高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算同步训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算同步训练题，共9页。

一、选择题(每小题5分，共20分)
1．对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为 eq \(BC,\s\up6(→)) 的是( )
A． eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DC,\s\up6(→)) B． eq \(BD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→))
C． eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DC,\s\up6(→)) D． eq \(DC,\s\up6(→)) ＋ eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→))
【解析】选C.在A中， eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DC,\s\up6(→)) ＝ eq \(BD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DC,\s\up6(→)) ＝ eq \(BC,\s\up6(→)) ；
在B中， eq \(BD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(BC,\s\up6(→)) ；
在C中， eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) ；
在D中， eq \(DC,\s\up6(→)) ＋ eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(DC,\s\up6(→)) ＋ eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(BD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DC,\s\up6(→)) ＝ eq \(BC,\s\up6(→)) .
2．下列等式不正确的是( )
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；
② eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BA,\s\up6(→)) ＝0；
③ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(DC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BD,\s\up6(→)) .
A．②③ B．② C．① D．③
【解析】选B.②错误， eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BA,\s\up6(→)) ＝0，①③正确．
3．如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则| eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(FE,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) |等于( )
A.1 B． eq \r(2) C． eq \r(3) D．2
【解析】选D.正六边形ABCDEF中， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(ED,\s\up6(→)) ， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AF,\s\up6(→)) ，所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(FE,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) ＝ eq \(ED,\s\up6(→)) ＋ eq \(FE,\s\up6(→)) ＋ eq \(AF,\s\up6(→))
＝ eq \(AF,\s\up6(→)) ＋ eq \(FE,\s\up6(→)) ＋ eq \(ED,\s\up6(→)) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) ，
因为| eq \(AB,\s\up6(→)) |＝1，所以| eq \(AD,\s\up6(→)) |＝2.
4．在平行四边形ABCD中，若| eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(BA,\s\up6(→)) |＝| eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) |，则四边形ABCD是( )
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定
【解析】选B.依题意，平行四边形ABCD中，| eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(BA,\s\up6(→)) |＝| eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) |，则平行四边形ABCD的两条对角线相等．故四边形ABCD为矩形．
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．化简：( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(MB,\s\up6(→)) )＋( eq \(BO,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) )＋ eq \(OM,\s\up6(→)) ＝________．
【解析】( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(MB,\s\up6(→)) )＋( eq \(BO,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) )＋ eq \(OM,\s\up6(→)) ＝( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) )＋( eq \(BO,\s\up6(→)) ＋ eq \(OM,\s\up6(→)) ＋ eq \(MB,\s\up6(→)) )＝ eq \(AC,\s\up6(→)) ＋0＝ eq \(AC,\s\up6(→)) .
答案： eq \(AC,\s\up6(→))
6．如图所示，O(0，0)，A(－2，－1)，B(0，1)，
则| eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) |＝________．
【解析】如图所示，由平行四边形法则知，
eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＝ eq \(OC,\s\up6(→)) ，点C的坐标为(－2，0)，
所以| eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) |＝2.
答案：2
三、解答题
7．(10分)如图，四边形ABDC为等腰梯形，AB∥CD，AC＝BD，CD＝2AB，E为CD的中点．试求：
(1) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AE,\s\up6(→)) ；(2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \(EC,\s\up6(→)) ；(3) eq \(CD,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \(DB,\s\up6(→)) ＋ eq \(EC,\s\up6(→)) .
【解析】由已知得四边形ACEB，四边形ABDE均为平行四边形．
(1) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) ；
(2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \(EC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AE,\s\up6(→)) ＋ eq \(EC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) ；
(3) eq \(CD,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \(DB,\s\up6(→)) ＋ eq \(EC,\s\up6(→)) ＝ eq \(CE,\s\up6(→)) ＋ eq \(ED,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \(DB,\s\up6(→)) ＋ eq \(EC,\s\up6(→)) ＝( eq \(CE,\s\up6(→)) ＋ eq \(EC,\s\up6(→)) )＋( eq \(ED,\s\up6(→)) ＋ eq \(DB,\s\up6(→)) )＋ eq \(AC,\s\up6(→))
＝ eq \(EB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(CA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝0.
【加固训练】
如图，已知三个向量a，b，c，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量a＋b＋c.
【解析】利用三角形法则作a＋b＋c，如图①所示，作 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a，以A为起点，作 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝b，再以B为起点，作 eq \(BC,\s\up6(→)) ＝c，则 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) ＝a＋b＋c.
利用平行四边形法则作a＋b＋c，如图②所示，作 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝c，以 eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(OB,\s\up6(→)) 为邻边作▱OADB，则 eq \(OD,\s\up6(→)) ＝a＋b，再以 eq \(OD,\s\up6(→)) ， eq \(OC,\s\up6(→)) 为邻边作▱ODEC，则 eq \(OE,\s\up6(→)) ＝ eq \(OD,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝a＋b＋c.

