初中数学沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形综合与测试习题

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形综合测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形一定是（    ）．

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

2、如图，△ ABC≌△CDA，∠BAC=80°，∠ABC=65°，则∠CAD的度数为（    ）

A．35° B．65° C．55° D．40°

3、如图，点D、E分别在∠ABC的边BA、BC上，DE⊥AB，过BA上的点F（位于点D上方）作FG∥BC，若∠AFG=42°，则∠DEB的度数为（     ）

A．42° B．48° C．52° D．58°

4、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（　　）

A．21 B．24 C．27 D．30

5、如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边中点，则下列结论不正确的是（   ）

A．B＝C B．AD⊥BC C．BAD＝CAD D．AB＝2BC

6、如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（    ）．

A．25° B．60° C．90° D．100°

7、如图，在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∠B=35°，则∠BAD=（   ）

A．110° B．70° C．55° D．35°

8、若三条线段中a＝3，b＝5，c为奇数，那么以a、b、c为边组成的三角形共有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9、如图，等腰中，，，于D，点O是线段AD上一点，点P是BA延长线上一点，若，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（    ）

A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④

10、如图，，AC，BD相交于点O．添加一个条件，不一定能使≌的是（    ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、在中，若，则_______．

2、等腰三角形的一条边长为5，周长为20，则该三角形的腰长为__________．

3、如图，在ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D在AC上，且BD＝BC，则∠BDC＝_______．

4、如图，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，则∠BDC的度数为_____．

5、如图，△ABC中，∠B＝20°，D是BC延长线上一点，且∠ACD＝60°，则∠A的度数是____________ 度．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．

（1）求证DOB≌AOC；

（2）求∠CEB的大小；

（3）如图2，OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将OCD绕点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求∠CEB的大小．

2、在ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=         度；

（2）设，．

①如图2，当点在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；

②当点在直线BC上（线段BC之外）移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

3、如图，在中，，AD是角平分线，E是AB边上一点，连接ED，CB是的平分线，ED的延长线与CF交于点F．

（1）求证：；

（2）若，，则______度．

4、如图，在中，、分别是上的高和中线，，，求的长．

5、如图，在△ABC中，AD⊥BE，∠DAC＝10°，AE是∠BAC的外角∠MAC的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，求∠AFB的度数．

6、已知：如图，，，求证：

7、 “三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB ＝∠AOB．

我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．

已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC．

求证：∠APB ＝∠AOB．

8、已知：如图，AD，BE相交于点O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分别为B，D，OA=OE．求证：△ABO≌△EDO．

9、如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，．求证：．

10、如图，在中，是的平分线，点在边上，且．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，，求的大小．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得到答案．

【详解】

如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线

∵AD=CD=BD

∴∠A=∠DCA，∠B=∠DCB

∵∠A+∠ACB+∠B=180°

∴ ∠A+∠DCA+∠DCB+∠B=180

即2∠A+2∠B=180°

∴∠A+∠B=90°

∴∠ACB=90°

∴△ABC是直角三角形

故选：B

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练运用这两个知识是关键．

2、A

【分析】

先根据三角形内角和定理求出∠ACB=35°，再根据全等三角形性质即可求出∠CAD=35°．

【详解】

解：∵∠BAC=80°，∠ABC=65°，

∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=35°，

∵△ABC≌△CDA，

∴∠CAD=∠ACB=35°．

故选：A

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质，熟知两个定理是解题关键．

3、B

【分析】

根据两直线平行，同位角相等可得，再由垂直的性质及三角形内角和定理即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查平行线及垂线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练运用平行线的性质是解题关键．

4、C

【分析】

根据题意在AB上截取BE=BC，由“SAS”可证△CBD≌△EBD，可得∠CDB=∠BDE，∠C=∠DEB，可证∠ADE=∠AED，可得AD=AE，进而即可求解．

【详解】

解：如图，在AB上截取BE＝BC，连接DE，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

在△CBD和△EBD中，

，

∴△CBD≌△EBD（SAS），

∴∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB，

∵∠C＝2∠CDB，

∴∠CDE＝∠DEB，

∴∠ADE＝∠AED，

∴AD＝AE，

∴△ABC的周长＝AD+AE+BE+BC+CD＝AB+AB+CD＝27，

故选：C．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．

5、D

【分析】

根据等腰三角形的等边对等角的性质及三线合一的性质判断．

【详解】

解：∵AB＝AC，点D是BC边中点，

∴B＝C，AD⊥BC，BAD＝CAD，

故选：D．

【点睛】

此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，三线合一，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．

