专题03 动点引起的相似三角形存在性问题（解析版）

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专题04 动点引起的相似三角形存在性问题【相似三角形存在性】以A、B、C为顶点的三角形与已知△DEF相似，其中，∠ABC=∠DEF分类讨论：①△ABC∽△DEF；②△CBA∽△DEF可得到：；，特殊地，当∠ABC=∠DEF=90°时，可借助tan∠BAC=tan∠DFE或tan∠BCA=tan∠DFE解答问题.【一题多解 · 典例剖析】例题1. （2021·山东省济宁市中考）如图，直线分别交轴、轴于点A，B，过点A的抛物线与轴的另一交点为C，与轴交于点，抛物线的对称轴交于E，连接交于点F．（1）求抛物线解析式；（2）求证：；（3）P为抛物线上的一动点，直线交于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=－x2+2x+3；（2）见解析；（3）存在，点P 的横坐标为或±．【解析】解：（1）∵直线分别交x轴、y轴于点A，B∴A（3,0），B（0，），又抛物线经过A（3，0），D（0，3），∴，解得：即抛物线的解析式为y=－x2+2x+3；（2）由y=－x2+2x+3得，抛物线对称轴为x=1设直线AD的解析式为：y=kx+a，将A（3，0），D（0，3）代入得： ，解得 即直线AD的解析式为：y=－x+3，∴E（1，2），G（1，0），在Rt△OEG中，知tan∠OEG= ，在Rt△OAB中，tan∠BAO=，∴∠OEG=∠BAO，∵∠OEG+∠EOG=90°∴∠BAO+∠EOG=90°即OE⊥AB.（3）存在.∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x=1，∴C（－1，0），∴AC=3－（－1）=4，∵OA=OD=3，∠AOD=90°，∴，设直线CD解析式为y=mx+n，则：，解得 ∴直线CD解析式为y=3x+3，易知，∠MAO=∠COD，分类讨论：①当△AOM∽△ACD时，方法一：解析式法欲求P点坐标，需求直线OP的解析式，再与抛物线解析式联立即可.可知，OM∥CD即直线OP的解析式为：y=3x，联立y=3x，y=－x2+2x+3得：x=即P点横坐标为.方法二：比例法易知,,∴即∴AN=，ON=即M（，）∴直线OM解析式为：y=3x联立y=3x，y=－x2+2x+3得：x=.方法三：设参数法设M（m，－m+3），0<m<3，A（3,0）易知，，即即AM=∴（3－m）2+（－m+3）2=（）2解析：m=或m=（舍）即M（，）∴直线OM解析式为：y=3x联立y=3x，y=－x2+2x+3得：x=.②当△AMO∽△ACD时，方法一：比例法易知,即，∴AM=2由△AMN为等腰直角三角形，知MN=AN=2，∴ON=1，即M（1,2）∴直线OM的解析式为y=2x，联立y=2x，y=－x2+2x+3得：x=±方法二：设参数法设M（m，－m+3），0<m<3由AM=2得：（m－3）2+（－m+3）2=（2）2解得：m=1或m=5（舍）∴直线OM的解析式为y=2x，联立y=2x，y=－x2+2x+3得：x=±综上所述，点P的横坐标为或±．【一题多解 · 对标练习】练习1．（2021·湖南省邵阳市中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和．（1）求抛物线的对称轴．（2）当时，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线．①求抛物线的解析式．②设抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点．设点的横坐标为．是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）x=2.5；（2）①y=－x2+x+2；②1或.【解析】解：（1）∵抛物线图像过（1,1）、（4,1）两点，∴抛物线对称轴为：x=（1+4）÷2=2.5；（2）①将点（1,1）、（4,1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（－1,0），（2,0），将点（－1,0），（2,0），a=－1，代入抛物线解析式得：y=－x2+x+2.②根据①中的函数关系式，可得:A（2,0），B（－1,0），C（0,2），D（m，－m2+m+2），其中0<m<2可知∠BOC=∠DEO=90°，以点O，D，E为顶点的三角形与△OBC相似有两种情况，（i）当△ODE∽△BCO时，方法一、比例法则，即，解得m=1或－2（舍），方法二、三角函数tan∠BOC=tan∠ODE即，解得：m=1或－2（舍），（ii）当△ODE∽△CBO时，方法一、比例法则，即，解得：方法二、三角函数tan∠BOC=tan∠DOE即，解得：综上所述，满足条件的m的值为1或．【多题一解 · 典例剖析】例题2．