【综合突破练】 (15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(多选题)已知平行四边形ABCD，设 eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(DA,\s\up6(→)) ＝a，且b是一非零向量，则下列结论正确的是( )
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|<|a|＋|b|
【解析】选AC.因为在▱ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) ＝0， eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(DA,\s\up6(→)) ＝0，所以a为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，A，C正确，B错误；|a＋b|＝|0＋b|＝|b|＝|a|＋|b|，D错误．
2．若在△ABC中，AB＝AC＝1，| eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) |＝ eq \r(2) ，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
【解析】选D.设线段BC的中点为O，由平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分可知
| eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) |＝2| eq \(AO,\s\up6(→)) |，又| eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) |＝ eq \r(2) ，
故| eq \(AO,\s\up6(→)) |＝ eq \f(\r(2),2) ，又BO＝CO＝ eq \f(\r(2),2) ，
所以△ABO和△ACO都是等腰直角三角形，
所以△ABC是等腰直角三角形．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：
(1) eq \(DE,\s\up6(→)) ＋ eq \(EA,\s\up6(→)) ＝________；
(2) eq \(BE,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(EA,\s\up6(→)) ＝________；
(3) eq \(DE,\s\up6(→)) ＋ eq \(CB,\s\up6(→)) ＋ eq \(EC,\s\up6(→)) ＝________；
(4) eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \(DB,\s\up6(→)) ＋ eq \(EC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AE,\s\up6(→)) ＝________．
答案：(1) eq \(DA,\s\up6(→)) (2)0 (3) eq \(DB,\s\up6(→)) (4) eq \(DC,\s\up6(→))
4．如图，一架飞机从A地按北偏西30°方向飞行300 km后到达B地，然后向C地飞行，已知C地在A地北偏东60°方向处，且| eq \(BC,\s\up6(→)) |＝300 eq \r(2) km，则飞机从B地向C地飞行的方向是南偏东____________，| eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) |＝________ km.
【解析】由题意和图形可知∠BAC＝90°，
因为| eq \(AB,\s\up6(→)) |＝300 km，| eq \(BC,\s\up6(→)) |＝300 eq \r(2) km，
所以| eq \(AC,\s\up6(→)) |＝300 km，
因为∠ABC＝45°，A地在B地南偏东30°的方向处，
所以C地在B地南偏东75°的方向处．
故飞机从B地向C地飞行的方向为南偏东75°.
答案：75° 300
【加固训练】
如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24 N．绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N，则F1与F2的合力大小为______，方向为________________．
【解析】以 eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(OB,\s\up6(→)) 为邻边作平行四边形BOAC，
则F1＋F2＝F，
即 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＝ eq \(OC,\s\up6(→)) ，则∠OAC＝60°，| eq \(OA,\s\up6(→)) |＝24，| eq \(AC,\s\up6(→)) |＝| eq \(OB,\s\up6(→)) |＝12，
所以∠ACO＝90°，所以| eq \(OC,\s\up6(→)) |＝12 eq \r(3) .
所以F1与F2的合力大小为12 eq \r(3) N，方向为竖直向上．
答案：12 eq \r(3) N 竖直向上
三、解答题
5．(10分)已知在任意四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，求证： eq \(EF,\s\up6(→)) ＋ eq \(EF,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(DC,\s\up6(→)) .
【证明】如图，在平面内取点O，连接AO，EO，
DO，CO，FO，BO.
eq \(EF,\s\up6(→)) ＝ eq \(EO,\s\up6(→)) ＋ eq \(OF,\s\up6(→)) ＝ eq \(EA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AO,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BF,\s\up6(→)) ，
eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(AO,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ，
eq \(DC,\s\up6(→)) ＝ eq \(DO,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \(DE,\s\up6(→)) ＋ eq \(EA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AO,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BF,\s\up6(→)) ＋ eq \(FC,\s\up6(→)) .
因为E，F分别是AD，BC的中点，
所以 eq \(DE,\s\up6(→)) ＝ eq \(EA,\s\up6(→)) ， eq \(BF,\s\up6(→)) ＝ eq \(FC,\s\up6(→)) .
所以 eq \(EF,\s\up6(→)) ＋ eq \(EF,\s\up6(→)) ＝ eq \(EA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AO,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BF,\s\up6(→)) ＋ eq \(EA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AO,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BF,\s\up6(→)) ＝ eq \(DE,\s\up6(→)) ＋ eq \(AO,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(FC,\s\up6(→)) ＋ eq \(EA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AO,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BF,\s\up6(→))
＝( eq \(AO,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) )＋( eq \(DE,\s\up6(→)) ＋ eq \(FC,\s\up6(→)) ＋ eq \(EA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AO,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BF,\s\up6(→)) )
＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(DC,\s\up6(→)) .