高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算同步达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算同步达标检测题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.若|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为135°,则a·(-b)等于( )
A.12 B.-12 C.12 QUOTE D.-12 QUOTE
【解析】选C.因为a·(-b)=-a·b
=-|a||b|cs 135°=-4×6× QUOTE =12 QUOTE .
【补偿训练】
1.在△ABC中,BC=5,AC=8,∠C=60°,则·=( )
A.20 B.-20 C.20 QUOTE D.-20 QUOTE
【解析】选B.·=||||cs 120°=5×8× QUOTE =-20.
2.已知△ABC中,=a,=b,若a·b<0,则△ABC是( )
A.钝角三角形B.直角三角形
C.锐角三角形D.任意三角形
【解析】选A.由a·b<0易知向量a与b的夹角为钝角.
2.(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( )
A. QUOTE B. QUOTE C. QUOTE D. QUOTE
【解析】选B.设夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cs θ= QUOTE = QUOTE ,又θ∈[0,π],所以a与b的夹角为 QUOTE .
3.已知平面向量a,b满足a·(a+b)=3且|a|=2,|b|=1,则向量a与b的夹角为( )
A. QUOTE B. QUOTE C. QUOTE D. QUOTE
【解析】选C.因为a·(a+b)=a2+a·b=4+2cs=3,所以cs=- QUOTE ,又因为∈[0,π],所以= QUOTE .
4.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c与d垂直,则k的值为( )
A.-6B.6C.3D.-3
【解析】选B.因为c·d=0,所以(2a+3b)·(ka-4b)=0,所以2ka2-8a·b+3ka·b -12b2=0,所以2k=12,所以k=6.
5.如图所示,△ABC是顶角为120°的等腰三角形,且AB=1,则·等于( )
A.- QUOTE B. QUOTE C.- QUOTE D. QUOTE
【解析】选C.因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形,且AB=1,所以BC= QUOTE ,所以·=1× QUOTE ×cs 150°=- QUOTE .
6.(多选题)已知a,b,c为非零向量,下列说法不正确的是( )
A.若|a·b|=|a||b|,则a∥b
B.若a·c=b·c,则a=b
C.若|a|=|b|,则|a·c|=|b·c|
D.(a·b)|c|=|a|(b·c)
【解析】选BCD.|a·b|=||a||b|cs θ|=|a||b|,
所以cs θ=±1,即θ=0°或180°,此时a∥b;A正确;
选项B中,设a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2,因为a·c=b·c,
所以|a||c|cs θ1=|b||c|cs θ2,
即|a|cs θ1=|b|cs θ2,B不一定正确;
C项中,a与c的夹角和b与c的夹角不相等时,结论不成立;
D项中,a与b的夹角,b与c的夹角不一定相等,所以不一定成立.
【补偿训练】
对于向量a、b、c和实数λ,下列命题中真命题是( )
A.若a·b=0,则a=0或b=0
B.若λa=0,则λ=0或a=0
C.若a2=b2,则a=b或a=-b
D.若a·b=a·c,则b=c
【解析】选B.A中,若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,故A错;C中,若a2=b2,则|a|=|b|,C错;D中,若a·b=a·c,则可能有a⊥b,a⊥c,但b≠c,故只有选项B正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2019·天津高考)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2 QUOTE ,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则·=________.
【解析】如图,过点B作AE的平行线交AD于F,
因为AD∥BC,所以四边形AEBF为平行四边形,
因为AE=BE,故四边形AEBF为菱形.
因为∠BAD=30°,AB=2 QUOTE ,
所以AF=2,即= QUOTE .
因为==-=- QUOTE ,
所以·=(-)·=
QUOTE ·-- QUOTE = QUOTE ×2 QUOTE ×5× QUOTE -12-10=-1.
答案:-1
8.已知e1、e2是夹角为 QUOTE 的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若k=1,则a·b= ______;若a·b=0,则实数k的值为______.
【解析】当k=1时a·b=(e1-2e2)·(e1+e2)
= QUOTE -e1e2-2 QUOTE =- QUOTE .
