初中数学沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形综合与测试习题

这是一份初中数学沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形综合与测试习题，共33页。试卷主要包含了如图，ABC≌DEF，点B等内容，欢迎下载使用。
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形同步测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、满足下列条件的两个三角形不一定全等的是（ ）
A．周长相等的两个三角形 B．有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形
C．三边都对应相等的两个三角形 D．两条直角边对应相等的两个直角三角形
2、如图，等腰中，，，于D，点O是线段AD上一点，点P是BA延长线上一点，若，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（ ）

A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
3、已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．10 B．15 C．17 D．19
4、如图，BD是的角平分线，，交AB于点E．若，，则的度数是（ ）

A．10° B．20° C．30° D．50°
5、如图，点F，C在BE上，AC＝DF，BF＝EC，AB＝DE，AC与DF相交于点G，则与2∠DFE相等的是（　　）

A．∠A+∠D B．3∠B C．180°﹣∠FGC D．∠ACE+∠B
6、如图，E为线段BC上一点，∠ABE=∠AED=∠ECD=90°，AE=ED，BC=20，AB=8，则BE的长度为（ ）

A．12 B．10 C．8 D．6
7、如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ）

A． B． C． D．
8、一副三角板如图放置，点A在DF的延长线上，∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，若BC//DA，则∠ABF的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
9、如图，ABC≌DEF，点B、E、C、F在同一直线上，若BC＝7，EC＝4，则CF的长是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．7
10、下列各条件中，不能作出唯一的的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在边长为4，面积为的等边中，点、分别是、边的中点，点是边上的动点，求的最小值___．

2、如图，______．

3、如图，上午9时，一艘船从小岛A出发，以12海里的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B处，若从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，则小岛B处到灯塔C的距离是______海里．

4、如图，直线ED把分成一个和四边形BDEC，的周长一定大于四边形BDEC的周长，依据的原理是____________________________________．

5、如图，在三角形ABC中，，点D为射线CB上一点，过点D作交直线AB于点E，交直线AC于点F，CG平分交DF于点G．若，则______°．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）
1、如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．
（1）求证DOB≌AOC；
（2）求∠CEB的大小；
（3）如图2，OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将OCD绕点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求∠CEB的大小．

2、如图，已知点B，F，C，E在同一直线上，AB∥DE，BF＝CE，AB＝ED，求证：∠A＝∠D．

3、已知：如图，AD，BE相交于点O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分别为B，D，OA=OE．求证：△ABO≌△EDO．

4、如图，点D在AC上，BC，DE交于点F，，，．

（1）求证：；
（2）若，求∠CDE的度数．
5、如图所示，四边形的对角线、相交于点，已知，．求证：

（1）；
（2）．
6、如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，连接DE、AC相交于点F，∠BAE＝∠CAD，AB＝AE，AD＝AC．

（1）求证：∠DEC＝∠BAE；
（2）如图2，当∠BAE＝∠CAD＝30°，AD⊥AB时，延长DE、AB交于点G，请直接写出图中除△ABE、△ADC以外的等腰三角形．
7、如图，在中，、分别是上的高和中线，，，求的长．

8、如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D在BC上，已知∠B＝70°，求∠CDE的大小．

9、已知∠POQ=120°，点A，B分别在OP，OQ上，OA＜OB，连接AB，在AB上方作等边△ABC，点D是BO延长线上一点，且AB=AD，连接AD
（1）补全图形；
（2）连接OC，求证：∠COP=∠COQ；
（3）连接CD，CD交OP于点F，请你写出一个∠DAB的值，使CD=OB+OC一定成立，并证明


10、如图，是等边三角形，，分别交AB，AC于点D，E．

（1）求证：是等边三角形；
（2）点F在线段DE上，点G在外，，，求证：．

-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
根据全等三角形的判定方法求解即可．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS对各选项进行一一判断即可．
【详解】
解：A、周长相等的两个三角形不一定全等，符合题意；
B、有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形根据三边对应相等判定定理可判定全等，不符合题意；
C、三边都对应相等的两个三角形根据三边对应相等判定定理可判定全等，不符合题意；
D、两条直角边对应相等的两个直角三角形根据SAS判定定理可判定全等，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．
2、A
【分析】
①利用等边对等角得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；④证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，得AC＝AE+CE＝AO+AP．
【详解】
解：①如图1，连接OB，

∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故①正确；
②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，
则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形，故③正确；
④如图2，在AC上截取AE＝PA，

∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AO+AP，
∴AB＝AO+AP，故④正确；
正确的结论有：①③④，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．
3、C
【分析】
等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】
解：①当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．
4、B
【分析】
由外角的性质可得∠ABD＝20°，由角平分线的性质可得∠DBC＝20°，由平行线的性质即可求解.
【详解】
解：（1）∵∠A＝30°，∠BDC＝50°，∠BDC＝∠A＋∠ABD，
∴∠ABD＝∠BDC−∠A＝50°−30°＝20°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABD＝20°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC＝20°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活应用这些性质解决问题是解决本题的关键．
5、C
【详解】
由题意根据等式的性质得出BC＝EF，进而利用SSS证明△ABC与△DEF全等，利用全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DFE，最后利用三角形内角和进行分析解答．
【分析】
解：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ACB＝∠DFE，
∴2∠DFE＝180°﹣∠FGC，
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，其中全等三角形的判定方法有：SSS；SAS；ASA；AAS；以及HL（直角三角形的判定方法）．
6、A
【分析】
利用角相等和边相等证明，利用全等三角形的性质以及边的关系，即可求出BE的长度．
【详解】
解：由题意可知：∠ABE=∠AED=∠ECD=90°，
，，
，
在和中，

，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题主要是考查了全等三角形的判定和性质，熟练通过已知条件证明三角形全等，利用全等性质及边的关系，来求解未知边的长度，这是解决本题的主要思路．
7、C
【分析】
根据题意，可知仍可辨认的有1条边和2个角，且边为两角的夹边，即可根据来画一个完全一样的三角形
【详解】
根据题意可得，已知一边和两个角仍保留，且边为两角的夹边，
根据两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，即
故选C
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形的判定方法是解题的关键．
8、A
【分析】
先求出∠EFD=60°，∠ABC=45°，由BC∥AD，得到∠EFD=∠FBC=60°，则∠ABF=∠FBC-∠ABC=15°．
【详解】
解：∵∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，
∴∠EFD=60°，∠ABC=45°，
∵BC∥AD，
∴∠EFD=∠FBC=60°，
∴∠ABF=∠FBC-∠ABC=15°，
故选A．

【点睛】
本题主要考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟知直角三角形两锐角互余是解题的关键．
9、B
【分析】
根据全等三角形的性质可得，根据即可求得答案．
【详解】
解：ABC≌DEF，

点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝4，

故选B
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
10、B
【分析】
根据三角形全等的判定及三角形三边关系即可得出结果．
【详解】
解：A、，不能组成三角形；
B、根据不可以确定选项中条件能作出唯一三角形；
C、根据可以确定选项中条件能作出唯一三角形；
D、根据可以确定选项中条件能作出唯一三角形；
故答案为：B．
【点睛】
本题考查确定唯一三角形所需要的条件及三角形三边关系，解题关键在于对全等判定条件的理解．
二、填空题
1、
【分析】
连接，交于点，连接，则的最小值为，再由已知求出的长即可．
【详解】
解：连接，交于点，连接，
是等边三角形，是边中点，

点与点关于对称，
，
，
的最小值为，
是的中点，
，
，的面积为，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，将军饮马河原理，熟练掌握等边三角形的性质，灵活运用将军饮马河原理是解题的关键．
2、180度
【分析】
如图，连接 记的交点为 先证明再利用三角形的内角和定理可得答案.
【详解】
解：如图，连接 记的交点为





