专题01 动点引起的直角三角形（矩形）存在性问题（解析版）

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专题01 动点引起的直角三角形（矩形）存在性问题【直角三角形存在性】如图，若A、B为定点，若△PAB为直角三角形，则P点轨迹如图所示.矩形存在性问题→直角三角形存在性问题.方法一、勾股定理方法二、构造一线三直角，相似方法三、三角函数 【一题多解 · 典例剖析】例题1．（2021·黑龙江省齐齐哈尔市中考）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．【答案】（1）y=x2+2x+；（2）（7，4）或（-3，）或（3，）或（3，4）．【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c的对称轴为x==2，∴a=，即y=x2+2x+c，∵OA=1，A在抛物线上，则将A（－1,0）代入y=x2+2x+c得：c=，即抛物线的解析式为：y=x2+2x+.（2）由（1）知，抛物线对称轴为x=2，设P（2，m），Q（x，y）若以B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，则△BCP为直角三角形在y=x2+2x+中，当y=0时，x=-1，x=5；当x=0时，y=，即B（5,0），C（0，），方法一：勾股定理分类讨论：①当BC2=BP2+PC2，即25+=32+m2+22+（m-）2解得：m=4或m=，即P（2，4）或（2，），此时PQ为对角线，BC为对角线，或则Q（3，）或（3,4）.②当BP2=BC2+PC2，即32+m2=25+ +22+（m-）2解得：m=，即P（2，），此时BP为对角线，CQ为对角线， 则Q（7，4）③当PC2=BC2+ BP2即22+（m-）2=25+ +32+m2解得：m=-6，即P（2，-6），此时CP为对角线，BQ为对角线， 则Q（-3，）综上所述，Q点坐标为（7，4）或（-3，）或（3，）或（3，4）.方法二：相似三角形分类讨论①当∠CPB=90°时，如图，过P作x轴的平行线，交y轴于N，过B作BM⊥PN于M易证：△PNC∽△BMP∴即，解得：m=4或m=，即P（2，4）或（2，），②如图，当∠PCB=90°时，过P作PH⊥y轴于H，同理可得：,即，解得：m=即P（2，）③当∠CBP=90°时，如图所示，同理知，,即，解得：m=-6，即P（2，-6）再由方法一中的方法求得Q点坐标即可；方法三：三角函数分类讨论①当∠CPB=90°时，易知∠NCP=∠BPM，∴tan∠NCP= tan∠BPM即 即，解得：m=4或m=，即P（2，4）或（2，），②如图，当∠PCB=90°时， 同理可得：tan∠PCH=tan∠CBO，即,即，解得：m=即P（2，）③当∠CBP=90°时，同理知，,即，解得：m=-6，即P（2，-6）再由方法一中的方法求得Q点坐标即可．【一题多解 · 对标练习】练习1. （2021·江苏省镇江市中考）如图，点A和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点A，B作轴的垂线，垂足分别为点C，D，AC=BD，连接AB交轴于点F．（1）k＝　　；（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：；（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标：　　．【答案】（1）2；（2）见解析；（3）（，）．【解析】解：（1）将（2,1）代入y= 得，k=2故答案为：2；（2）在△ACF和△BDF中，，∴△ACF≌△BDF，∴CF=DF设A（a，），则C（0，），B（-a，）AC=a，OC=，∴－m=+m整理得：am=－2.（3）方法一、勾股定理设A（a，），则C（0，），B（-a，），D（0，）∵E（2,1），∠CED=90°，∴CD2=CE2+DE2，即（+）2=22+（1-）2+22+（1+）2解得：a=-2（舍）或a=即A（，）.方法二、相似三角形如图，易证△CEM∽△EDH∴即，解得：a=-2（舍）或a=方法三、三角函数如图，易知∠DEH=∠ECM，∴tan∠DEH=tan∠ECM即∴，解得：a=-2（舍）或a=.【多题一解 · 典例剖析】例题2．（2021·山东省济南市中考）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．（1）求的值并直接写出点的坐标；（2）点是轴上的动点，连接，，求的最小值；（3）是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）k=6，B(2，3)；（2）；（3）P（，0）或（0，）.【解析】解：（1）将（m，-3）代入y= x得：m=-2即点A（-2，-3），将（-2，-3）代入得，k=-2×（-3）=6，由点A和点B关于原点对称，得点B(2，3)；（2）过点B，C分别作BE⊥x轴，CF⊥x轴，作B关于y轴对称点B’，连接B’C，则BE//CF，∴，∵BC=2CD，∴，∵B（2，3），∴BE=3，CF=1，即C点纵坐标是1，可得：C（6，1），又点B’是点B关于y轴对称的点，∴点B’（-2，3），∴B’C=，即GB+GC的最小值是；（3）解：①当点P在x轴上时，当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥x轴，由∠OBP=90°，BH⊥OP，得△OHB∽△BHP，∴，即32=2HP，得：PH=，∴OP=，即点P（，0）；②当点P在y轴上时，当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥y轴，同理，△OHB∽△BHP，∴，即22=3HP，∴HP=，即OP=，即点P（0，）综上所述：P（，0）或（0，）.【多题一解 · 对标练习】练习2．（2021·四川省达州市中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值．（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）；（3）存在，N点的横坐标分别为：2，-1，或．【解析】解：（1）∵将（1,0），（0,3）代入y=-x2+bx+c，得：解得：b=-2，c=3即抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3.（2）在OE上取一点D，使得OD=OE，连接AE’，BD∵OD=OE=OE’，抛物线对称轴为：x=-1∴E（-1,0），OE=1=OE’，OA=3∴, ∠DOE’=∠E’OA∴△DOE’∽△E’OA∴DE’=AE’∴BE’+AE’=BE’+DE’当B、E’、D三点在同一点直线上时，BE’+DE’最小值为BD．在Rt△BOD中，OD=，OB=3∴BD=即BE’+AE’最小值为．（3）由y=-x2-2x+3，得A（-3,0）①当∠ABN=90°时，过N作NQ⊥y轴于Q，则tan∠ABO=tan∠BNQ∴∴BQ=NQ，设N（m，-m2-2m+3），∴-m2-2m=-m，解得：m=0（舍）或m=-1即N点横坐标为-1.②当∠ANP=90°时，同理，AP=PN，即m+3=-（-m2-2m+3）解得：m=-3（舍）或m=2即N点横坐标为2.③当∠ANB=90°时，同理，即解得：m=或m=综上所述，N点的横坐标分别为：2，-1，或.