数学北师大版 (2019)第二章 导数及其应用6 用导数研究函数的性质6.1 函数的单调性第1课时导学案

这是一份数学北师大版 (2019)第二章 导数及其应用6 用导数研究函数的性质6.1 函数的单调性第1课时导学案，共11页。学案主要包含了导数与函数单调性的关系，判断或证明函数的单调性，求函数的单调区间等内容，欢迎下载使用。

第1课时 导数与函数的单调性
学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．
导语
研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势(走高或走低)以及股票价格的变化范围(封顶或保底)．从股票走势曲线图来看，股票有升有降．在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性．那么，函数的单调性与导数有什么关系呢？
一、导数与函数单调性的关系
问题 已知函数：(1)y＝2x－1，(2)y＝－3x，(3)y＝2x，它们的导数的正负与它们的单调性之间有怎样的关系？
提示 (1)y′＝2>0，y＝2x－1是增函数．
(2)y′＝－3<0，y＝－3x是减函数．
(3)y′＝2xln 2>0，y＝2x是增函数．
知识梳理
导数的符号与函数单调性之间的关系
若在某个区间内，f′(x)≥0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递增；若在某个区间内，f′(x)≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递减．
注意点：
“在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上为单调递增(减)”的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性．例如函数f(x)＝x3，在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但因为f′(x)＝3x2，所以f′(0)＝0，即不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0.
例1 设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
答案 D
解析 由函数的图象，可知当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
反思感悟 函数的图象与函数的导数关系的判断方法
(1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减．
(2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．
跟踪训练1 f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
答案 D
解析 由导函数的图象可知函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，排除A，C，在(0,2)上单调递减，排除B，故选D.
二、判断或证明函数的单调性
例2 利用导数判断下列函数的单调性：
(1)f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋2x－5；
(2)f(x)＝x－eq \f(1,x)－ln x(x>0)；
(3)f(x)＝x－ex(x>0)．
解 (1)因为f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋2x－5，
所以f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
所以函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋2x－5在R上为增函数．
(2)因为f(x)＝x－eq \f(1,x)－ln x，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝1＋eq \f(1,x2)－eq \f(1,x)＝eq \f(x2－x＋1,x2)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4),x2)>0，
所以f(x)＝x－eq \f(1,x)－ln x在(0，＋∞)上为增函数．
(3)因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝1－ex<0，所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上为减函数．
反思感悟 利用导数判断或证明一个函数的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)>0(f′(x)<0)在定义域或给定区间上恒成立．一般步骤为：
(1)确定函数的定义域(给定区间除外)．
(2)求导函数f′(x)．
(3)判断f′(x)的符号．
(4)给出单调性结论．
跟踪训练2 证明：函数f(x)＝eq \f(ln x,x)在区间(0,2)上单调递增．
证明 因为f(x)＝eq \f(ln x,x)，
所以f′(x)＝eq \f(\f(1,x)·x－ln x,x2)＝eq \f(1－ln x,x2)，
因为0＜x＜2，所以ln x＜ln 2＜1，
故f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)＞0，
即函数在区间(0,2)上单调递增．
三、求函数的单调区间
例3 (1)函数f(x)＝ln x－4x＋1的单调递增区间为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4))) B．(0,4)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞))
答案 A
解析 f(x)＝ln x－4x＋1的定义域是{x|x>0}，f′(x)＝eq \f(1,x)－4＝eq \f(1－4x,x)，当f′(x)>0时，解得0(2)函数f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调递减区间为______________________________．
答案 (－2－eq \r(2)，－2＋eq \r(2))
解析 由f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex<0，
即x2＋4x＋2<0，
解得－2－eq \r(2)所以f(x)＝(x2＋2x)ex的单调递减区间为
(－2－eq \r(2)，－2＋eq \r(2))．
反思感悟 利用导数求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求导函数f′(x)．
(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上单调递增；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间上单调递减．
(4)结合定义域写出单调区间．
跟踪训练3 求函数f(x)＝3x2－2ln x的单调区间．
解 f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－eq \f(2,x)＝eq \f(23x2－1,x)＝eq \f(2\r(3)x－1\r(3)x＋1,x)，
令f′(x)＝0，得x＝eq \f(\r(3),3)或－eq \f(\r(3),3)(舍)，
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，＋∞))时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3)))时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
∴函数f(x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，＋∞))，
单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3))).
1.知识清单：
(1)函数的单调性与导数正负的关系．
(2)利用导数判断函数单调性、求单调区间的方法．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论、转化化归．
3．常见误区：
(1)研究函数的单调区间时，忘记求函数的定义域，没有在定义域范围内研究函数的单调区间．
(2)将函数具有相同单调性的区间用“∪”连接．
(3)混淆“函数的单调区间是(a，b)”和“函数在(a，b)上单调”．
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
答案 D
解析 ∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都单调递减，∴当x>0时，f′(x)<0，当x<0时，f′(x)<0.
2．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，0) D．(0,2)
答案 D
解析 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)<0，得03．函数f(x)＝x＋ln x( )
A．在(0,6)上单调递增
B．在(0,6)上单调递减
C．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，6))上单调递增
D．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，6))上单调递减
答案 A
解析 f′(x)＝1＋eq \f(1,x)＝eq \f(x＋1,x)，
当00，
∴f(x)在(0,6)上单调递增．
4．y＝x＋sin x在[0，π)上单调递______(填“增”或“减”)．
答案 增
解析 ∵y′＝1＋cs x≥0恒成立，
∴y＝x＋sin x在[0，π)上单调递增．
课时对点练
1．函数f(x)＝(x＋3)e-x的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
答案 A
解析 ∵f(x)＝(x＋3)e-x，
∴f′(x)＝e-x－(x＋3)e-x＝e-x(－x－2)，
由f′(x)>0得x<－2.
