初中数学沪教版 (五四制)七年级下册第十三章 相交线 平行线综合与测试课后复习题

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七年级数学第二学期第十三章相交线 平行线课时练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列说法中正确的有（ ）
①一条直线的平行线只有一条．
②过一点与已知直线平行的直线只有一条．
③因为a∥b，c∥d，所以a∥d．
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、如图，AB∥CD，AE∥CF，∠C＝131°，则∠A＝（ ）

A．39° B．41° C．49° D．51°
3、一副三角板摆放如图所示，斜边FD与直角边AC相交于点E，点D在直角边BC上，且FDAB，∠B＝30°，则∠ADB的度数是（　　）

A．95° B．105° C．115° D．125°
4、如图，直线被所截，下列说法，正确的有（ ）

①与是同旁内角；
②与是内错角；
③与是同位角；
④与是内错角．
A．①③④ B．③④ C．①②④ D．①②③④
5、如图，已知直线，相交于O，平分，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
6、如图，点A是直线l外一点，过点A作AB⊥l于点B．在直线l上取一点C，连结AC，使AC＝AB，点P在线段BC上，连结AP．若AB＝3，则线段AP的长不可能是（　　）

A．3.5 B．4 C．5 D．5.5
7、如图所示，AB∥CD，若∠2是∠1的2倍，则∠2等于（　　）

A．60° B．90° C．120° D．150°
8、如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（ ）

A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E
C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°
9、如图，∠1=∠2，∠3=25°，则∠4等于（ ）

A．165° B．155° C．145° D．135°
10、如图，木工用图中的角尺画平行线的依据是（ ）

A．垂直于同一条直线的两条直线平行
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．同位角相等，两直线平行
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，BD平分，，，要使，则______°．

2、如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝40°，则∠DAC的度数为____．

3、如图，直线AB与CD被直线AC所截得的内错角是 ___．

4、如图，小明同学在练习本上的相互平行的横格上先画了直线，度量出∠1＝112°，接着他准备在点A处画直线．若要使∥，则∠2的度数为_____度．

5、如图，将一块直角三角板与一张两边平行的纸条按照如图所示的方式放置，下列结论：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠2=∠3；④∠4+∠5=180°．其中正确的是________．（填序号）

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）
1、直线AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点M、N，NP平分∠MND．

（1）如图1，若MR平分∠EMB，则MR与NP的位置关系是 ．
（2）如图2，若MR平分∠AMN，则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由．
（3）如图3，若MR平分∠BMN，则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由．
2、直线、相交于点，平分，，，求与的度数．

3、如果把图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么
（1）∠1与∠2是一对什么角？
（2）∠3与∠4呢？∠2与∠4呢？

4、已知：如图①，AB∥CD，点F在直线AB、CD之间，点E在直线AB上，点G在直线CD上，∠EFG＝90°．
（1）如图①，若∠BEF＝130°，则∠FGC＝　 　度；
（2）小明同学发现：如图②，无论∠BEF度数如何变化，∠FEB﹣∠FGC的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：过点E作EM∥FG，交CD于点M．请你根据小明同学提供的辅助线方法，补全下面的证明过程；
（3）拓展应用：如图③，如果把题干中的“∠EFG＝90°”条件改为“∠EFG＝110°”，其它条件不变，则∠FEB﹣∠FGC＝　 　度．

解：如图②，过点E作EM∥FG，交CD于点M．
∵AB∥CD（已知）
∴∠BEM＝∠EMC（ 　 　）
又∵EM∥FG
∴∠FGC＝∠EMC（ 　 　）
∠EFG+∠FEM＝180°（ 　 　）
即∠FGC＝（ 　 　）（等量代换）
∴∠FEB﹣∠FGC＝∠FEB﹣∠BEM＝（ 　 　）
又∵∠EFG＝90°
∴∠FEM＝90°
∴∠FEB﹣∠FGC＝　 　
即：无论∠BEF度数如何变化，∠FEB﹣∠FGC的值始终为定值．
5、已知：如图，ABCDEF，点G、H、M分别在AB、CD、EF上．求证：．