故答案为：
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键.
3、20
【分析】
根据题干所给的角的度数，易证是等腰三角形，而AB的长易求，即可根据等腰三角形的性质，得出BC的值．
【详解】
解：据题意得，．
∵，即，
∴，
∴．
由题意可知这艘船行驶的时间为（小时）．
∴（海里），
∴（海里）．
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角的问题，解题的关键是由已知得到三角形是等腰三角形，要学会把实际问题转化为数学问题，再用数学知识解决实际问题．
4、三角形两边之和大于第三边
【分析】
表示出和四边形BDEC的周长，再结合中的三边关系比较即可．
【详解】
解：的周长=
四边形BDEC的周长=
∵在中
∴
即的周长一定大于四边形BDEC的周长，
∴依据是：三角形两边之和大于第三边；
故答案为三角形两边之和大于第三边
【点睛】
本题考查了三角形三边关系定理，关键是熟悉三角形两边之和大于第三边的知识点．
5、80
【分析】
先求解 再求解 再利用三角形的外角的性质可得答案.
【详解】
解： ，，

，

，


CG平分，


故答案为：
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练的运用平行线的性质探究角之间的关系是解本题的关键.
三、解答题
1、（1）见详解；（2）120°；（2）120°．
【分析】
（1）如图1，根据等边三角形的性质得到OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，则利用根据“SAS”判断△AOC≌△BOD；
（2）利用△AOC≌△BOD得到∠CAO=∠DBO，然后根据三角形内角和可得到∠AEB=∠AOB=60°，即可求出答案；
（3）如图2，与（1）的方法一样可证明△AOC≌△BOD；则∠CAO=∠DBO，然后根据三角形内角和可求出∠AEB=∠AOB=60°，即可得到答案．
【详解】
（1）证明：如图1，

∵△ODC和△OAB都是等边三角形，
∴OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，
∴∠BOD=∠AOC=120°，
在△AOC和△BOD中

∴△AOC≌△BOD；
（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AOB=60°，
∴；
（3）解：如图2，

∵△ODC和△OAB都是等边三角形，
∴OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中

∴△AOC≌△BOD；
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AOB=60°，
∴；
即∠CEB的大小不变．
【点睛】
本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质；利用类比的方法解决（3）小题．
2、见解析
【分析】
根据平行线的性质得出∠B＝∠E，进而利用SAS证明，利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】
证明：，
，
即．
，
．
在和中，
，

．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键．
3、见解析
【分析】
利用AAS即可证明△ABO≌△EDO．
【详解】
证明：∵AB⊥BE，DE⊥AD，
∴∠B=∠D=90°．
在△ABO和△EDO中
，
∴△ABO≌△EDO．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
4、
（1）证明见解析；
（2）∠CDE=20°．
【分析】
（1）由“SAS”可证△ABC≌△DBE；
（2）由全等三角形的性质可得∠C=∠E，由三角形的外角性质可求解．
（1）
证明：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，
即：∠ABC=∠DBE，
在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS）；
（2）
解：由（1）可知：△ABC≌△DBE，
∴∠C=∠E，
∵∠DFB=∠C+∠CDE，
∠DFB=∠E+∠CBE，
∴∠CDE=∠CBE，
∵∠ABD=∠CBE=20°，
∴∠CDE=20°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，证明三角形全等是解题的关键．
5、
（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据全等三角形的判定定理可直接证明；
（2）根据（1）中结论可得，再由等角对等边得出，运用等式的性质进行计算即可证明．
（1）
解：在与中，
，
∴；
（2）
由（1）可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
【点睛】
题目主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
6、（1）见解析；（2）△AEF、△ADG、△DCF、△ECD
【分析】
（1）根据已知条件得到∠BAE＝∠CAD，根据全等三角形的性质得到∠AED＝∠ABC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠AEB，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】
证明：（1）如图1，∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠CAE＝∠CAD＋∠CAE，
即∠BAC＝∠EAD，
在△AED与△ABC中，

