2020-2021学年第十四章 三角形综合与测试练习

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沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专项测评 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、根据下列已知条件，不能画出唯一的是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，2、三个等边三角形的摆放位置如图所示，若，则的度数为　　A． B． C． D．3、已知三角形的两边长分别为2cm和3cm，则第三边长可能是（    ）A．6cm B．5cm C．3cm D．1cm4、如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5、如图，∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，则∠BDC的大小为（    ）A． B． C． D．6、如图，在中，、分别平分、，过点作直线平行于，分别交、于点、，当大小变化时，线段和的大小关系是　　A． B． C． D．不能确定7、下列各组线段中，能构成三角形的是（    ）A．2、4、7 B．4、5、9 C．5、8、10 D．1、3、68、等腰三角形的一个顶角是80°，则它的底角是（    ）．A．40° B．50° C．60° D．70°9、如图，，点E在线段AB上，，则的度数为（　　）A．20° B．25° C．30° D．40°10、下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ）A．3，4，7 B．3，4，8 C．3，4，5 D．3，3，7第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在△ABC 和△DBC，BA=BD中，请你添加一个条件使得△ABC ≌△DBC，这个条件可以是________（写出一个即可）．2、如图，方格纸中是9个完全相同的正方形，则∠1+∠2的值为 _____．3、如图所示，将一个顶角∠B＝30°的等腰三角形ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到等腰三角形AB'C'，使得点B'，A，C在同一条直线上，则旋转角α＝_____度．4、已知a，b，c是的三边长，满足，c为奇数，则______．5、如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则_______．（用含的式子表示）三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、如图，，，求证：．2、如图，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BD＝CD．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）求证：AE＝AF．3、如图，是的中线，分别过点、作及其延长线的垂线，垂足分别为、．（1）求证：；（2）若的面积为8，的面积为6，求的面积．4、如图，在△ABC中，AD⊥BE，∠DAC＝10°，AE是∠BAC的外角∠MAC的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，求∠AFB的度数．5、如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边．求证．6、如图，为等边三角形，D是BC中点，，CE是的外角的平分线．求证：．7、如图，已知点B，F，C，E在同一直线上，AB∥DE，BF＝CE，AB＝ED，求证：∠A＝∠D．8、如图，在等边△ABC中，点P是BC边上一点，∠BAP＝（30°＜＜60°），作点B关于直线AP的对称点D，连接DC并延长交直线AP于点E，连接BE．（1）依题意补全图形，并直接写出∠AEB的度数；（2）用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明．分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质……②通过截长补短，利用60°角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的．请根据上述分析过程，完成解答过程．9、已知：如图，，，求证：10、如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别同时从A、B、C以同样的速度沿AB、BC、CA方向运动，当点D运动到点B时，三个点都停止运动．（1）在运动过程中△DEF是什么形状的三角形，并说明理由；（2）若运动到某一时刻时，BE=4，∠DEC=150°，求等边△ABC的周长； -参考答案-一、单选题1、B【分析】根据三角形存在的条件去判断．【详解】∵，，，满足ASA的要求，∴可以画出唯一的三角形，A不符合题意；∵，，，∠A不是AB，BC的夹角，∴可以画出多个三角形，B符合题意；∵，，，满足SAS的要求，∴可以画出唯一的三角形，C不符合题意；∵，，，AB最大，∴可以画出唯一的三角形，D不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了三角形的存在性，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．2、A【分析】利用三个平角的和减去中间三角形的内角和，再减去三个的角即可．【详解】解：，，，，，，故选：．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．3、C【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【详解】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：3-2＜x＜3+2，解得：1＜x＜5，只有C选项在范围内．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．