6、如图，点A、B、C在8×5网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形．请按要求画图，并回答问题：
（1）延长线段AB到点D，使BD＝AB；
（2）过点C画CE⊥AB，垂足为E；
（3）点C到直线AB的距离是 　 　个单位长度；
（4）通过测量 　 　＝　 　，并由此结论可猜想直线BC与AF的位置关系是 　 　．

7、如图，在8×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点D是∠ABC的边BC上的一点，点M是∠ABC内部的一点，点A、B、C、D、M均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并回答问题：
（1）过点M画BC的平行线MN交AB于点N；
（2）过点D画BC的垂线DE，交AB于点E；
（3）点E到直线BC的距离是线段 　 　的长度．

8、如图，为解决A、B、C、D四个村庄的用水问题．政府准备投资修建一个蓄水池．
（1）若使蓄水池与四个村庄的距离的和最小，请画出蓄水池P的位置；
（2）为把河道l中的水引入蓄水池P中，需要再修建一条引水渠．若使引水渠的长度最小，请画出引水渠PQ的修建线路．

9、如图，∠ENC+∠CMG=180°，AB∥CD．
（1）求证：∠2=∠3．
（2）若∠A=∠1+70°，∠ACB=42°，则∠B的大小为______．

10、按下面的要求画图，并回答问题：
（1）如图①，点M从点O出发向正东方向移动4个格，再向正北方向移动3个格．画出线段OM，此时M点在点O的北偏东 　 　°方向上（精确到1°），O、M两点的距离是 　 　cm．
（2）根据以下语句，在“图②”上边的空白处画出图形．
画4cm长的线段AB，点P是直纸AB外一点，过点P画直线AB的垂线PD，垂足为点D．你测得点P到AB的距离是 　 　cm．


-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
根据平行线的性质，平行线的判定判断即可．
【详解】
∵一条直线的平行线有无数条，
∴①的说法不正确；
∵经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴②的说法不正确，④的说法正确；
∵a∥b，c∥d，无法判定a∥d
∴③的说法不正确．
只有一个是正确的，
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，平行线的判定，熟练掌握性质，灵活运用平行线的判定定理是解题的关键．
2、C
【分析】
由题意直接根据平行线的性质进行分析计算即可得出答案．
【详解】
解：如图，

∵AB∥CD，∠C＝131°，
∴∠1 =180°-∠C=49°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AE∥CF，
∴∠A=∠C=49°（两直线平行，同位角相等）．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质即两直线平行，同旁内角互补和两直线平行，同位角相等以及两直线平行，内错角相等是解答此题的关键．
3、B
【分析】
由题意可知∠ADF＝45°，则由平行线的性质可得∠B+∠BDF＝180°，求得∠BDF＝150°，从而可求∠ADB的度数．
【详解】
解：由题意得∠ADF＝45°，
∵，∠B＝30°，
∴∠B+∠BDF＝180°，
∴∠BDF＝180°﹣∠B＝150°，
∴∠ADB＝∠BDF﹣∠ADF＝105°．
故选：B
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
4、D
【分析】
根据同位角、内错角、同旁内角的定义可直接得到答案．
【详解】
解：①与是同旁内角，说法正确；
②与是内错角，说法正确；
③与是同位角，说法正确；
④与是内错角，说法正确，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F” 形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．
5、C
【分析】
先根据角平分线的定义求得∠AOC的度数，再根据邻补角求得∠BOC的度数即可．
【详解】
解：∵OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，
∴∠AOC＝∠EOC＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝130°．
故选：C．
【点睛】
本题考查角平分线的有关计算，邻补角．能正确识图是解题关键．
6、D
【分析】
直接利用垂线段最短以及结合已知得出AP的取值范围进而得出答案．
【详解】
∵过点A作AB⊥l于点B，在直线l上取一点C，连接AC，使AC＝AB，P在线段BC上连接AP．
∵AB＝3，
∴AC＝5，
∴3≤AP≤5，
故AP不可能是5.5，
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂线段最短，正确得出AP的取值范围是解题的关键．
7、C
【分析】
先由AB∥CD，得到∠1=∠CEF，根据∠2+∠CEF=180°，得到∠2+∠1＝180°，再由∠2＝2∠1，则3∠1=180°，由此求解即可．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠CEF，
又∵∠2+∠CEF=180°，
∴∠2+∠1＝180°，
∵∠2＝2∠1，
∴3∠1=180°，
∴∠1=60°，
∴∠2＝120°，
故选C．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，领补角互补，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．
8、C
【分析】
如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据平行线的性质可得∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，根据AB∥EF可得CG∥DH，根据平行线的性质可得∠CDH＝∠DCG，进而根据角的和差关系即可得答案．
【详解】
如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，
∴∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，
∵AB∥EF，
∴CG∥DH，
∴∠CDH＝∠DCG，
∴∠ACD＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠CDE﹣（180°﹣∠E），
∴∠A﹣∠ACD+∠CDE+∠E＝180°．