6、D

【分析】

由等边三角形的性质及三角形外角定理即可求得结果．

【详解】

∵是等边三角形

∴∠C=60°

∴∠ADB=∠DBC+∠C=40°+60°=100°

故选：D

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，掌握这两个性质是关键．

7、C

【分析】

根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后利用直角三角形两锐角互余的性质解答．

【详解】

解：∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∵∠B＝35°，

∴∠BAD＝90°−35°＝55°．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

8、C

【分析】

根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形的个数．

【详解】

解：c的范围是：5﹣3＜c＜5+3，即2＜c＜8．

∵c是奇数，

∴c＝3或5或7，有3个值．

则对应的三角形有3个．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了三角形三边关系，准确分析判断是解题的关键．

9、A

【分析】

①利用等边对等角得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；④证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，得AC＝AE+CE＝AO+AP．

【详解】

解：①如图1，连接OB，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，

∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°

∵OP＝OC，

∴OB＝OC＝OP，

∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，

∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故①正确；

②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，

∵点O是线段AD上一点，

∴∠ABO与∠DBO不一定相等，

则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；

③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，

∴∠APC+∠DCP＝150°，

∵∠APO+∠DCO＝30°，

∴∠OPC+∠OCP＝120°，

∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，

∵OP＝OC，

∴△OPC是等边三角形，故③正确；

④如图2，在AC上截取AE＝PA，

∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，

∴△APE是等边三角形，

∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，

∴∠APO+∠OPE＝60°，

∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，

∴∠APO＝∠CPE，

∵OP＝CP，

在△OPA和△CPE中，

，

∴△OPA≌△CPE（SAS），

∴AO＝CE，

∴AC＝AE+CE＝AO+AP，

∴AB＝AO+AP，故④正确；

正确的结论有：①③④，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．

10、C

【分析】

直接利用直角三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项；先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项；直接利用三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项，由此即可得出答案．

【详解】

解：当添加条件是时，

在和中，，

，则选项不符题意；

当添加条件是时，

，

在和中，，

，则选项不符题意；

当添加条件是时，

在和中，，

，则选项不符题意；

当添加条件是时，不一定能使，则选项符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．

二、填空题

1、65°65度

【分析】

由三角形的内角和定理，得到，即可得到答案；

【详解】

解：在中，，

∵，

∴，

∴；

故答案为：65°．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和等于360°．

2、7.5

【分析】

根据腰长是否为5，分两类情况进行求解即可．

【详解】

解：当腰长为5时，由周长可知：底边长为10，且

故不满足三边关系，不成立，

当腰长不为5时，则底边长为5，由周长可得：腰长为

满足三边关系，故腰长为7.5，

故答案为：7.5．

【点睛】

本题主要是考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，熟练根据腰长来进行分类讨论，这是解决本题的关键．

3、72°72度

【分析】

根据AB＝AC求出∠ACB，利用BD＝BC，求出∠BDC的度数．

【详解】

解：∵AB＝AC，∠A＝36°，

∴，

∵BD＝BC，

∴∠BDC＝∠ACB＝72°，

故答案为：72°．

【点睛】

此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，熟记性质是解题的关键．

4、110°

【分析】

延长BD交AC于点E，根据三角形的外角性质计算，得到答案．

【详解】

延长BD交AC于点E，

∵∠DEC是△ABE的外角，∠A＝60°，∠B＝20°，

∴∠DEC＝∠A+∠B＝80°，

则∠BDC＝∠DEC+∠C＝110°，

故答案为：110°．

【点睛】

本题考查了三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线DE是解题的关键．

5、40

【分析】

直接根据三角形外角的性质可得结果．

【详解】

解：∵∠B＝20°，∠ACD＝60°，∠ACD是△ABC的外角，

∴∠ACD=∠B+∠A，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键

三、解答题

1、（1）见详解；（2）120°；（2）120°．

【分析】

（1）如图1，根据等边三角形的性质得到OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，则利用根据“SAS”判断△AOC≌△BOD；

