三种情况讨论是解题关键．
3、45°或135°
【分析】
根据题意，分两种情况讨论：①当为锐角三角形时；②当为钝角三角形时；作出相应图形，然后利用全等三角形的判定证明三角形全等，根据其性质及各角直角的等量关系即可得．
【详解】
解：①如图所示：当为锐角三角形时，

∵，，
∴，
∴，，
∴，
在ΔBDF与中，
，
∴ΔBDF≅ΔADC，
∴，
∵，
∴；
②如图所示：当为钝角三角形时，

∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在ΔBDF与中，
，
∴ΔBDF≅ΔADC，
∴，
∵，
∴，
，
综合①②可得：为或，
故答案为：或．
【点睛】
题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，根据题意进行分类讨论，作出相应图形是解题关键．
4、##
【分析】
先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，然后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】
解：在和中，，
，
，
则的面积是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
5、17
【分析】
先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分情况讨论求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，，
解得：，，
①若是腰长，则底边为7，三角形的三边分别为3、3、7，
∵，
∴3、3、7不能组成三角形；
②若是腰长，则底边为3，三角形的三边分别为7、7、3，能组成三角形，
周长为：，
∴以、为边长的等腰三角形的周长为17，
故答案为：17．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，绝对值和平方的非负性，以及三角形的三边关系，难点在于要分类讨论求解．
三、解答题
1、（1），理由见解析；（2）①60°；②PM＝，见解析
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，可得AB＝AC，∠BAC＝60°，再由由旋转可知：从而得到，可证得，即可求解 ；
（2）①由∠BPC＝120°，可得∠PBC＋∠PCB＝60°．根据等边三角形的性质，可得∠BAC＝60°，从而得到∠ABC＋∠ACB＝120°，进而得到∠ABP＋∠ACP＝60°．再由，可得 ，即可求解；
②延长PM到N，使得NM＝PM，连接BN．可先证得△PCM≌△NBM．从而得到CP＝BN，∠PCM＝∠NBM．进而得到 ．根据①可得，可证得，从而得到 ．再由 为等边三角形，可得 ．从而得到 ，即可求解．
【详解】
解：（1） ．理由如下：
在等边三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，
由旋转可知：
∴
即
在和△ACP中

∴ ．
∴ ．
（2）①∵∠BPC＝120°，
∴∠PBC＋∠PCB＝60°．
∵在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＋∠ACB＝120°，
∴∠ABP＋∠ACP＝60°．
∵ ．
∴ ，
∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．
即 ；
②PM＝ ．理由如下：
如图，延长PM到N，使得NM＝PM，连接BN．

∵M为BC的中点，
∴BM＝CM．
在△PCM和△NBM中

∴△PCM≌△NBM（SAS）．
∴CP＝BN，∠PCM＝∠NBM．
∴ ．
∵∠BPC＝120°，
∴∠PBC＋∠PCB＝60°．
∴∠PBC＋∠NBM＝60°．
即∠NBP＝60°．
∵∠ABC＋∠ACB＝120°，
∴∠ABP＋∠ACP＝60°．
∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．
即 ．
∴ ．
在△PNB和 中

∴ （SAS）．
∴ ．
∵
∴ 为等边三角形，
∴ ．
∴ ，
∴PM＝ ．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键．
2、∠AFB＝40°．
【分析】
由题意易得∠ADC＝90°，∠ACB＝80°，然后可得，进而根据三角形外角的性质可求解．
【详解】
解：∵AD⊥BE，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝10°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DAC＝90°﹣10°＝80°，
∵AE是∠MAC的平分线，BF平分∠ABC，
∴，
又∵∠MAE＝∠ABF+∠AFB，∠MAC＝∠ABC+∠ACB，
∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝．
【点睛】
本题主要考查三角形外角的性质及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质及角平分线的定义是解题的关键．
3、（1）2＜BC＜8；（2）25°
【分析】
（1）根据三角形三边关系解答即可；
（2）根据三角形外角性质和三角形内角和解答即可．
【详解】
解：（1）∵AC-AB＜BC＜AC+AB，AB＝3，AC＝5．
∴2＜BC＜8，
故答案为：2＜BC＜8
（2）∵∠ADC是△ABD的外角
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝140
∵∠B＝∠BAD
∴∠B＝
∵∠B+∠BAC+∠C＝180
∴∠C＝180﹣∠B﹣∠BAC
即∠C＝180﹣70﹣85＝25
【点睛】
本题考查了三角形第三边的取值范围，三角形内角和定理和三角形外角的性质，能根据三角形的外角的性质求出∠B的度数是解此题的关键．
4、成立，证明见解析
【分析】
根据阅读材料将△ADF旋转120°再证全等即可求得EF= BE+DF ．
【详解】
解：成立．
证明：将绕点顺时针旋转，得到，
，，，，，