故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
9、B
【分析】
设∠4的补角为，利用∠1=∠2求证，进而得到，最后即可求出∠4．
【详解】
解：设∠4的补角为，如下图所示：

∠1=∠2，
，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题主要是考查了平行线的性质与判定，熟练角相等，证明两直线平行，然后利用平行关系证明其他角相等，这是解决该题的关键．
10、C
【分析】
由于角尺是一个直角，木工画线实质是在画一系列的直角，且这些直角有一边在同一直线上，根据平行线的判定即可作出判断．
【详解】
由于木工画一条线实际上是在画一个直角，且这些直角的一边在同一直线上，且这些直角是同位角相等，因而这些直线平行．
故选:C
【点睛】
本题是平行线判定在实质中的应用，关键能够把实际问题转化为数学问题．
二、填空题
1、20
【分析】
利用角平分线的定义求解再由可得再列方程求解即可.
【详解】
解： BD平分，，

由，
而，

解得：
所以当时，，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义，平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，掌握平行线的判定与性质是解本题的关键.
2、40°
【分析】
根据平行线的性质可得∠EAD=∠B，根据角平分线的定义可得∠DAC=∠EAD，即可得答案．
【详解】
∵AD∥BC，∠B＝40°，
∴∠EAD=∠B=40°，
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠DAC=∠EAD=40°，
故答案为：40°
【点睛】
本题考查平行线的性质及角平分线的定义，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键．
3、∠2与∠4
【分析】
根据内错角的特点即可求解．
【详解】
由图可得直线AB与CD被直线AC所截得的内错角是∠2与∠4
故答案为：∠2与∠4．
【点睛】
此题主要考查内错角的识别，解题的关键是熟知内错角的特点．
4、68
【分析】
根据平行线的性质，得出，根据平行线的判定，得出，即可得到，进而得到的度数．
【详解】
解：∵练习本的横隔线相互平行，
，
∵要使，
∴，
又，
，
即，
故答案为：68．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定条件，解题时注意：两直线平行，同位角相等；同旁内角互补，两直线平行．
5、①②④
【分析】
根据平行线的性质，直角三角板的性质对各小题进行验证即可得解．
【详解】
解：∵纸条的两边互相平行，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠4+∠5=180°，故①，②，④正确；
∵三角板是直角三角板，
∴∠2+∠4=180°-90°=90°，
∵∠3=∠4，
∴∠2+∠3=90°，故③不正确．
综上所述，正确的是①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，直角三角板的性质，熟记性质与概念并准确识图是解题的关键．
三、解答题
1、（1）MR//NP；（2）MR//NP，理由见解析；（3）MR⊥NP，理由见解析
【分析】
（1）根据AB∥CD，得出∠EMB=∠END，根据MR平分∠EMB，NP平分∠EBD，得出，可证∠EMR=∠ENP即可；
（2）根据AB∥CD，可得∠AMN=∠END，根据MR平分∠AMN，NP平分∠EBD，可得，得出∠RMN=∠ENP即可；
（3设MR，NP交于点Q，过点Q作QG∥AB，根据AB∥CD，可得∠BMN+∠END=180°，根据MR平分∠BMN，NP平分∠EBD，得出，计算两角和∠BMR+∠NPD=，根据GQ∥AB，AB∥CD，得出∠BMQ=∠GQM，∠GQN=∠PND，得出∠MQN=∠GQM+∠GQN=∠BMQ+∠PND=90°即可．
【详解】
证明：（1）结论为MR∥NP．
如题图1∵AB∥CD，
∴∠EMB=∠END，
∵MR平分∠EMB，NP平分∠EBD，
∴，
∴∠EMR=∠ENP，
∴MR∥BP；
故答案为MR∥BP；
（2）结论为：MR∥NP．
如题图2，∵AB∥CD，
∴∠AMN=∠END，
∵MR平分∠AMN，NP平分∠EBD，
∴
∴∠RMN=∠ENP，
∴MR∥NP；
（3）结论为：MR⊥NP．
如图，设MR，NP交于点Q，过点Q作QG∥AB，