∴△AED≌△ABC，
∴∠AED＝∠ABC，
∵∠BAE＋∠ABC＋∠AEB＝180°，
∠CED＋∠AED＋∠AEB＝180°，
∵AB＝AE，
∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠BAE＋2∠AEB＝180°，
∠CED＋2∠AEB＝180°，
∴∠DEC＝∠BAE；
（2）解：如图2，
①∵∠BAE＝∠CAD＝30°，
∴∠ABC＝∠AEB＝∠ACD＝∠ADC＝75°，
由（1）得：∠AED＝∠ABC＝75°，
∠DEC＝∠BAE＝30°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∴∠CAE＝30°，
∴∠AFE＝180°−30°−75°＝75°，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形，
②∵∠BEG＝∠DEC＝30°，∠ABC＝75°，
∴∠G＝45°，
在Rt△AGD中，∠ADG＝45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
③∠CDF＝75°−45°＝30°，
∴∠DCF＝∠DFC＝75°，
∴△DCF是等腰直角三角形；
④∵∠CED＝∠EDC＝30°，
∴△ECD是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7、6cm
【分析】
先根据中线的定义结合已知条件求得AB，然后再运用三角形的面积公式求解即可.
【详解】
解：∵是边上的中线，
∴是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴=.
【点睛】
本题主要考查了三角形的中线的定义以及三角形的面积公式，掌握三角形中线的定义成为解答本题的关键.
8、
【分析】
先由旋转的性质证明再利用等边对等角证明从而可得答案.
【详解】
解： 把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，∠B＝70°，



【点睛】
本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握“旋转前后的对应角相等与等边对等角”是解本题的关键.
9、（1）见解析；（2）见解析；（3）∠DAB=150°，见解析
【分析】
（1）依据题意作出相应图形即可；
（2）在BQ上截取BE=AO，连接CE，由等边三角形的性质得，CA=CB，∠ACB=60°
由同角的补角相等得∠CAO=∠CBE，由SAS证得△CAO和△CBE全等，即可得证；
（3）由∠DAB=150°， DA=AB，得∠ADB=∠ABD=15°，由等边三角形性质，可得∠CAB=∠CBA=∠ACB =60°，故∠CAD=150°，由等边对等角得∠ADC=∠ACD=15°，由此∠DBC=∠DCB=75°，由等角对等边得DB=DC 再由∠POQ=120°，∠BDC=30°，得∠DFO=90°，等量代换即可得证.
【详解】
解：（1）如图所示：

（2）证明如下：
在BQ上截取BE=AO，连接CE，

∵△ABC为等边三角形，
∴CA=CB，∠ACB=60°
∵∠POQ=120°，
∴∠CAO+∠CBO=180°
∵∠CBO+∠CBE=180°，
∴∠CAO=∠CBE，
在△CAO和△CBE中，，
∴△CAO≌△CBE（SAS），
∴CO=CE，∠COA=∠CEB，
∴∠COE=∠CEB，
∴∠COP=∠COQ；
（3）∠DAB=150°，
如图：

∵∠DAB=150°， DA=AB，
∴∠ADB=∠ABD=15°
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=∠CBA=∠ACB =60°，
∴∠CAD=150°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD=15°，
∴∠DBC=∠DCB=75°，
∴DB=DC，
∵∠POQ=120°，∠BDC=30°，
∴∠DFO=90°
∵AD=AC，
∴DF=FC
∴DO=OC
∵DB=DO+OB，
∴DB=CO+OB，
∴CD= OB + OC.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，以及添加辅助线构造全等三角形，掌握相应的判定和性质是解答此题的关键.
10、（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1）由题意易得，然后根据平行线的性质可得，进而问题可求证；
（2）连接AG，由题意易得AB=AC，然后可知△ABF≌△ACG，则有AF=AG，进而可得∠FAG=60°，最后问题可求证．
【详解】
证明：（1）∵是等边三角形，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）连接AG，如图所示：

∵是等边三角形，
∴，AB=AC，
∵，，
∴△ABF≌△ACG（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
【点睛】
本题主要考查全等三角形及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形及等边三角形的性质与判定是解题的关键．