选择性必修 第二册5 数学归纳法第2课时导学案

这是一份选择性必修 第二册5 数学归纳法第2课时导学案，共10页。学案主要包含了用数学归纳法证明不等式，用数学归纳法证明整除问题，用数学归纳法证明几何问题等内容，欢迎下载使用。
一、用数学归纳法证明不等式
例1 用数学归纳法证明：不等式1＋eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,\r(3))＋…＋eq \f(1,\r(n))eq \r(k)＋eq \f(1,\r(k＋1))＝eq \f(\r(k2＋k)＋1,\r(k＋1))>eq \f(\r(k2)＋1,\r(k＋1))＝eq \r(k＋1).
∴当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N＋且n>1都成立．
反思感悟 用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点
跟踪训练1 求证：当n∈N＋，n≥2时，eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,2n)>eq \f(13,24).
证明 (1)当n＝2时，eq \f(1,2＋1)＋eq \f(1,2＋2)＝eq \f(7,12)＝eq \f(14,24)>eq \f(13,24)，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，
即eq \f(1,k＋1)＋eq \f(1,k＋2)＋…＋eq \f(1,2k)>eq \f(13,24)，
那么当n＝k＋1时，
eq \f(1,k＋2)＋…＋eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1)＋eq \f(1,2k＋2)
＝eq \f(1,k＋1)＋eq \f(1,k＋2)＋…＋eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1)＋eq \f(1,2k＋2)－eq \f(1,k＋1)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k＋1)＋\f(1,k＋2)＋…＋\f(1,2k)))＋eq \f(1,2k＋1)－eq \f(1,2k＋2)>eq \f(13,24)＋eq \f(1,2k＋12k＋2)>eq \f(13,24)，
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
根据(1)(2)可知，n∈N＋，n≥2时不等式成立．
二、用数学归纳法证明整除问题
例2 证明：当n∈N＋时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．
证明 (1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64能被64整除．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64.
故f(k＋1)也能被64整除．
综合(1)(2)，知当n∈N＋时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当n＝k＋1时，代数式可被除数整除，一般利用构造法，构造出含有除数及n＝k时的代数式，根据归纳假设即可证明．
跟踪训练2 用数学归纳法证明：3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数．
证明 (1)当n＝1时，3×53＋24＝391＝17×23是17的倍数．
(2)假设3×52k＋1＋23k＋1＝17m(m是整数)，
则当n＝k＋1时，3×52(k＋1)＋1＋23(k＋1)＋1＝3×52k＋1＋2＋23k＋1＋3＝3×52k＋1×25＋23k＋1×8
＝(3×52k＋1＋23k＋1)×8＋17×3×52k＋1
＝8×17m＋3×17×52k＋1
＝17(8m＋3×52k＋1)，
∵m，k都是整数，∴17(8m＋3×52k＋1)能被17整除，
即当n＝k＋1时，3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数．
综合(1)(2)知，对任意正整数3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数．
三、用数学归纳法证明几何问题
例3 求证平面上凸n边形(n∈N＋，n≥4)的对角线的条数为f(n)＝eq \f(1,2)n(n－3)．
证明 (1)当n＝4时，f(4)＝eq \f(1,2)×4×(4－3)＝2，平面上四边形有2条对角线，命题成立．
(2)假设n＝k(k≥4，k∈N＋)时命题成立，即平面上凸k边形A1A2…Ak共有f(k)＝eq \f(1,2)k(k－3)条对角线，则当n＝k＋1时，即平面上凸k＋1边形在k边形的基础上增加了1个顶点Ak＋1，如图所示，这时新增加的对角线是Ak＋1A2，Ak＋1A3，…，Ak＋1Ak－1以及A1Ak，共增加了(k＋1－3)＋1＝(k－1)条．
因为eq \f(1,2)k(k－3)＋(k－1)＝eq \f(1,2)(k2－k－2)＝eq \f(1,2)(k＋1)(k－2)＝eq \f(1,2)(k＋1)[(k＋1)－3]＝f(k＋1)，
所以n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)可知，对于任意n≥4，n∈N＋，命题成立．
反思感悟 (1)利用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述准确清楚，一定要讲清从n＝k到n＝k＋1时，新增加量是多少．一般地，证明第二步时，常用的方法是加一法．即在原来k的基础上，再增加1个，也可以从k＋1个中分出1个来，剩下的k个利用假设．
(2)对于本题，当n＝k＋1时，对角线条数的增量k－1可用画图的方法去找，也可由f(n)＝eq \f(1,2)n(n－3)，得f(k＋1)－f(k)＝k－1分析出，再结合图形说明为什么从“n＝k”到“n＝k＋1”时，对角线条数的增量为k－1.
跟踪训练3 平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点．求证：这n个圆把平面分成n2－n＋2个部分．
证明 (1)当n＝1时，一个圆把平面分成两部分，12－1＋2＝2，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时命题成立，k个圆把平面分成k2－k＋2个部分．当n＝k＋1时，这k＋1个圆中的k个圆把平面分成k2－k＋2个部分，第k＋1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在部分分成了两个部分，这时共增加了2k个部分，即k＋1个圆把平面分成(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分，即命题也成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N＋命题都成立．
1.知识清单：
(1)利用数学归纳法证明不等式．
(2)利用数学归纳法证明整除问题．
(3)利用数学归纳法证明几何问题．
2．方法归纳：数学归纳法．
3．常见误区：从n＝k到n＝k＋1时，注意两边项数的变化．
1．用数学归纳法证明1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2n－1)1)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋eq \f(1,2)eq \f(5,2)，…，由此猜测第n个不等式为__________________(n∈N＋)．
答案 1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2n－1)>eq \f(n,2)
课时对点练
1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步验证中的起始值n0应取( )
A．2 B．3 C．5 D．6
答案 C
解析 当n取1,2,3,4时，2n>n2＋1均不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，故第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.
2．已知8>7,16>9,32>11，…，则有( )
A．2n>2n＋1 B．2n＋1>2n＋1
C．2n＋2>2n＋5 D．2n＋3>2n＋7
答案 C
解析 由8>7,16>9,32>11可知
第一项为8>7⇒21＋2>2×1＋5，
第二项为16>9⇒22＋2>2×2＋5，
第三项为32>11⇒23＋2>2×3＋5，
以此类推第n项为2n＋2>2n＋5.
3．用数学归纳法证明“5n－2n(n∈N＋)能被3整除”的过程中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为( )
A．5(5k－2k)＋3×2k B．(5k－2k)＋4×5k－2k
C．3(5k－2k) D．2(5k－2k)－3×5k
答案 A
解析 假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，
即5k－2k能被3整除，
则当n＝k＋1时，
5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k
＝5×5k－5×2k＋5×2k－2×2k
＝5(5k－2k)＋3×2k.
4．(多选)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，下列关于步骤(2)的说法正确的是( )
A．假设当n＝k(k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立
B．假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明当n＝k＋2时命题也成立
C．假设当n＝2k－1(k∈N＋)时命题成立，证明当n＝2k时命题也成立
D．假设当n＝2k－1(k∈N＋)时命题成立，证明当n＝2k＋1时命题也成立
答案 BD
解析 因为n为正奇数，所以步骤(2)应为假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，此时n＝k＋2也为正奇数；也可为假设当n＝2k－1(k∈N＋)时命题成立，此时n＝2k＋1也为正奇数．故B，D正确．
5．(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立．则下列命题总成立的是( )
A．若f(6)