∵AB∥CD，
∴∠BMN+∠END=180°，
∵MR平分∠BMN，NP平分∠EBD，
∴，
∴∠BMR+∠NPD=，
∵GQ∥AB，AB∥CD，
∴GQ∥CD∥AB，
∴∠BMQ=∠GQM，∠GQN=∠PND，
∴∠MQN=∠GQM+∠GQN=∠BMQ+∠PND=90°，
∴MR⊥NP，
【点睛】
本题考查平行线性质与判定，角平分线定义，角的和差，掌握平行线性质与判定，角平分线定义，角的和差是解题关键．
2、∠3=50°，∠2=65°．
【分析】
根据邻补角的性质、角平分线的定义进行解答即可．
【详解】
∵∠FOC=90°，∠1=40°，
∴∠3=180°-∠FOC-∠1 =180°-90°-40°=50°，
∴∠AOD=180°-∠3=180°-50°=130°，
又∵OE平分∠AOD，
∴∠2=∠AOD=65°．
【点睛】
本题考查的是邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握邻补角之和等于180°是解题的关键．
3、（1）∠1与∠2是一对同位角；（2）∠3与∠4是一对内错角，∠2与∠4是一对同旁内角
【分析】
同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截直线之间的两角，叫做同旁内角；由以上概念进行判断即可．
【详解】
解：直线AB，EF被直线CD所截，
（1）∠1与∠2是一对同位角；
（2）∠3与∠4是一对内错角，∠2与∠4是一对同旁内角．
【点睛】
本题考查同位角、内错角以及同旁内角的识别，掌握这几种角的基本定义是解题关键．
4、（1）40°；（2）见解析；（3）70°
【分析】
（1）过点F作FN∥AB，由∠FEB＝150°，可计算出∠EFN的度数，由∠EFG＝90°，可计算出∠NFG的度数，由平行线的性质即可得出答案；
（2）根据题目补充理由和相关结论即可；
（3）类似（2）中的方法求解即可．
【详解】
解：（1）过点F作FN∥AB，
∵FN∥AB，∠FEB＝130°，
∴∠EFN+∠FEB＝180°，
∴∠EFN＝180°﹣∠FEB＝180°﹣130°＝50°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠NFG＝∠EFG﹣∠EFN＝90°﹣50°＝40°，
∵AB∥CD，
∴FN∥CD，
∴∠FGC＝∠NFG＝40°．
故答案为：40°；

（2）如图②，过点E作EM∥FG，交CD于点M．
∵AB∥CD（已知）
∴∠BEM＝∠EMC（两直线平行，内错角相等）
又∵EM∥FG
∴∠FGC＝∠EMC（两直线平行，同位角相等）
∠EFG+∠FEM＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
即∠FGC＝（∠BEM）（等量代换）
∴∠FEB﹣∠FGC＝∠FEB﹣∠BEM＝（∠FEM）
又∵∠EFG＝90°
∴∠FEM＝90°
∴∠FEB﹣∠FGC＝90°
故答案为：两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，∠BEM，∠FEM，90°
（3）过点E作EH∥FG，交CD于点H．
∵AB∥CD
∴∠BEH＝∠EHC
又∵EM∥FG
∴∠FGC＝∠EHC
∠EFG+∠FEH＝180°
即∠FGC＝∠BEH
∴∠FEB﹣∠FGC＝∠FEB﹣∠BEH＝∠FEH
又∵∠EFG＝110°
∴∠FEH＝70°
∴∠FEB﹣∠FGC＝70°
故答案为：70°．

