选择性必修 第一册3.2 双曲线第一课时习题

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3.2.1  双曲线考点一  双曲线的定义【例1】（1）（2020·日喀则市拉孜高级中学高二期末（文））到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（　　）A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段（2）（2020·甘肃省民乐县第一中学高三其他（理））已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（    ）A．38 B．24 C．38或10 D．24或4【答案】（1）B（2）B【解析】（1）∵到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6，而|F1F2|＝6，∴满足条件的点的轨迹为两条射线．故选B．（2）由题意可得，，，因为，所以点P在双曲线C的下支上，则，故．故选：B.【一隅三反】1．（2020·广东濠江.金山中学高三三模（文））已知，则动点的轨迹是（　）A．一条射线 B．双曲线右支 C．双曲线 D．双曲线左支【答案】A【解析】因为，故动点的轨迹是一条射线，其方程为：，故选A.2（2020·浙江杭州.高二期末）已知平面中的两点，则满足的点M的轨迹是 （    ）A．椭圆 B．双曲线 C．一条线段 D．两条射线【答案】B【解析】由题意得：，且=4,因为，因此符合双曲线的定义，故点M的轨迹是双曲线，故选：B.3．（2020·浙江瓯海.温州中学高二期末）双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，若，则（    ）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】双曲线的，
点在双曲线的右支上，可得，
点在双曲线的左支上，可得，
由可得在双曲线的左支上，可得，即有.　故选：B.考点二 双曲线定义的运用【例2】（1）（2020·江西高二期末（文））已知双曲线，直线l过其左焦点，交双曲线左支于A、B两点，且，为双曲线的右焦点，的周长为20，则m的值为  （   ）A．8 B．9 C．16 D．20(2)（2020·四川南充.高二期末（理））设分别是双曲线的两个焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于A． B． C． D．【答案】（1）B(2)D【解析】（1）由已知，|AB|+|AF2|+|BF2|＝20，又|AB|＝4，则|AF2|+|BF2|＝16．据双曲线定义，2a＝|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF1|，所以4a＝|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）＝16﹣4＝12，即a＝3，所以m＝a2＝9，故选B．(2)设，则由双曲线的定义可得故，又，故，故，所以的面积为.故选：D.【一隅三反】1．（2020·宁夏兴庆.银川九中）已知是双曲线的两个焦点，点为该双曲线上一点，若，且，则（    ）A．1 B． C． D．3【答案】A【解析】双曲线化为标准方程可得即 由双曲线定义可知,所以,又因为,所以,由以上两式可得,由得,所以,解得,故选:A.2．（2020·武威第八中学高二期末（理））已知双曲线:的左右焦点分别为,为的右支上一点,且,则的面积等于A． B． C． D．【答案】C【解析】∵双曲线中∴∵∴作边上的高，则∴∴的面积为故选C3．（2020·吉林松原）已知点是双曲线上一点，，分别为双曲线的左､右焦点，若的外接圆半径为4，且为锐角，则（    ）A．15 B．16 C．18 D．20【答案】B【解析】依题意，.在三角形中， ，由正弦定理得，即，由于为锐角，所以.根据双曲线的定义得.在三角形中，由余弦定理得，即，即，即，所以.故选：B【例2-2】（2020·安徽贵池。池州一中高二期末（理））方程表示双曲线的充分不必要条件是（    ）A． 或 B． C． D． 或【答案】C【解析】方程表示双曲线，可得，解得或；记集合或；所以方程表示双曲线的充分不必要条件为集合的真子集，由于，故选：．【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）若m为实数，则“”是“曲线C：表示双曲线”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程表示双曲线，则，得，由可以得到，故充分性成立；由推不出，故必要性不成立；则“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选：．2．（2020·辽宁高三其他（理））若，则是方程表示双曲线的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为方程表示双曲线，所以，解得，因为，所以是方程表示双曲线的必要不充分条件，故选：B3．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高二期末（文））若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】把曲线转化为，因为曲线表示焦点在轴上的双曲线，所以，即，解得.故选：B. 考点三 双曲线标准方程【例3】（2019·吴起高级中学高二期末（理））在下列条件下求双曲线标准方程（1）经过两点；（2），经过点，焦点在轴上.(3)过点(3，－)，离心率e＝；(4)中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－)．【答案】（1）;（2）（3） ； （4）.【解析】（1）由于双曲线过点，故且焦点在轴上，设方程为，代入得，解得，故双曲线的方程为.（2）由于双曲线焦点在轴上，故设双曲线方程为.将点代入双曲线方程得，解得，故双曲线的方程为.(3)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为(a＞0，b＞0)．因为双曲线过点(3，－)，则.①又e＝，故a2＝4b2.②由①②得a2＝1，b2＝，故所求双曲线的标准方程为.若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为 (a＞0，b＞0)．同理可得b2＝－ ，不符合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为.(4)由2a＝2b得a＝b，所以 e＝，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点P(4，－ )，所以 16－10＝λ，即λ＝6.所以 双曲线方程为x2－y2＝6.所以 双曲线的标准方程为.【一隅三反】1．（2019·重庆大足）焦点在轴上，实轴长为4，虚轴长为的双曲线的标准方程是(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】因为双曲线的实轴长是，虚轴长是所以，所以所以双曲线的标准方程是故选：A2．（2020·四川高二期末（文））已知离心率为2的双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】双曲线与椭圆有公共焦点由椭圆可得双曲线离心率，双曲线的方程为：故选：C3．（2020·河南林州一中高二月考（理））已知双曲线的一条渐近线方程为，为该双曲线上一点，为其左、右焦点，且，，则该双曲线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则由渐近线方程为，，又，所以两式相减，得，而，所以，所以，所以，，故双曲线的方程为.故选：D4．（2020·全国）已知是双曲线的左焦点，过作一条渐近线的垂线与右支交于点，垂足为，且，则双曲线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】设双曲线右焦点为，连接，左焦点到渐近线的距离为，故，在中，，由双曲线定义得，在中，由余弦定理得，整理得，即，又，解得，，双曲线方程为.故选：D.考点四 渐近线【例4】（2020·湖南开福）已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则双曲线的渐近线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，且满足，可得，，，由双曲线的定义可知，即，又由，所以双曲线的渐近线方程为.故选：C.【一隅三反】1．（2020·浙江柯桥）双曲线的渐近线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程满足，整理可得.故选：A.2．（2020·邢台市第八中学高二期末）双曲线的顶点到渐近线的距离是__________.【答案】【解析】双曲线的标准方程为，故双曲线顶点为，渐近线方程为.点到直线的距离为.故填.3．（2020·云南省下关第一中学）已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则的渐近线方程为(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知的焦点坐标为，顶点为，故渐近线方程为.故选:A.5．（2020·全国高三三模（文））已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，点．若周长的最小值为，则双曲线的渐近线方程为________．【答案】【解析】的周长为，故，而，故，所以双曲线的渐近线方程为．故答案为：