4、C【分析】由全等三角形的判定及性质对每个结论推理论证即可．【详解】∵∴∴又∵，∴∴故①正确∵∴由三角形外角的性质有则故②正确作于，于，如图所示：则°，在和中，，∴，∴，在和中，∴，∴∴平分故④正确假设平分则∵∴即由④知又∵为对顶角∴∴∴∴在和中，∴即AB=AC又∵故假设不符，故不平分故③错误．综上所述①②④正确，共有3个正确．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，灵活的选择全等三角形的判定的方法是解题的关键，从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角，有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路．5、A【分析】根据题意设，根据三角形内角和公式定理，进而表示出，进而根据三角形内角和定理根据即可求解【详解】解：∵∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，设，∴即故选A【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．6、C【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可得，则，同理可得，则，可得答案．【详解】解：，，平分，，，，同理，，即．故选：C【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理，平行线的性质定理，角平分线的定义是解题的关键．7、C【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．【详解】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．A、，不能构成三角形，此项不符题意；B、，不能构成三角形，此项不符题意；C、，能构成三角形，此项符合题意；D、，不能构成三角形，此项不符题意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．8、B【分析】依据三角形的内角和是180°以及等腰三角形的性质即可解答．【详解】解：（180°-80°）÷2=100°÷2=50°；答：底角为50°．故选：B．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理及等腰三角形的两个底角相等的特点．9、C【分析】根据全等三角形的性质可证得BC=CE，∠ACB=∠DCE即∠ACD=∠BCE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠B=∠BEC和∠BCE即可．【详解】解：∵，∴BC=CE，∠ACB=∠DCE，∴∠B=∠BEC，∠ACD=∠BCE，∵，∴∠ACD=∠BCE=180°－2×75°=30°，故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．10、C【分析】根据组成三角形的三边关系依次判断即可．【详解】A、 3，4，7中3+4=7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．B、 3，4，8中3+4＜8，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．C、 3，4，5中任意两边之和都大于第三边，任意两边之差都小于第三边，故能组成三角形，符合题意，选项正确．D、 3，3，7中3+3＜7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．二、填空题1、（答案不唯一）【分析】由已知有BA=BD，BC边公共，由三角形全等的判定定理，可以添加这两边的夹角相等或第三边相等，均可使得△ABC ≌△DBC．【详解】添加CA=CD，则由边边边的判定定理即可得△ABC ≌△DBC故答案为：CA=CD（答案不唯一）【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟悉全等三角形的几个判定定理是解题的关键．2、【分析】如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得出答案．【详解】解：如图，在和中，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．3、105【分析】利用等腰三角形的性质求出∠BAC，可得结论．【详解】解：∵BC＝BA，∠B＝30°，∴∠C＝∠BAC＝（180°﹣30°）＝75°，∴旋转角α＝180°﹣∠BAC＝105°，故答案为：105．【点睛】本题考查了等腰三角形性质以及旋转的角度问题，解题的关键是理解旋转角就是对应线段的夹角．4、7【分析】绝对值与平方的取值均0，可知，，可得a、b的值，根据三角形三边关系求出c的取值范围，进而得到c的值．【详解】解：，由三角形三边关系可得为奇数故答案为：7．【点睛】本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定所求边长的取值范围．5、【分析】由旋转的性质可得∠DAB=，AD=AB，∠B，进而即可求解．【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，∴∠DAB=，AD=AB，∠B，∵∠B=，∴，故答案是：．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．三、解答题1、证明过程见解析【分析】先证明，得到，，再证明，即可得解；【详解】由题可得，在和中，，∴，∴，，又∵，∴，在和中，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键．2、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据CE⊥AB，BF⊥AC就可以得出∠BED=∠CFD=90°，就可以由AAS得出结论；（2）由（1）得DE=DF，就可以得出BF=CE，由AAS就可以得出△AFB≌△AEC就可以得出结论．