（2021·湖南省怀化市中考）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=－x2+2x+8；（2）存在，（1,2）或．【解析】解：（1）∵OA=2，OB=4，OC=8，∴A（－2,0）、B（4,0）、C（0,8），设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，∴解得：∴二次函数的解析式为y=－x2+2x+8；（2）存在以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，理由如下：由（1）知抛物线对称轴为直线：x=1，设直线BC的解析式为y=kx+t，将点B、C坐标代入可得：，解得：，∴直线BC的解析式为y=－2x+8，∴点M（1,6），N（1,0），∴BN=3，MN=6，BM=3，CM=，由∠BMN=∠CMP知，分两种情况讨论： ①当∠CPM=∠MNB=90°时，如图所示：易知CP∥x轴，∴点P坐标为（1,8）.②当∠PCM=∠MNB=90°时，如图所示：∴cos∠CMP=cos∠MNB即，∴∴PM=，即点P坐标为.综上所述，符合要求的P点坐标为（1,8）或.【多题一解 · 对标练习】练习2．（2021·四川省遂宁市中考）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，与y轴交于C（0，－3），对称轴为直线，直线y＝－2x＋m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．（1）求抛物线的解析式和m的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.【答案】（1）y=（x+1）2－4；m=2；（2）存在，（0,12）或（0,14.5）.【解析】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，对称轴为直线x=－1，∴A（1，0），设二次函数解析式为：y=a(x－1)(x+3)，把C（0，－3）代入得：－3=a(0－1)(0+3)，解得：a=1，即二次函数解析式为：y= (x－1)(x+3)，即：y=（x+1）2－4，∵直线y＝－2x＋m经过点A，∴0=－2×1+m，解得：m=2；（2）由（1）得：直线AF的解析式为：y=－2x+2，又直线y=－2x+2与y轴交于点D，与抛物线交于点E， ∴当x=0时，y=2，即D（0，2），联立，解得：，，∵点E在第二象限，∴E（－5，12），以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，由∠EDP=∠ADO知，分两种情况讨论.①当∠EPD=∠AOD=90°时，过点E作EP⊥y轴于点P，此时P（0，12）；②当∠PED=∠AOD=90°时，过点E作EP’⊥AE，则tan∠ADO=tan∠PEP’，∴，即：，解得：PP’=2.5，此时P’（0，14.5），综上所述：点P的坐标为（0，12）或（0，14.5）.练习3. （2021·四川省泸州市中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点（1）求证：∠ACB=90°（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．①求DE+BF的最大值；②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐标．【答案】（1）（2）①9；②（4,6）或（3，）．【解析】解：（1）在中，当x=0，y=4即C（0,4）当y=0时，即解得：x=－2或x=8即A(－2,0)，B（8,0）∴AB=10，AC=2，BC=4则102=（2）2+（4）2即AB2=AC2+BC2∴∠ACB=90°（2）①设直线BC的解析式为：y=kx+b，将（0,4），（8,0）代入得：，解得：k=－0.5，b=4即直线BC解析式为y=－0.5x+4设D（m，），则BF=8－m，DE=∴DE+BF=+8－m=∵<0∴当m=2时DE+BF取最大值，最大值为9. ②∵点G是AC的中点，在Rt△AOC中，OG=AG=即△AOG为等腰三角形，∵∠CAO+∠ACO=∠ACO+∠OCB=90°∴∠CAO=∠OCB又OC∥DF∴∠OCB=∠CED∴∠CAO=∠CED设D（m，），则E（m，－0.5m+4），DE=当以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，分两种情况讨论：①△ECD∽△AOG则，即，∴CE=又OC∥DF∴，即∴CE=∴=解得：m=0（舍）或m=3即D（3，）②△EDC∽△AOG，则，即，∴CE=又OC∥DF，知，CE=∴=解得：m=0（舍）或m=4即D（4,6）综上所述，D点坐标为（3，）或（4,6）．