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2021学年5 简单复合函数的求导法则学案设计
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这是一份2021学年5 简单复合函数的求导法则学案设计，共11页。学案主要包含了复合函数的概念，求复合函数的导数，复合函数的导数的应用等内容，欢迎下载使用。
导语
法国著名哲学家、数学家、物理学家笛卡尔说过：“我只会做两件事，一件是简单的事，一件是把复杂的事情变简单”．我们学习了较简单的基本初等函数，还可以把两个或几个函数进行“复合”，怎样复合呢？那么，对于复合后的函数如何求导呢？我们是否也有简单的方法？
一、复合函数的概念
问题1 函数y＝(3x＋2)2是哪些函数复合成的？
提示 是由一次函数u＝3x＋2和二次函数y＝u2复合而成的，即y＝f(u)＝(3x＋2)2.
知识梳理
复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量．
注意点：
复合函数中，把函数y＝f(u)称为外层函数，把u＝φ(x)称为内层函数，内层函数和外层函数通常为基本初等函数．
例1 函数y＝sin(2x－1)如果看成复合函数y＝f(φ(x))，下列式子正确的是( )
A．φ(x)＝2x B．φ(x)＝sin x
C．φ(x)＝2x－1 D．φ(x)＝sin(2x－1)
答案 C
解析 y＝sin(2x－1)是由函数y＝sin u和u＝2x－1复合而成，可见φ(x)＝2x－1.
反思感悟 判断复合函数的复合关系的一般方法
从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本初等函数为主体形式，各层的中间变量结构也是基本初等函数关系．这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本初等函数．
跟踪训练1 (多选)下列哪些函数是复合函数( )
A．y＝lg2(2x＋1) B．y＝2x2－eq \f(1,x)
C．y＝2ln x D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))
答案 ACD
二、求复合函数的导数
问题2 (1)你能分别求出y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，g(x)＝3x＋2的导数吗？
提示 y′＝(9x2＋12x＋4)′＝18x＋12，f′(u)＝2u，g′(x)＝3.
(2)上面问题(1)中导数有何关系？
提示 y′＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x)．
知识梳理
复合函数的求导法则
复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为：y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)，其中u＝φ(x)．
注意点：
(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构．
(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则．
(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导．
例2 求下列函数的导数：
(1)y＝(4－3x)2；
(2)y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))；
(3)y＝ln(4x－1)；
(4)y＝.
解 (1)设y＝u2，u＝4－3x，
则y′u＝2u，u′x＝－3，
于是y′x＝y′u·u′x＝－6(4－3x)＝18x－24，
即y′＝18x－24.
(2)设y＝cs u，u＝2x－eq \f(π,4)，
则y′u＝－sin u，u′x＝2，
于是y′x＝y′u·u′x＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，
即y′＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))).
(3)设y＝ln u，u＝4x－1，
则y′u＝eq \f(1,u)，u′x＝4，
于是y′x＝y′u·u′x＝eq \f(4,4x－1)，
即y′＝eq \f(4,4x－1).
(4)设y＝eu，u＝x2，
则y′u＝eu，u′x＝2x，
于是y′x＝y′u·u′x＝·2x，
即y′＝
延伸探究 求函数y＝eq \r(4,\f(1,3x＋1))的导数．
解
∴y′＝(3x＋1)′＝
反思感悟 求复合函数的导数的步骤
跟踪训练2 求下列函数的导数：
(1)y＝eq \f(1,\r(1－2x))；
(2)y＝5lg2(1－x)；
(3)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6))).
解 (1) y＝
设y＝，u＝1－2x，
则y′x＝()′(1－2x)′
＝·(－2)
(2)函数y＝5lg2(1－x)可看作函数y＝5lg2u和u＝1－x的复合函数，
所以y′x＝y′u·u′x＝5(lg2u)′·(1－x)′
＝eq \f(－5,uln 2)＝eq \f(5,x－1ln 2).
(3) 设y＝sin u，u＝4x＋eq \f(π,6)，
则y′x＝(sin u)′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6)))′＝cs u·4＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6))).
三、复合函数的导数的应用
例3 (1)某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝eq \r(10t)，则在t＝40 min时的降雨强度为( )
A．20 mm B．400 mm
C.eq \f(1,2) mm/min D.eq \f(1,4) mm/min
答案 D
解析 f′(t)＝eq \f(1,2\r(10t))·10＝eq \f(5,\r(10t))，
∴f′(40)＝eq \f(5,\r(400))＝eq \f(1,4).