2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝sin x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
答案 B
解析 B项中，y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，
当x∈(0，＋∞)时，y′>0，
∴y＝xex在(0，＋∞)上单调递增．
3．函数y＝xcs x－sin x在下面哪个区间内是递增的( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2))) B．(π，2π)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，\f(5π,2))) D．(2π，3π)
答案 B
解析 由已知得y′＝cs x－xsin x－cs x＝－xsin x．当x∈(π，2π)时，－xsin x>0.即函数在(π，2π)上是递增的．
4．函数f(x)＝xcs x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是( )
答案 A
解析 因为f(x)＝xcs x，
所以f′(x)＝cs x－xsin x.
因为f′(－x)＝f′(x)，
所以f′(x)为偶函数，
所以函数图象关于y轴对称，可排除C项．
由f′(0)＝1可排除D项．
而f′(1)＝cs 1－sin 1<0，排除B项．
5．已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)(x>1)，则有( )
A．f(2)B．f(e)C．f(3)D．f(e)答案 A
解析 因为在定义域(1，＋∞)上有f′(x)＝1－eq \f(1,x2)>0，所以f(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以f(2)6．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是( )
答案 D
解析 A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．
7．已知函数f(x)＝－eq \f(1,2)x2＋3x－2ln x，则函数f(x)的单调递增区间为________．
答案 (1,2)
解析 由题意可得
f′(x)＝－x＋3－eq \f(2,x)＝－eq \f(x－1x－2,x)，
令f′(x)>0，解得1故函数f(x)的单调递增区间为(1,2)．
8．函数y＝f(x)在定义域eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集为__________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，1))∪(2,3)
解析 因为y＝f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，1))和区间(2,3)上是减少的，所以在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，1))和区间(2,3)上，f′(x)<0.
9．已知导函数f′(x)的下列信息：当x<0或x>7时，f′(x)>0；当0解 当x<0或x>7时，f′(x)>0，可知函数f(x)在区间(－∞，0)和(7，＋∞)上都是单调递增的；当010．确定下列函数的单调区间．
(1)y＝x3－9x2＋24x；
(2)f(x)＝eq \f(1,xln x)(x>0且x≠1)．
解 (1)y′＝3x2－18x＋24＝3(x－2)(x－4)，
由y′>0得x<2或x>4；
由y′<0得2∴函数的单调递增区间为(－∞，2)，(4，＋∞)；单调递减区间是(2,4)．
(2)f′(x)＝－eq \f(ln x＋1,x2ln2x)，
若f′(x)＝0，则x＝eq \f(1,e)，列表如下：
∴f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))；单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))，(1，＋∞)．
11．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b<0时，f(x)是( )
A．增函数
B．减函数
C．常数函数
D．既不是增函数也不是减函数
答案 A
解析 求得函数的导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋b，导函数对应方程f′(x)＝0的Δ＝4(a2－3b)<0，所以f′(x)>0恒成立，故f(x)是增函数．
12．已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )
答案 C
解析 由函数y＝xf′(x)的图象可知当x<－1时，xf′(x)<0，f′(x)>0，∴f(x)单调递增，当－10，f′(x)<0，此时f(x)单调递减，当01时，xf′(x)>0，f′(x)>0，此时f(x)单调递增，∴选C.
13．函数f(x)＝x＋eq \f(b,x)(b>0)的单调递减区间为________．
答案 (－eq \r(b)，0)和(0，eq \r(b))
解析 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,x)))′＝1－eq \f(b,x2)，
令f′(x)<0，则eq \f(1,x2)(x＋eq \r(b))(x－eq \r(b))<0，
∴－eq \r(b)∴函数的单调递减区间为(－eq \r(b)，0)和(0，eq \r(b))．
14．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是________________．
答案 (－∞，－1)∪(0,1)
解析 因为在(0，＋∞)上f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(x)为偶函数，
所以f(－1)＝f(1)＝0，
且f(x)在(－∞，0)上单调递减，
f(x)的草图如图所示，
所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．
15．(多选)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是( )
A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2＋2
C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cs x
答案 AB
解析 设g(x)＝ex·f(x)，
对于A，g(x)＝ex·2－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e,2)))x在定义域R上是增函数，故A正确；
对于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex
＝[(x＋1)2＋1]ex>0，所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确；
对于C，g(x)＝ex·3－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e,3)))x在定义域R上是减函数，故C不正确；
对于D，g(x)＝ex·cs x，则g′(x)＝eq \r(2)excseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，g′(x)>0在定义域R上不恒成立，故D不正确．
16．设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解 (1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，
故f′(x)＝2a(x－5)＋eq \f(6,x).
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a＝8a－6，故a＝eq \f(1,2).
(2)由(1)知，f(x)＝eq \f(1,2)(x－5)2＋6ln x(x>0)，
f′(x)＝x－5＋eq \f(6,x)＝eq \f(x－2x－3,x).
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当03时，f′(x)>0，
故f(x)的单调递增区间为(0,2)，(3，＋∞)；
当2故f(x)的单调递减区间为(2,3)．
导数符号
单调性
在某个区间内，f′(x)>0
在这个区间内，函数y＝f(x)单调递增
在某个区间内，f′(x)<0
在这个区间内，函数y＝f(x)单调递减
x
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))
eq \f(1,e)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
－
f(x)
↗
－e
↘
↘