（2）利用△AOC≌△BOD得到∠CAO=∠DBO，然后根据三角形内角和可得到∠AEB=∠AOB=60°，即可求出答案；

（3）如图2，与（1）的方法一样可证明△AOC≌△BOD；则∠CAO=∠DBO，然后根据三角形内角和可求出∠AEB=∠AOB=60°，即可得到答案．

【详解】

（1）证明：如图1，

∵△ODC和△OAB都是等边三角形，

∴OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，

∴∠BOD=∠AOC=120°，

在△AOC和△BOD中

∴△AOC≌△BOD；

（2）解：∵△AOC≌△BOD，

∴∠CAO=∠DBO，

∵∠1=∠2，

∴∠AEB=∠AOB=60°，

∴；

（3）解：如图2，

∵△ODC和△OAB都是等边三角形，  

∴OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，

∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，

在△AOC和△BOD中

∴△AOC≌△BOD；

∴∠CAO=∠DBO，

∵∠1=∠2，

∴∠AEB=∠AOB=60°，

∴；

即∠CEB的大小不变．

【点睛】

本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质；利用类比的方法解决（3）小题．

2、（1）90；（2），见解析；②或

【分析】

（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度数；

（2）①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论．

【详解】

解：（1）∵，

∴，

∵AB=AC，AD=AE，

∴，，

∵，

∴，

在和中

∴，

∴

（2）或．

理由：①∵，

∴．

即．

在和中

，

∴．

∴．

∴．

∴．

∵，

∴．

②如图：

∵，

∴．

即．

在和中

，

∴．

∴．

∵，，

，

．

综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法及性质是关键．

3、（1）见解析，（2）46

【分析】

（1）根据等腰三角形的性质和角平分线得到∠B＝∠ACB＝∠BCF，由AD是角平分线，得到BD＝CD，证△BDE≌△CDF即可；

（2）根据全等三角形的性质得到DE＝DF＝DA，根据求得∠DAB，进而求出∠B的度数即可．

【详解】

（1）证明：∵，

∴∠B＝∠ACB，

∵CB是的平分线，

∴∠ACB＝∠BCF，

∴∠B＝∠BCF，

∵AD是角平分线，AB＝AC，

∴BD＝CD，

∵∠BDE＝∠CDF，

∴△BDE≌△CDF（AAS）；

∴；

（2）∵△BDE≌△CDF；

∴ED＝FD，

∵,

∴ED＝AD，

∵，

∴，

∴，

∴∠B＝∠ACB＝∠BCF＝23°，

∴，

故答案为：46．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关知识进行推理证明和计算．

4、6cm

【分析】

先根据中线的定义结合已知条件求得AB，然后再运用三角形的面积公式求解即可.

【详解】

解：∵是边上的中线，

∴是的中点，

∴，

∵，

∴，

∴=.

【点睛】

本题主要考查了三角形的中线的定义以及三角形的面积公式，掌握三角形中线的定义成为解答本题的关键.

5、∠AFB＝40°．

【分析】

由题意易得∠ADC＝90°，∠ACB＝80°，然后可得，进而根据三角形外角的性质可求解．

【详解】

解：∵AD⊥BE，

∴∠ADC＝90°，

∵∠DAC＝10°，

∴∠ACB＝90°﹣∠DAC＝90°﹣10°＝80°，

∵AE是∠MAC的平分线，BF平分∠ABC，

∴，

又∵∠MAE＝∠ABF+∠AFB，∠MAC＝∠ABC+∠ACB，

∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝．

【点睛】

本题主要考查三角形外角的性质及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质及角平分线的定义是解题的关键．

6、证明见解析

【分析】

由，，结合公共边 从而可得结论.

【详解】

证明：在与中，

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明三角形全等”是解本题的关键.

7、见解析

【分析】

由，得出为等腰三角形，由外角的性质及等量代换得，再次利用外角的性质及等量代换得，即可证明．

【详解】

解：，

为等腰三角形，

，

由外角的性质得：，

，

再由外角的性质得：，

，

．

【点睛】

本题考查了等腰三角形、外角的性质、解题的关键是掌握外角的性质及等量代换的思想进行求解．

8、见解析

【分析】

利用AAS即可证明△ABO≌△EDO．

【详解】

证明：∵AB⊥BE，DE⊥AD，

∴∠B=∠D=90°．

在△ABO和△EDO中

，

∴△ABO≌△EDO．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．

9、见解析

【分析】

根据平行线的性质得出，运用“角角边”证明△AEB≌△CFD即可．

【详解】

证明：∵，

∴，

在△AEB和△CFD中，

∴△AEB≌△CFD，

∴．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用全等三角形的判定定理进行证明．

10、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【分析】

（Ⅰ）由CD是的平分线得出，由得出

从而得出，由平行线的判断即可得证；

（Ⅱ）由三角形内角和求出，由角平分线得出，由三角形内角和求出即可得出答案．

【详解】

（Ⅰ）∵CD是的平分线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（Ⅱ）∵，，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查平行线的判定以及三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键