(2)曲线y＝f(x)＝esin x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为eq \r(2)，则直线l的方程为________________________________________________________________________．
答案 x－y＋3＝0或x－y－1＝0
解析 设u＝sin x，
则f′(x)＝(esin x)′＝(eu)′(sin x)′＝cs xesin x.
f′(0)＝1.
则切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行可设直线l的方程为x－y＋c＝0.
两平行线间的距离d＝eq \f(|c－1|,\r(2))＝eq \r(2)⇒c＝3或c＝－1.
故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.
反思感悟 复合函数应用问题的关注点
(1)正确求导是关键．
(2)涉及切线问题，若切点已知，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．
(3)实际问题中，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．
跟踪训练3 (1)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是__________．
答案 (－ln 2,2)
解析 依题意，设P点坐标为(x0，y0)，
又y′＝－e－x，
所以＝－2，
解得x0＝－ln 2，y0＝2，即P(－ln 2,2)．
(2)已知某质点的位移s与时间t满足s＝tet－1，则质点在t＝1时的瞬时速度为________．
答案 2
解析 s′＝(t＋1)et－1，当t＝1时，s′(1)＝2.
1.知识清单：
(1)复合函数的概念．
(2)复合函数的求导法则．
(3)复合函数的导数的应用．
2.方法归纳：转化法．
3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．
1．(多选)下列哪些函数是复合函数( )
A．y＝xln x B．y＝(3x＋6)2
C．y＝esin x D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))
答案 BCD
解析 A不是复合函数；BCD都是复合函数．
2．已知f(x)＝sin 2x＋e2x，则f′(x)等于( )
A．2cs 2x＋2e2x B．cs 2x＋e2x
C．2sin 2x＋2e2x D．sin 2x＋e2x
答案 A
解析 根据题意，f(x)＝sin 2x＋e2x，
则f′(x)＝2cs 2x＋2e2x.
3．若f(x)＝lg3(2x－1)，则f′(2)＝________.
答案 eq \f(2,3ln 3)
解析 因为f′(x)＝[lg3(2x－1)]′＝eq \f(1,2x－1ln 3)(2x－1)′＝eq \f(2,2x－1ln 3)，
所以f′(2)＝eq \f(2,3ln 3).
4．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
答案 2
解析 易知y′＝aeax，k＝ae0＝a，
故a×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－1，则a＝2.
课时对点练
1．(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．t＝x2－1，y＝tn
答案 AD
2．(多选)下列结论中不正确的是( )
A．若y＝cseq \f(1,x)，则y′＝－eq \f(1,x)sineq \f(1,x)
B．若y＝sin x2，则y′＝2xcs x2
C．若y＝cs 5x，则y′＝－sin 5x
D．若y＝eq \f(1,2)xsin 2x，则y′＝xsin 2x
答案 ACD
解析 对于A，y＝cs eq \f(1,x)，则y′＝eq \f(1,x2)sin eq \f(1,x)，故错误；
对于B，y＝sin x2，则y′＝2xcs x2，故正确；
对于C，y＝cs 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误；
对于D，y＝eq \f(1,2)xsin 2x，则y′＝eq \f(1,2)sin 2x＋xcs 2x，故错误．
3．若f(x)＝e2xln 2x，则f′(x)等于( )
A．e2xln 2x＋eq \f(e2x,2x) B．e2xln 2x＋eq \f(e2x,x)
C．2e2xln 2x＋eq \f(e2x,x) D．2e2x·eq \f(1,x)
答案 C
解析 f′(x)＝(e2x)′ln 2x＋e2x(ln 2x)′
＝2e2xln 2x＋eq \f(1,x)e2x.
4．函数y＝sin2x的图象在点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(1,4)))处的切线的斜率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),3)
答案 C
解析 因为y＝sin2x，
所以y′＝2sin x(sin x)′＝2sin x·cs x＝sin 2x，
所以k＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)))＝sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).
5．函数y＝e2x－4在点x＝2处的切线方程为( )
A．2x－y－3＝0
B．2x＋y－3＝0
C．ex－y－2e＋1＝0
D．ex＋y＋2e－1＝0
答案 A
解析 y′＝2e2x－4，
则当x＝2时，y′＝2e0＝2，∴斜率为2.