【详解】证明：（1）∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS）；（2）∵△BED≌△CFD，∴DE＝DF，∴BD+DF＝CD+DE，∴BF＝CE，在△ABF和△ACE中，，∴△ABF≌△ACE（AAS），∴AE＝AF．【点睛】本题考查了垂直的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．3、（1）见解析（2）的面积为20．【分析】（1）根据已知条件得到、，然后利用全等三角形的判定，进行证明即可．（2）分别根据和的面积，用CF表示AF、DF，通过，得到，，用CF表示出AE的长，最后利用面积公式求解即可．（1）（1）解：由题意可知： 是的中线 在与中 ．（2）解：的面积为8，的面积为6．，即 ，即 由（1）可知：， ．【点睛】本题主要是考查了全等三角形的判定和性质，熟练根据条件证明三角形全等，利用其性质，证明对应边相等，这是解决本题的关键．4、∠AFB＝40°．【分析】由题意易得∠ADC＝90°，∠ACB＝80°，然后可得，进而根据三角形外角的性质可求解．【详解】解：∵AD⊥BE，∴∠ADC＝90°，∵∠DAC＝10°，∴∠ACB＝90°﹣∠DAC＝90°﹣10°＝80°，∵AE是∠MAC的平分线，BF平分∠ABC，∴，又∵∠MAE＝∠ABF+∠AFB，∠MAC＝∠ABC+∠ACB，∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质及角平分线的定义是解题的关键．5、见解析【分析】由和是顶角相等的等腰三角形，得出知、、，证即可得证．【详解】解：和是顶角相等的等腰三角形，得出，，，，在和中，，，．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与全等三角形的判定和性质．6、证明见解析.【分析】过D作DG∥AC交AB于G，由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDG＝∠BGD＝60°，于是得到△BDG是等边三角形，再证明△AGD≌△DCE即可得到结论.【详解】证明：过D作DG∥AC交AB于G，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，又∵DG∥AC，∴∠BDG＝∠BGD＝60°，∴△BDG是等边三角形，∠AGD＝180°−∠BGD＝120°，∴DG＝BD，∵点D为BC的中点，∴BD＝CD，∴DG＝CD，∵EC是△ABC外角的平分线，∴∠ACE＝（180°−∠ACB）＝60°，∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝120°＝∠AGD，∵AB＝AC，点D为BC的中点，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，又∵∠BDG＝60°，∠ADE＝60°，∴∠ADG＝∠EDC＝30°，在△AGD和△ECD中，，∴△AGD≌△ECD（ASA）．∴AD＝DE．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．7、见解析【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠E，进而利用SAS证明，利用全等三角形的性质解答即可．【详解】证明：，，即．，．在和中，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键．8、（1）图见解析，∠AEB＝60°；（2）AE＝BE＋CE，证明见解析【分析】（1）依题意补全图形，如图所示：然后连接AD，先求出，然后根据轴对称的性质得到，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB，求出，即可求出，再由进行求解即可；（2）如图，在AE上截取EG＝BE，连接BG．先证明△BGE是等边三角形，得到BG＝BE＝EG，∠GBE＝60°． 再证明∠ABG＝∠CBE，即可证明△ABG≌△CBE得到AG＝CE，则AE＝EG＋AG＝BE＋CE．【详解】解：（1）依题意补全图形，如图所示：连接AD，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC，∵，∴，∵B、D关于AP对称，∴，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB，∴，∴，∴，∴∴∠AEB＝60°． （2）AE＝BE＋CE． 证明：如图，在AE上截取EG＝BE，连接BG．∵∠AEB＝60°，∴△BGE是等边三角形，∴BG＝BE＝EG，∠GBE＝60°． ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∴∠ABG＋∠GBC＝∠GBC＋∠CBE＝60°，∴∠ABG＝∠CBE． 在△ABG和△CBE中，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG＝CE，∴AE＝EG＋AG＝BE＋CE．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键9、证明见解析【分析】由，，结合公共边 从而可得结论.【详解】证明：在与中， 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明三角形全等”是解本题的关键.10、（1）△DEF是等边三角形，理由见解析（2）等边△ABC的周长为【分析】（1）利用△DEF是等边三角形的性质以及三点的运动情况，求证和，进而证明，最后即可说明△DEF是等边三角形．（2）利用题（1）的条件即∠DEC=150°，得出是含角的直角三角形，求出，最后求解出等边△ABC的长，最后即可求出等边△ABC的周长．【详解】（1）解：△DEF是等边三角形，证明：由点D、E、F的运动情况可知：，△ABC是等边三角形，,，,，在与中， ，，同理可证，进而有，，故△DEF是等边三角形．（2）解：由（1）可知△DEF是等边三角形，且，，，，，， 在中，，，， ，等边△ABC的周长为．【点睛】本题主要是考查了全等三角形的性质及判定、等边三角形的判定及性质和含角直角三角形的性质，熟练利用等边三角形的性质，找到相等条件，进而证明全等三角形，综合利用全等三角形以及含角直角三角形的性质，求出对应边长，是解决该题的关键．