，、、三点共线，
．
，，，
，
．
【点睛】
本题考查旋转中的三角形全等，读懂材料并运用所学的全等知识是本题关键．
5、OE； CE；全等三角形的对应角相等
【分析】
根据圆的半径相等可得OD=OE，CD=CE，再利用SSS可证明，从而根据全等三角形的性质可得结论．
【详解】
证明：连接CD，CE
由作图步骤②可知___OE___．
由作图步骤③可知__CE___．
∵，
∴．
∴（__全等三角形对应角相等__）
故答案为：OE； CE；全等三角形的对应角相等
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定和性质．
6、25°
【分析】
直接利用等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=65°，进而利用三角形内角和定理得出答案．
【详解】
∵AB=AC，∠A=50°，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∵CD⊥BC于点D，
∴∠BCD的度数为：180°−90°−65°=25°．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，正确得出∠B的度数是解题关键．
7、
（1）3
（2）12
（3）
【分析】
（1）利用ASA证明△AEF≌△ABE，得AE=AB=4，得出答案；
（2）延长CG、AB交于点H，设S△BGC=S△HGB=a，用两种方法表示△ACH的面积即可；
（3）在AC上取AN=AB，可得CD=DN=n-m，根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可求出CD的长．
（1）
∵AD是△ABC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵BE⊥AD，
∴∠BEA=∠FEA，
在△AEF和△AEB中，
，
∴△AEF≌△AEB（ASA），
∴AF=AB=4，
∵AC=7
∴CF=AC-AF=7-4=3，
故答案为：3；
（2）
延长CG、AB交于点H，如图，

由（1）知AC=AH，点G为CH的中点，
设S△BGC=S△HGB=a，
根据△ACH的面积可得：
S△ABC+2a=2（6+a），
∴S△ABC=12；
（3）
在AC上取AN=AB，如图，

∵AD是△ABC的平分线，
∴∠NAD=∠BAD，
在△ADN与△ADB中，
，
∴△ADN≌△ADB（SAS），
∴∠AND=∠B，DN=BD，
∵∠B=2∠C，
∴∠AND=2∠C，
∴∠C=∠CDN，
∴CN=DN=AC-AB=n-m，
∴BD=DN=n-m，
根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可得：
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积等知识，利用角的轴对称性构造全等三角形是解题的关键．
8、（1）见解析，（2）46
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和角平分线得到∠B＝∠ACB＝∠BCF，由AD是角平分线，得到BD＝CD，证△BDE≌△CDF即可；
（2）根据全等三角形的性质得到DE＝DF＝DA，根据求得∠DAB，进而求出∠B的度数即可．
【详解】
（1）证明：∵，
∴∠B＝∠ACB，
∵CB是的平分线，
∴∠ACB＝∠BCF，
∴∠B＝∠BCF，
∵AD是角平分线，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵∠BDE＝∠CDF，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
∴；
（2）∵△BDE≌△CDF；
∴ED＝FD，
∵,
∴ED＝AD，
∵，
∴，
∴，
∴∠B＝∠ACB＝∠BCF＝23°，
∴，
故答案为：46．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关知识进行推理证明和计算．
9、（1）见解析；（2）△AEF、△ADG、△DCF、△ECD
【分析】
（1）根据已知条件得到∠BAE＝∠CAD，根据全等三角形的性质得到∠AED＝∠ABC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠AEB，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】
证明：（1）如图1，∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠CAE＝∠CAD＋∠CAE，
即∠BAC＝∠EAD，
在△AED与△ABC中，

∴△AED≌△ABC，
∴∠AED＝∠ABC，
∵∠BAE＋∠ABC＋∠AEB＝180°，
∠CED＋∠AED＋∠AEB＝180°，
∵AB＝AE，
∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠BAE＋2∠AEB＝180°，
∠CED＋2∠AEB＝180°，
∴∠DEC＝∠BAE；
（2）解：如图2，
①∵∠BAE＝∠CAD＝30°，
∴∠ABC＝∠AEB＝∠ACD＝∠ADC＝75°，
由（1）得：∠AED＝∠ABC＝75°，
∠DEC＝∠BAE＝30°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∴∠CAE＝30°，
∴∠AFE＝180°−30°−75°＝75°，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形，
②∵∠BEG＝∠DEC＝30°，∠ABC＝75°，
∴∠G＝45°，
在Rt△AGD中，∠ADG＝45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
③∠CDF＝75°−45°＝30°，
∴∠DCF＝∠DFC＝75°，
∴△DCF是等腰直角三角形；
④∵∠CED＝∠EDC＝30°，
∴△ECD是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10、
【分析】
先由旋转的性质证明再利用等边对等角证明从而可得答案.
【详解】
解： 把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，∠B＝70°，



【点睛】
本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握“旋转前后的对应角相等与等边对等角”是解本题的关键.