又当x＝2时，y＝e2×2－4＝1，
∴切点为(2,1)．∴切线方程为2x－y－3＝0.
6．曲线y＝在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A.eq \f(9,2)e2 B．4e2 C．2e2 D．e2
答案 D
解析 由导数的几何意义知，切线的斜率
k＝eq \f(1,2)e2，
所以切线方程为y－e2＝eq \f(1,2)e2(x－4)，
令x＝0，得y＝－e2；令y＝0，得x＝2.
所以切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
S＝eq \f(1,2)×2e2＝e2.
7．质点M按规律s(t)＝(2t＋1)2 做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2时的瞬时速度为________m/s.
答案 20
解析 ∵s(t)＝(2t＋1)2，
∴s′(t)＝2(2t＋1)×2＝8t＋4，
则质点在t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝8×2＋4＝20(m/s)．
8．设曲线f(x)＝ax－ln(x＋1)在点(1，f(1))处的切线与y＝eq \f(1,2)x平行，则a＝________.
答案 1
解析 f′(x)＝a－eq \f(1,x＋1)，
由题意得f′(1)＝eq \f(1,2)，即a－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，
所以a＝1.
9．求下列函数的导数．
(1)y＝(2x－1)4；
(2)y＝e－x·sin 2x；
(3)y＝eq \f(ln 3x,ex).
解 (1)y′＝4(2x－1)3·(2x－1)′＝8(2x－1)3.
(2)y′＝(e－x)′sin 2x＋e－x·(sin 2x)′
＝－e－xsin 2x＋2e－xcs 2x.
(3)y′＝eq \f(ln 3x′·ex－ln 3x·ex′,ex2)
＝eq \f(\f(1,x)·ex－ln 3x·ex,ex2)＝eq \f(1－xln 3x,xex).
10．某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．
解 设f(x)＝3sin x，x＝φ(t)＝eq \f(π,12)t＋eq \f(5π,6)，
所以s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cs x·eq \f(π,12)
＝eq \f(π,4)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))，
将t＝18代入s′(t)，
得s′(18)＝eq \f(π,4)cseq \f(7π,3)＝eq \f(π,8)(m/h)．
s′(18)表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为eq \f(π,8) m/h.
11．已知点P在曲线y＝eq \f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
答案 D
解析 设切点P的坐标为(x0，y0)，
因为y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,ex＋1)))′＝－eq \f(4ex,ex＋12)＝－eq \f(4,ex＋2＋\f(1,ex))，
故tan α＝y′＝
因为≥2，所以＋2≥4，
故tan α＝∈[－1,0)，
又α∈[0，π)，所以α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
12．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M0·，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)等于( )
A．5太贝克 B．75ln 2太贝克
C．150ln 2太贝克 D．150太贝克
答案 D
解析 ∵M′(t)＝－eq \f(1,30)M0··ln 2，
∴M′(30)＝－eq \f(1,30)×eq \f(1,2)M0ln 2＝－10ln 2，
∴M0＝600.
∴M(t)＝600×，
∴M(60)＝600×2－2＝150(太贝克)．
13．已知f(x)＝eq \r(ax－1)，且f′(1)＝1，则a的值为________．
答案 2
解析 ∵f′(x)＝eq \f(1,2\r(ax－1))·(ax－1)′＝eq \f(a,2\r(ax－1))，
∴f′(1)＝eq \f(a,2\r(a－1))＝1，解得a＝2.
14．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．
答案 2
解析 设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，
又曲线的导数为y′＝eq \f(1,x＋a)，
∴k＝eq \f(1,x0＋a)＝1，即x0＋a＝1.
又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，
∴x0＝－1，∴a＝2.
15．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝2x－ln x，则f′(1)＝________.
答案 2e－1
解析 因为f(ln x)＝2x－ln x，
令t＝ln x，则x＝et，所以f(t)＝2et－t，
即f(x)＝2ex－x，所以f′(x)＝2ex－1，
因此f′(1)＝2e－1.
16．(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))；
(2)在曲线y＝eq \f(1,1＋x2)上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程．
解 (1)∵f(x)＝eπxsin πx，
∴f′(x)＝πeπxsin πx＋πeπxcs πx＝πeπx(sin πx＋cs πx)．
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,2)＋cs \f(π,2)))＝.
(2)设切点坐标为P(x0，y0)，
∵y′＝eq \f(－2x,1＋x22)，∴eq \f(－2x0,1＋x\\al(2,0)2)＝0.
