专题04 动点引起的角度问题（解析版）

这是一份专题04 动点引起的角度问题（解析版），文件包含专题04动点引起的角度问题解析版doc、专题04动点引起的角度问题原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
专题04 动点引起的角度问题【一题多解 · 典例剖析】【角度等于具体度数】例题1.（2021·湖北荆门中考）如图，在平面直角坐标系中，斜边上的高为1，，将绕原点顺时针旋转得到，点A的对应点C恰好在函数的图象上，若在的图象上另有一点M使得，则点M的坐标为_________．【答案】（，1）.【解析】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，过点M作MF⊥x轴，由题意可知：∠AOB=∠COD=∠MOF=30°，CE=1，则OE=，即C（1，）又C点在反比例函数图象上，∴k=方法一：解析式法直线OM的解析式为y=x，联立y=x，y=，得：x=或x=-（舍）故M（，1）方法二：相似易知△COE∽△MOF∴，即设M（x，）∴解得：x=或x=-（舍）故M（，1）方法三：三角函数在Rt△OMF中，∠MOF=30°，则tan∠MOF=,设M（x，）∴解得：x=或x=-（舍）故M（，1）.【一题多解 · 对标练习】练习1．（2021·辽宁丹东中考）如图，已知点，点，直线过点B交y轴于点C，交x轴于点D，抛物线经过点A、C、D，连接、． （1）求抛物线的表达式；（2）判断的形状，并说明理由；（3）E为直线上方的抛物线上一点，且，求点E的坐标.【答案】（1）；（2）△ABC为直角三角形，∠BAC=90°；（3）E（，）.【解析】解：（1）直线y=2x+m过点B交y轴于点C， 将B（-5，-4）代入得：﹣4=2×（﹣5）+m，解得：m=6，则C（0，6），将A（﹣8，0）、C（0，6）代入，得：，解得：，∴抛物线的表达式为；（2）△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，理由为：由题意，AB2=（﹣8+5）2+（0+4）2=25，AC2=（﹣8+0）2+（0﹣6）2=100，BC2=（﹣5+0）2+（﹣4﹣6）2=125，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°；（3）由（2）知AB=5，AC=10，∴tan∠BCA= =tan∠ECA，∴∠BCA=∠ECA， 方法一：解析式法如图，延长BA交直线CE于F，过F作FH⊥x轴，过B作BG⊥x轴于G，由∠FCA=∠BCA，AC=AC，∠CAB=∠CAF=90°知△ACF≌△ACB∴AB=AF∴△AFH≌△ABG又B（-5，-4），A（-8,0）∴BG=4，AG=3∴AH=AG=3，FH=BG=4即F（-11,4）设直线CF解析式为y=kx+m则∴直线CF的解析式为y=x+6，联立y=x+6，y=x2+x+6，得：x=0（舍）或x=即E（，）.方法二：相似法（三角函数）由∠FAC=90°知，∠FAH=∠ACO，AB=AF=5∴Rt△AFH∽Rt△CAO∴，即，∴FH=4，AH=3∴F（-11,4）.练习2．（2021·四川省内江市中考）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为．（1）求抛物线的解析式与直线的解析式；（2）若点是轴上的点，且，求点的坐标．【答案】（1）y=x2+x+3，直线l的解析式为y=x+1；（2）（0，）或（0，-9）．【解析】解：（1）将（-2,0），（6,0），（4,3）代入抛物线解析式得：解得：即抛物线的解析式为y=x2+x+3.由A（-2,0），D（4,3）知直线l的解析式为：y=x+1.（2）如图，过A作AM⊥AD，由∠MDA=45°知，△ADM是等腰直角三角形，∴AD=AM过M，D作x轴的垂线，垂足为H，G则Rt△AMH≌Rt△DAG∴AH=DG=3，MH=AG=6∴M（-5，6）由D（4,3），M（-5,6）得直线DM的解析式为：y=x+∴Q（0，）同理，可得：直线DM’的解析式为：y=3x-9即Q’（0，-9）综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，）或（0，-9）．【多题一解 · 典例剖析】【两角相等】例题2．（2021·福建省福州）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）若P为线段AB上一点，，求AP的长．【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）.【解析】解：（1）令x=0，则y=3，∴点B的坐标为(0，3)，抛物线y=-x2+bx+c经过点B (0，3)，C (1，0)，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3；（2）令y=0，则0=-x2-2x+3，解得：x=1或x=-3，∴点A的坐标为(-3，0)，∴OA=3，OB=3，OC=1，AB=，∵∠APO=∠ACB，且∠PAO=∠CAB，∴△PAO∽△CAB，∴，即，∴AP=. 【多题一解 · 对标练习】练习3．（2021·四川德阳中考）如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；（3）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM．在（2）的条件下，是否存在点M，使∠MBN＝∠APC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）P（4，5）；（3）M的坐标为，，，【解析】解：（1）把点（-1,0），（2,-3）代入y=x2+bx+c，得：，解得:，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；（2）作点C关于x轴的对称点C’，则C’（2,3），可得直线AC’的解析式为y=x+1，联立y=x+1、y=x2-2x-3得：x=-1或x=4即P（4,5）（3）存在点M，由P（4,5），A（-1,0），C（2，-3）知PA2=50，AC2=18，PC2=68∵50+18=38知，PA2 +AC2=PC2，∴△PAC为直角三角形，且∠PAC=90°∴tan∠APC=,由∠MBN=∠APC，知tan∠MBN=，∴∴在y=x2-2x-3中，当y=0时，x=-1或x=3即B（3,0）设M（m，m2-2m-3），则BN=3－m，MN= |m2-2m-3|∴，解得：m=或m=存在符合条件的点M，M的坐标为，，，．练习4．（2021·山东烟台中考）如图，抛物线经过点，，与y轴正半轴交于点C，且．抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线经过B，C两点．