【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键．
5、见解析
【分析】
由AB∥CD∥EF可得，，，即可证明．
【详解】
证明：∵AB∥CD（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
又 ∵CD∥EF（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴（等式性质）

【点睛】
本题主要考查平行线的性质，准确观察图形，推出角之间的关系是解题关键．
6、（1）见解析；（2）见解析；（3）2；（4），平行
【分析】
（1）根据网格的特点和题意，延长到，使；
（2）根据网格是正方形，垂线的定义，画出，垂足为，点在线段的延长线上，
（3）点C到直线AB的距离即的长，网格的特点即可数出的长；
（4）根据同位角相等，两直线平行，或内错角相等，两直线平行即可得，即可知测量的角度
【详解】
解：（1）（2）如图所示，

（3）由网格可知
即点C到直线AB的距离是个单位长度
故答案为：2
（4）通过测量，可知
故答案为：，平行
【点睛】
本题考查了画线段，画垂线，平行线的性质与判定，点到直线的距离，掌握以上知识是解题的关键．
7、（1）见解析；（2）见解析；（3）DE
【分析】
（1）根据平行线的判定条件：同位角相同，两直线平行，进行作图即可；
（2）根据垂线的定义作图即可；
（3）根据点到直线的距离的定义求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，点N即为所求；

（2）如图所示，点E即为所求；

（3）由题意可知：点E到直线BC的距离是线段DE的长度，
故答案为：DE．
【点睛】
本题主要考查了点到直线的距离，平行线的判定，作垂线，画平行线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
8、（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）利用两点之间距离线段最短，进而得出答案；
（2）利用点到直线的距离垂线段最短，即可得出答案．
【详解】
解答：解：（1）如图所示：由两点之间，线段最短，连接AC、BD交点即为P点，

（2）如图所示：由垂线段最短，过P作PQ⊥河道l，垂足即为Q点．
【点睛】
本题主要考查了应用设计与作图，正确掌握点与点以及点到直线的距离定义是解题关键．
9、（1）见解析；（2）34°
【分析】
（1）根据对顶角相等可得出∠ENC+∠FMN=180°，根据平行线的判定可得FG∥ED，由平行线的性质可得∠2=∠D，∠3=∠D，等量代换即可得出结论；
（2）由平行线的性质∠A+∠ACD=180°，结合已知可得∠1+70°+∠1+42°=180°，可求得∠1=34°，根据平行线的性质即可求解．
【详解】
（1）证明：∵∠ENC+∠CMG=180°，∠CMG=∠FMN，
∴∠ENC+∠FMN=180°，
∴FG∥ED，
∴∠2=∠D，
∵AB∥CD，
∴∠3=∠D，
∴∠2=∠3；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD=180°，
∵∠A=∠1+70°，∠ACB=42°，
∴∠1+70°+∠1+42°=180°，
∴∠1=34°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠1=34°．
故答案为：34°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定定理，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
10、（1）图见解析，53，5；（2）图见解析，3．
【分析】
（1）先根据点的移动得到点，再连接点可得线段，然后测量角的度数和线段的长度即可得；
（2）先画出线段，再根据垂线的尺规作图画出垂线，然后测量的长即可得．
【详解】
解：（1）如图，线段即为所求．

此时点在点的北偏东方向上，、两点的距离是，
故答案为：53，5；
（2）如图，线段和垂线即为所求．

测得点到的距离是，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了测量角的大小、线段的长度、作线段和垂线，熟练掌握尺规作图的方法是解题关键．