解得x0＝0，此时y0＝1.
即切点坐标为P(0,1)，切线方程为y－1＝0.
导语
法国著名哲学家、数学家、物理学家笛卡尔说过：“我只会做两件事，一件是简单的事，一件是把复杂的事情变简单”．我们学习了较简单的基本初等函数，还可以把两个或几个函数进行“复合”，怎样复合呢？那么，对于复合后的函数如何求导呢？我们是否也有简单的方法？
一、复合函数的概念
问题1 函数y＝(3x＋2)2是哪些函数复合成的？
提示 是由一次函数u＝3x＋2和二次函数y＝u2复合而成的，即y＝f(u)＝(3x＋2)2.
知识梳理
复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量．
注意点：
复合函数中，把函数y＝f(u)称为外层函数，把u＝φ(x)称为内层函数，内层函数和外层函数通常为基本初等函数．
例1 函数y＝sin(2x－1)如果看成复合函数y＝f(φ(x))，下列式子正确的是( )
A．φ(x)＝2x B．φ(x)＝sin x
C．φ(x)＝2x－1 D．φ(x)＝sin(2x－1)
答案 C
解析 y＝sin(2x－1)是由函数y＝sin u和u＝2x－1复合而成，可见φ(x)＝2x－1.
反思感悟 判断复合函数的复合关系的一般方法
从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本初等函数为主体形式，各层的中间变量结构也是基本初等函数关系．这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本初等函数．
跟踪训练1 (多选)下列哪些函数是复合函数( )
A．y＝lg2(2x＋1) B．y＝2x2－eq \f(1,x)
C．y＝2ln x D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))
答案 ACD
二、求复合函数的导数
问题2 (1)你能分别求出y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，g(x)＝3x＋2的导数吗？
提示 y′＝(9x2＋12x＋4)′＝18x＋12，f′(u)＝2u，g′(x)＝3.
(2)上面问题(1)中导数有何关系？
提示 y′＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x)．
知识梳理
复合函数的求导法则
复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为：y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)，其中u＝φ(x)．
注意点：
(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构．
(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则．
(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导．
例2 求下列函数的导数：
(1)y＝(4－3x)2；
(2)y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))；
(3)y＝ln(4x－1)；
(4)y＝.
解 (1)设y＝u2，u＝4－3x，
则y′u＝2u，u′x＝－3，
于是y′x＝y′u·u′x＝－6(4－3x)＝18x－24，
即y′＝18x－24.
(2)设y＝cs u，u＝2x－eq \f(π,4)，
则y′u＝－sin u，u′x＝2，
于是y′x＝y′u·u′x＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，
即y′＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))).
(3)设y＝ln u，u＝4x－1，
则y′u＝eq \f(1,u)，u′x＝4，
于是y′x＝y′u·u′x＝eq \f(4,4x－1)，
即y′＝eq \f(4,4x－1).
(4)设y＝eu，u＝x2，
则y′u＝eu，u′x＝2x，
于是y′x＝y′u·u′x＝·2x，
即y′＝
延伸探究 求函数y＝eq \r(4,\f(1,3x＋1))的导数．
解
∴y′＝(3x＋1)′＝
反思感悟 求复合函数的导数的步骤
跟踪训练2 求下列函数的导数：
(1)y＝eq \f(1,\r(1－2x))；
(2)y＝5lg2(1－x)；
(3)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6))).
解 (1) y＝
设y＝，u＝1－2x，
则y′x＝()′(1－2x)′
＝·(－2)
(2)函数y＝5lg2(1－x)可看作函数y＝5lg2u和u＝1－x的复合函数，
所以y′x＝y′u·u′x＝5(lg2u)′·(1－x)′
＝eq \f(－5,uln 2)＝eq \f(5,x－1ln 2).
(3) 设y＝sin u，u＝4x＋eq \f(π,6)，
则y′x＝(sin u)′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6)))′＝cs u·4＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6))).
三、复合函数的导数的应用
例3 (1)某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝eq \r(10t)，则在t＝40 min时的降雨强度为( )
A．20 mm B．400 mm
C.eq \f(1,2) mm/min D.eq \f(1,4) mm/min
答案 D
解析 f′(t)＝eq \f(1,2\r(10t))·10＝eq \f(5,\r(10t))，
∴f′(40)＝eq \f(5,\r(400))＝eq \f(1,4).