由a·b=0得(e1-2e2)·(ke1+e2)=0.
整理,得k-2+(1-2k)cs QUOTE =0,解得k= QUOTE .
答案:- QUOTE QUOTE
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知:如图,两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为 QUOTE ,点C是以O为圆心的劣弧 QUOTE 的中点.求:
(1)|+|的值.
(2)·的值.
【解析】(1)因为和的长度为1,夹角为 QUOTE ,
所以·=||||cs QUOTE =- QUOTE ,
所以|+|=
==1.
(2)因为点C是以O为圆心的劣弧 QUOTE 的中点,
所以∠AOC=∠BOC= QUOTE ,
所以·=·= QUOTE ,
所以·=(-)·(-)
=·-·-·+·
= QUOTE - QUOTE - QUOTE +1= QUOTE .
【补偿训练】
已知|a|=10,|b|=12,a与b的夹角为120°,求:(1)a·b;(2)(3a)· QUOTE ;
(3)(3b-2a)·(4a+b).
【解析】(1)a·b=|a||b|cs θ=10×12×cs 120°=-60.
(2)(3a)· QUOTE = QUOTE (a·b)= QUOTE ×(-60)=-36.
(3)(3b-2a)·(4a+b)=12b·a+3b2-8a2-2a·b=10a·b+3|b|2-8|a|2=10×(-60)+3×122-8×102=-968.
10.已知|a|=2|b|=2,e是与b方向相同的单位向量,且向量a在向量b方向上的投影向量为-e.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求(a-2b)·b;
(3)当λ为何值时,向量λa+b与向量a-3b互相垂直?
【解析】(1)由题意知|a|=2,|b|=1.又a在b方向上的投影向量为
|a|cs θ e=-e,
所以cs θ=- QUOTE ,又θ∈[0,π],所以θ= QUOTE .
(2)易知a·b=|a|·|b|cs θ=-1,则(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.
(3)因为λa+b与a-3b互相垂直,所以(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,
所以λ= QUOTE .
(35分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.在△ABC中,若=·+·+·,则△ABC是( )
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.直角三角形
【解析】选D.因为=·+·+·,所以-·=·+·,
所以·(-)=·(-),所以·=,所以·(+)=0,所以·=0,
所以AC⊥BC,所以△ABC是直角三角形.
2.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于( )
A. QUOTE B. QUOTE
C.- QUOTE D.- QUOTE
【解析】选A.因为AM=1,且=2,
所以||= QUOTE .
如图
·(+)=·(2)=·== QUOTE = QUOTE .
【补偿训练】
在△ABC中,C=90°,CB=3,点M满足=2,则·=______.
【解析】因为=+=+ QUOTE =+ QUOTE (-)= QUOTE + QUOTE ,
又C=90°,·=0,
所以·=·= QUOTE =3.
答案:3
3.若|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a-b与b的夹角为( )
A. QUOTE B. QUOTE C. QUOTE D. QUOTE
【解析】选D.由|a+b|=|a-b|可得a·b=0,由|a-b|=2|a|可得3a2=b2,所以|b|= QUOTE |a|,设向量a-b与b的夹角为θ,则cs θ=
=- QUOTE ,又θ∈[0,π],所以θ= QUOTE .
4.(多选题)已知向量a,b的夹角为120°,|a|=|b|=1,c与a+b同向,则|a-c|的值可以为( )
A.1B. QUOTE C. QUOTE D. QUOTE
【解析】选AD.因为|a|=|b|=1,c与a+b同向,
所以a与c的夹角为60°.
又
,故|a-c|min= QUOTE .
由选项可知|a-c|的值可以为1或 QUOTE .
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.(2019·全国卷Ⅲ)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a- QUOTE b,则cs=________.
【解析】因为c2=(2a- QUOTE b)2=4a2+5b2-4 QUOTE a·b=9,所以|c|=3,
因为a·c=a·(2a- QUOTE b)=2a2- QUOTE a·b=2,
所以cs= QUOTE = QUOTE = QUOTE .
