黑龙江省大庆市2022届高三上学期第一次教学质量检测数学（理）试题含答案

大庆市高三年级第一次教学质量检测试题

数学（理）

2021.11

本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损。

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，则

A． B．       C．      D．

2. 若复数，则的虚部为

A． B． C． D．

3. 命题“，”的否定是

A．， B．，

C．， D．，

4. 某团支部随机抽取甲乙两位同学连续9期“青年大学习”

的成绩（单位：分），得到如图所示的成绩茎叶图，关于这

9期的成绩，下列说法正确的是 

A.甲成绩的中位数为32     

B.乙成绩的极差为40

C.甲乙两人成绩的众数相等                

D.甲成绩的平均数高于乙成绩的平均数

5. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是

A.  B.        C.      D.

6. 与双曲线共焦点，且离心率为的椭圆的标准方程为

A．    B． C． D．

7. 函数的最大值为

A.              B.             C.             D.

8. 已知等差数列中，为其前项和，，，则

A.             B.              C.               D.

9. 已知向量，下列说法正确的是

A．，与的夹角不小于      B．，

C．，使得             D．，使得      

10. 定义新运算“” ：，则下列计算错误的是

A．                           B．

C.         D.

11. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点，的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.  若平面内两定点，间的距离为，动点满足，则的最大值为

A．       B．       C．        D．

12. 设，，，其中是自然对数的底数，则

A．    B．  C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.

13. 抛物线的焦点坐标为,则的值为                .

14. 若实数满足不等式组，则的最大值为                  .

15. 在中，角的对边分别为，设的面积为，若，则的最大值为                .

16. 如图，矩形中，为的中点，，将沿直线翻折成（不在平面内），连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是            .

①平面

②存在某个位置，使得

③线段长度为定值

④当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知数列是等差数列，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和．

18.（本小题满分12分）

国际学生评估项目（PISA），是经济合作与发展组织（OECD）举办的，该项目的内容是对15岁学生的阅读、数学、科学能力进行评价研究．在2020年的79个参测国家（地区）的抽样测试中，中国四省市（北京、上海、江苏、浙江）作为一个整体在所有参测国家（地区）中取得各项科目都第一的好成绩，某机构为了分析测试结果优劣的原因，从参加测试的中国学生中随机抽取了200名学生进行调研，得到如下统计数据：

若从上表“家长高度重视学生教育”的参测学生中随机抽取一人，则选到的是“成绩一般”的学生的概率为．

（Ⅰ）判断是否有99.9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关；

（Ⅱ）现从成绩优秀的学生中按照分层抽样的方法抽取20人．进行“家长对学生情感支持”的调查，再从这20人中抽取3人进行“学生家庭教育资源保障”的调查．记进行“学生家庭教育资源保障”调查中抽取到“家长高度重视学生教育”的人数为，求的分布列和数学期望．

附：，．

19.（本小题满分12分）

如图，平面，四边形为直角梯形，，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，点在线段上，且，求二面角的余弦值的绝对值．

20.（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为，，其离心率为. 椭圆的左、右顶点分别为，，且.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于点，（不与顶点重合），过右顶点分别作直线，与直线相交于，两点，以为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（Ⅰ）当时，证明：；

（Ⅱ）是否存在不相等的正实数，，满足，且？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

22. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）. 以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.

（Ⅰ）求曲线与曲线公共点的极坐标；

（Ⅱ）若点的极坐标为，设曲线与轴相交于点，点在曲线上，满足，求出点的直角坐标.

23. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数．

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）设函数的最小值为，若实数，，满足，求的最大值．

黑龙江省大庆市2022届高三第一次教学质量检测

数学（理）试题参考答案

一．

二．13．   14．   15． 16．①③④ 

17．解：（1）

由成等差数列，设公差为,则……………………………3分

∴；…………………………………………6分

（2）由（1）可得，……………………8分

∴ 10分

……………12分

18．解：（1）由条件知，解得，

，，，..................................................2分

由题意得，，..........4分

有99.9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关．...6分

（2）从成绩优秀的选手中按照分层抽样的方法抽取20人，则“家长高度重视学生教育”的应抽取15人，“家长重视学生教育度一般”的应抽取5人．

由题意，的所有可能取值为0，1，2，3．...................................................7分

，，，．    ..........................................................................9分

的分布列为

....................10分

数学期望．...............12分

19. 解（1）证明：由题意易知．

作，垂足为H，则，故．……… 2分

，则．

由平面平面，则．………………… 4分

平面平面，且，

 平面．………………… 5分

由平面，则．………………… 6分

（2）解：因为，且，所以．

以A为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．..............................................................................7分

则，...................................................8分

从而．…………………8分

设平面的法向量为．

则

令，得．………………… 9分

设平面的法向量为，

则令，得．…………………10分

设二面角为，由图可知为锐角，

则． ………………… 12分

20. 解：（Ⅰ）由离心率.且左右顶点间距离为，

所以，，，    .......................................2分

∴椭圆的标准方程为.…………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，由题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，

代入椭圆的方程，整理得.………………6分

设，，则，②

由直线，令，

得，同理，                      …………8分

∴以为直径的圆的方程为，

即，③

由②得，

代入③得圆的方程为.…………………………10分

若圆过定点，则…………………………11分

解得或

∴以为直径的圆恒过两定点，.…………………………12分

21.解（1）当时，，即，也即.

令，则.………………………2分

由得，.

当时，，是减函数；当时，，是增函数.

∴，所以原不等式成立. ………………………4分

（2）由及得，即.

由于为不相等的正实数，则问题转化为关于的方程有不等于1的正实根. ................................................................................................5分

令，

当时，若，则，若，则，

∴当时，方程没有不等于1的正实根；              ………………………7分

当时，令，得，

当时，，是减函数；当时，，是增函数，

∴的最小值为，

又，当，即时，是函数唯一的零点，不合题意；                                                            ………………9分

当，即时，，.

令，则，

∴当时，，是减函数，当时，，是增函数，

由此，显然.         ………………………10分

∴在上存在零点.

当，即时，，

∴，，则在上存在零点..................11分    

综上所述，的取值范围是.           ………………………12分

22、解：（1）由题知，曲线消去参数得到曲线的直角坐标方程为，

曲线消去参数得到曲线的直角坐标方程为，.................2分

联立与的直角坐标方程解得或，

故两曲线的公共点的直角坐标为和，    …………………………3分

∴曲线与曲线的公共点的极坐标为，；     ………………5分

（2）点的直角坐标为，点的直角坐标为，

假设存在点满足条件，不妨设点，

则 ，……………7分

因为，所以，即，且，

得，化简得，

联立，得或，

所以点或（舍）             …………………………9分

即在曲线上存在点，使得．…………………………10分

23、解：（1）由题意，函数，

由不等式，即不等式

当时，，解得；   

当时，，解得；   

当时，，解得， …………………………3分

综上可得，原不等式的解集为．      …………………………5分

（2）由，

当且仅当，即时等号成立，所以．…………………………6分

由，

则利用柯西不等式得，………………8分

则，

当且仅当时，的最大值为．…………………………10分