(2)曲线y＝f(x)＝esin x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为eq \r(2)，则直线l的方程为________________________________________________________________________．
答案 x－y＋3＝0或x－y－1＝0
解析 设u＝sin x，
则f′(x)＝(esin x)′＝(eu)′(sin x)′＝cs xesin x.
f′(0)＝1.
则切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行可设直线l的方程为x－y＋c＝0.
两平行线间的距离d＝eq \f(|c－1|,\r(2))＝eq \r(2)⇒c＝3或c＝－1.
故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.
反思感悟 复合函数应用问题的关注点
(1)正确求导是关键．
(2)涉及切线问题，若切点已知，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．
(3)实际问题中，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．
跟踪训练3 (1)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是__________．
答案 (－ln 2,2)
解析 依题意，设P点坐标为(x0，y0)，
又y′＝－e－x，
所以＝－2，
解得x0＝－ln 2，y0＝2，即P(－ln 2,2)．
(2)已知某质点的位移s与时间t满足s＝tet－1，则质点在t＝1时的瞬时速度为________．
答案 2
解析 s′＝(t＋1)et－1，当t＝1时，s′(1)＝2.
1.知识清单：
(1)复合函数的概念．
(2)复合函数的求导法则．
(3)复合函数的导数的应用．
2.方法归纳：转化法．
3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．
1．(多选)下列哪些函数是复合函数( )
A．y＝xln x B．y＝(3x＋6)2
C．y＝esin x D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))
答案 BCD
解析 A不是复合函数；BCD都是复合函数．
2．已知f(x)＝sin 2x＋e2x，则f′(x)等于( )
A．2cs 2x＋2e2x B．cs 2x＋e2x
C．2sin 2x＋2e2x D．sin 2x＋e2x
答案 A
解析 根据题意，f(x)＝sin 2x＋e2x，
则f′(x)＝2cs 2x＋2e2x.
3．若f(x)＝lg3(2x－1)，则f′(2)＝________.
答案 eq \f(2,3ln 3)
解析 因为f′(x)＝[lg3(2x－1)]′＝eq \f(1,2x－1ln 3)(2x－1)′＝eq \f(2,2x－1ln 3)，
所以f′(2)＝eq \f(2,3ln 3).
4．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
答案 2
解析 易知y′＝aeax，k＝ae0＝a，
故a×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－1，则a＝2.
课时对点练
1．(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．t＝x2－1，y＝tn
答案 AD
2．(多选)下列结论中不正确的是( )
A．若y＝cseq \f(1,x)，则y′＝－eq \f(1,x)sineq \f(1,x)
B．若y＝sin x2，则y′＝2xcs x2
C．若y＝cs 5x，则y′＝－sin 5x
D．若y＝eq \f(1,2)xsin 2x，则y′＝xsin 2x
答案 ACD
解析 对于A，y＝cs eq \f(1,x)，则y′＝eq \f(1,x2)sin eq \f(1,x)，故错误；
对于B，y＝sin x2，则y′＝2xcs x2，故正确；
对于C，y＝cs 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误；
对于D，y＝eq \f(1,2)xsin 2x，则y′＝eq \f(1,2)sin 2x＋xcs 2x，故错误．
3．若f(x)＝e2xln 2x，则f′(x)等于( )
A．e2xln 2x＋eq \f(e2x,2x) B．e2xln 2x＋eq \f(e2x,x)
C．2e2xln 2x＋eq \f(e2x,x) D．2e2x·eq \f(1,x)
答案 C
解析 f′(x)＝(e2x)′ln 2x＋e2x(ln 2x)′
＝2e2xln 2x＋eq \f(1,x)e2x.
4．函数y＝sin2x的图象在点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(1,4)))处的切线的斜率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),3)
答案 C
解析 因为y＝sin2x，
所以y′＝2sin x(sin x)′＝2sin x·cs x＝sin 2x，
所以k＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)))＝sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).
5．函数y＝e2x－4在点x＝2处的切线方程为( )
A．2x－y－3＝0
B．2x＋y－3＝0
C．ex－y－2e＋1＝0
D．ex＋y＋2e－1＝0
答案 A
解析 y′＝2e2x－4，
则当x＝2时，y′＝2e0＝2，∴斜率为2.
又当x＝2时，y＝e2×2－4＝1，
∴切点为(2,1)．∴切线方程为2x－y－3＝0.