答案: QUOTE
【补偿训练】
设向量a,b满足|a+b|= QUOTE ,|a-b|= QUOTE ,则a·b=________.
【解析】因为|a+b|= QUOTE ,
所以(a+b)2=10,
即a2+b2+2a·b=10.①
因为|a-b|= QUOTE ,所以(a-b)2=6,
即a2+b2-2a·b=6.②
由①②可得a·b=1.
答案:1
6.已知a⊥b,|a|=2,|b|=1,且3a+2b与λa-b垂直,则λ等于________.
【解析】因为(3a+2b)⊥(λa-b),所以(λa-b)·(3a+2b)=0,所以3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=0.
又因为|a|=2,|b|=1,a⊥b,
所以12λ+(2λ-3)×2×1×cs 90°-2=0,
所以12λ-2=0,所以λ= QUOTE .
答案: QUOTE
7.在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是边BC上一点,=2,则·= ________.
【解析】因为=2,所以= QUOTE ,=-,
故·=(+)·=·(-)
=·(-)
= QUOTE ·+ QUOTE - QUOTE
= QUOTE ||||cs 120°+ QUOTE ||2- QUOTE ||2
= QUOTE ×2×1× QUOTE + QUOTE ×1- QUOTE ×22=- QUOTE .
答案:- QUOTE
8.已知向量a、b满足:|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角为________;|2a-b|=________.
【解析】由于a·(b-a)=a·b-a2=a·b-1=2,
则a·b=3.设a与b的夹角为θ,则cs θ= QUOTE = QUOTE ,
又θ∈[0,π],所以θ= QUOTE .因为|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=28,所以|2a-b|=2 QUOTE .
答案: QUOTE 2 QUOTE
【补偿训练】
已知非零向量a,b,满足a⊥b,且a+2b与a-2b的夹角为120°,则 QUOTE =______.
【解析】(a+2b)·(a-2b)=a2-4b2,因为a⊥b,
所以
所以
所以 QUOTE = QUOTE .
所以 QUOTE = QUOTE .
答案: QUOTE
三、解答题(每小题10分,共30分)
9.已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,k为何值时,向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角?
【解析】因为e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,
所以(e1+ke2)·(ke1+e2)=k QUOTE +k QUOTE +(k2+1)e1·e2=2k>0,所以k>0.
但当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为0°,不符合题意,舍去.
综上可知,k∈(0,1)∪(1,+∞)时,向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角.
10.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角为120°.
(1)求证:(a-b)⊥c;
(2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求k的取值范围.
【解析】(1)因为|a|=|b|=|c|=1且a,b,c之间的夹角均为120°,所以(a-b)·c=a·c-b·c
=|a||c|cs 120°-|b||c|cs 120°=0,
所以(a-b)⊥c.
(2)因为|ka+b+c|>1,
所以(ka+b+c)·(ka+b+c)>1,
即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1.
因为a·c=a·b=b·c=cs 120°=- QUOTE ,
所以k2-2k>0,解得k<0或k>2.
即k的取值范围是k<0或k>2.
11.在四边形ABCD中,已知AB=9,BC=6,=2.
(1)若四边形ABCD是矩形,求·的值;
(2)若四边形ABCD是平行四边形,且·=6,求与夹角的余弦值.
【解析】(1)因为四边形ABCD是矩形,所以·=0,
由=2,得= QUOTE ,= QUOTE =- QUOTE .
所以·=(+)·(+)=·=- QUOTE ·- QUOTE =36- QUOTE ×81=18.
(2)由题意,=+=+ QUOTE =+ QUOTE ,=+=+ QUOTE =- QUOTE ,
所以·=·=- QUOTE ·- QUOTE
=36- QUOTE ·-18=18- QUOTE ·.
又·=6,所以18- QUOTE ·=6,
所以·=36.设与的夹角为θ,
又·=||||cs θ=9×6×cs θ=54cs θ,
所以54cs θ=36,即cs θ= QUOTE .
所以与夹角的余弦值为 QUOTE .