 （1）求抛物线及直线的函数表达式；（2）连接，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，且满足．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），y=-x+4；（2）P点坐标为或；【解析】解：（1）∵A（-2,0），OC=2OA，∴OC=4，C（0,4）将（-2,0），（0,4），（4,0）代入抛物线解析式，并解得：a=，b=1，c=4即抛物线解析式为：y=x2+x+4.直线BC的解析式为：y=-x+4.（2）由（1）得，，即，过点Q作QM⊥DE于M，过点P作PN⊥DE于N，∵∠QEP=90°，∴∠QEM+∠MQE=90°，∠QEM+∠PEN=90°，∴∠MQE=∠PEN，∴△MQE∽△NEP，∴，如图1，设P点坐标为，则PN=m-1，EN=，EM=2m-2，MQ=，则Q点坐标为，将Q点坐标代入y=-x+4，得，解得，m=，或m=-（舍去），把m=代入，得，，故P点坐标为；如图2，同理，得P点坐标为；综上，P点坐标为或；练习5．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A(－3，0)，B两点，与y轴相交于点C(0，2)，对称轴是直线x＝－1，连接AC．（1）求该抛物线的表达式；（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式.【答案】（1）；（2）或.【解析】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=-1，∴，即b=2a又C（0,2）∴c=2将A（-3,0）代入得：9a-3b+c=0∴a=，b=即抛物线的解析式为y=x2x+2；（2）①当点D在x轴上方的抛物线上时，如图，记BD与AC的交点为点E，则E在抛物线对称轴上由A（-3,0），C（0,2）知直线AC解析式为：y=x+2，∴E（-1，）由对称性知，B（1,0）∴可得直线BD的解析式为：y=x+2.②当点D在x轴下方抛物线上时，如图，同理，得直线BD的解析式为y=x－；综上所述，直线l的解析式为y=x+2或y=x－.练习6．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为．
（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，若点在抛物线上且满足，求点的坐标.【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）（4,5），（，）．【解析】解：（1）将（-1,0），顶点坐标（1，-4）代入抛物线解析式得：得 解得 ∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-3．（2）由B（3,0），D（1，-4）得直线BD的解析式为：y=2x-6由y=x2-2x-3知C（0,-3），B（3,0）①当PC∥BD时，此时∠PCB=∠CBD，∴设直线PC解析式为y=2x+m将点（0，-3）代入得：m=-3，∴联立y=2x-3，y=x2-2x-3得：x=0（舍）或x=4即P（4,5）. ②如图，当P在x轴下方时，设PC交BD于Q则∠CBD=∠QCB，即CQ=BQ又OC=OB∴OQ是BC的垂直平分线，即OQ的解析式为y=-x，联立y=-x，y=2x-6得：Q（2，-2）∴CQ的解析式为：y=x-2，联立y=x-2，y=x2-2x-3得：x=0（舍）或x=即P（，）．综上所述，符合条件的P点坐标为：（4,5），（，）．  【多题一解 · 典例剖析】【角度倍数关系】例题3. 【2020·四川内江】如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使得△CDE中的某个角等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）代入y＝ax2+bx+c得：，解得：．故抛物线的解析式为yx2x+2．（2）①当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，﹣2），连接BF， ∵OC＝OF，OB⊥CF，∴∠ABC＝∠ABF，∴∠CBF＝2∠ABC．∵∠DCB＝2∠ABC，∴∠DCB＝∠CBF，∴CD∥BF．∵点B（4，0），F（0，﹣2），∴直线BF的解析式为yx﹣2，∴直线CD的解析式为yx+2．联立得：，解得：（舍去），，∴点D的坐标为（2，3）；②当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H，作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q， ∵∠OCH＝90°﹣∠OHC，∠OBF＝90°﹣∠BHN，∠OHC＝∠BHN，∴∠OCH＝∠OBF．∴△OCH∽△OBF，∴，即，∴OH＝1，H（1，0）．设直线CN的解析式为y＝kx+n（k≠0），∵C（0，2），H（1，0），∴，解得，∴直线CN的解析式为y＝﹣2x+2．，解得：，∴点N的坐标为（，）．∵点B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为yx+2．∵NP⊥BC，且点N（，），∴直线NP的解析式为y＝2x．联立，解得：，∴点Q的坐标为（，）．∵点N（，），点N，P关于BC对称，∴点P的坐标为（，）．∵点C（0，2），P（，），∴直线CP的解析式为yx+2．将yx+2代入yx2x+2整理，得：11x2﹣29x＝0，解得：x1＝0（舍去），x2，∴点D的横坐标为．综上所述：存在点D，使得△CDE的某个角恰好等于∠ABC的2倍，点D的横坐标为2或．【多题一解· 对标练习】练习7. 如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵直线y＝﹣x+5经过点B，C，∴当x＝0时，可得y＝5，即C的坐标为（0，5）．当y＝0时，可得x＝5，即B的坐标为（5，0）．∴．解得．∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；（2）过点A作AN⊥BC于N，过N作NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，∵M1A＝M1C，∴∠ACM1＝∠CAM1．∴∠AM1B＝2∠ACB．∵△ANB为等腰直角三角形．∴AH＝BH＝NH＝2．∴N（3，2）．设AC的函数解析式为y＝kx+b∵C（0，5），A（1，0），∴．解得b＝5，k＝﹣5．∴AC的函数解析式为y＝﹣5x+5，设EM1的函数解析式为yx+n，∵点E的坐标为（）．∴n，解得：n．∴EM1的函数解析式为yx．．解得．∴M1的坐标为（）；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，设M2（a，﹣a+5），则：3，解得a．∴﹣a+5．∴M2的坐标为（，）．综上所述，存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．