6．曲线y＝在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A.eq \f(9,2)e2 B．4e2 C．2e2 D．e2
答案 D
解析 由导数的几何意义知，切线的斜率
k＝eq \f(1,2)e2，
所以切线方程为y－e2＝eq \f(1,2)e2(x－4)，
令x＝0，得y＝－e2；令y＝0，得x＝2.
所以切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
S＝eq \f(1,2)×2e2＝e2.
7．质点M按规律s(t)＝(2t＋1)2 做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2时的瞬时速度为________m/s.
答案 20
解析 ∵s(t)＝(2t＋1)2，
∴s′(t)＝2(2t＋1)×2＝8t＋4，
则质点在t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝8×2＋4＝20(m/s)．
8．设曲线f(x)＝ax－ln(x＋1)在点(1，f(1))处的切线与y＝eq \f(1,2)x平行，则a＝________.
答案 1
解析 f′(x)＝a－eq \f(1,x＋1)，
由题意得f′(1)＝eq \f(1,2)，即a－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，
所以a＝1.
9．求下列函数的导数．
(1)y＝(2x－1)4；
(2)y＝e－x·sin 2x；
(3)y＝eq \f(ln 3x,ex).
解 (1)y′＝4(2x－1)3·(2x－1)′＝8(2x－1)3.
(2)y′＝(e－x)′sin 2x＋e－x·(sin 2x)′
＝－e－xsin 2x＋2e－xcs 2x.
(3)y′＝eq \f(ln 3x′·ex－ln 3x·ex′,ex2)
＝eq \f(\f(1,x)·ex－ln 3x·ex,ex2)＝eq \f(1－xln 3x,xex).
10．某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．
解 设f(x)＝3sin x，x＝φ(t)＝eq \f(π,12)t＋eq \f(5π,6)，
所以s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cs x·eq \f(π,12)
＝eq \f(π,4)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))，
将t＝18代入s′(t)，
得s′(18)＝eq \f(π,4)cseq \f(7π,3)＝eq \f(π,8)(m/h)．
s′(18)表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为eq \f(π,8) m/h.
11．已知点P在曲线y＝eq \f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
答案 D
解析 设切点P的坐标为(x0，y0)，
因为y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,ex＋1)))′＝－eq \f(4ex,ex＋12)＝－eq \f(4,ex＋2＋\f(1,ex))，
故tan α＝y′＝
因为≥2，所以＋2≥4，
故tan α＝∈[－1,0)，
又α∈[0，π)，所以α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
12．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M0·，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)等于( )
A．5太贝克 B．75ln 2太贝克
C．150ln 2太贝克 D．150太贝克
答案 D
解析 ∵M′(t)＝－eq \f(1,30)M0··ln 2，
∴M′(30)＝－eq \f(1,30)×eq \f(1,2)M0ln 2＝－10ln 2，
∴M0＝600.
∴M(t)＝600×，
∴M(60)＝600×2－2＝150(太贝克)．
13．已知f(x)＝eq \r(ax－1)，且f′(1)＝1，则a的值为________．
答案 2
解析 ∵f′(x)＝eq \f(1,2\r(ax－1))·(ax－1)′＝eq \f(a,2\r(ax－1))，
∴f′(1)＝eq \f(a,2\r(a－1))＝1，解得a＝2.
14．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．
答案 2
解析 设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，
又曲线的导数为y′＝eq \f(1,x＋a)，
∴k＝eq \f(1,x0＋a)＝1，即x0＋a＝1.
又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，
∴x0＝－1，∴a＝2.
15．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝2x－ln x，则f′(1)＝________.
答案 2e－1
解析 因为f(ln x)＝2x－ln x，
令t＝ln x，则x＝et，所以f(t)＝2et－t，
即f(x)＝2ex－x，所以f′(x)＝2ex－1，
因此f′(1)＝2e－1.
16．(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))；
(2)在曲线y＝eq \f(1,1＋x2)上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程．
解 (1)∵f(x)＝eπxsin πx，
∴f′(x)＝πeπxsin πx＋πeπxcs πx＝πeπx(sin πx＋cs πx)．
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,2)＋cs \f(π,2)))＝.
(2)设切点坐标为P(x0，y0)，
∵y′＝eq \f(－2x,1＋x22)，∴eq \f(－2x0,1＋x\\al(2,0)2)＝0.
解得x0＝0，此时y0＝1.
即切点坐标为P(0,1)，切线方程为y－1＝0.
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