高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.3 二项式定理随堂练习题

6.3  二项式定理（精讲）

考法一 二项式定理展开式

【例1】(1)求的展开式为                    ．

（2）（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）已知，则的值为             

【答案】（1）＋＋54＋108x＋81x2

【解析】（1）方法一　4＝(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.

方法二　4＝4＝(1＋3x)4＝·[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2.

（2）由得

则，即，解得.

【一隅三反】

1．（2021·全国课时练习）化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是(　　)

A．(2x+2)5 B．2x5

C．(2x-1)5 D．32x5

【答案】D

【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作，故为的展开式，化简.故选D.

2．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）化简：_________.

【答案】

【解析】

则

所以故答案为：.

考法二 二项式指定项的系数与二项式系数

【例2】（1）（2020·全国高二单元测试）在(x-)10的展开式中，x6的系数是        

（2）（2020·广东佛山市·高二期末）二项式的展开式中常数项是______（用数字作答）

（3）（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考）的有理项共有      项

【答案】（1）9（2）70（3）6

【解析】（1）由Tk+1=x10-k(-)k，令10-k=6，解得k=4，∴系数为(-)4=9

（2）二项式的展开式的通项公式，令，得,则常数项为，故答案为：70

（3）的通项公式为：，

，

，

，

所以有理项共有6项，故选：C

【一隅三反】

1．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）二项式的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）

【答案】60

【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为：

令可得 ，此时.

2.（2021·上海青浦区）在二项展开式中，常数项是_______.

【答案】60

【解析】展开式的通项公式是，当时，

.故答案为60

3.．（2020·青海西宁市）若的展开式中的系数为7，则实数=______.

【答案】

【解析】根据二项展开式的通项公式可得：，

令，可得，，解得：，故答案为：

4．（2020·梁河县）已知的展开式的常数项是第7项，则________.

【答案】8

【解析】根据题意，可知第7项为，而常数项是第7项，则

，故.故答案为：8.

考法三 多项式系数或二项式系数

【例3】（1）（2020·福建三明市·高二期末）的展开式中常数项是（    ）

A．-252 B．-220 C．220 D．252

（2）．（2021·四川成都市）若的展开式中常数项为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】（1）A（2）C

【解析】(1）由，

可得二项式的展开式通项为，

令，解得，所以展开式的常数项为.故选：A.

（2）的展开式的通项公式为：，显然，为奇数，

若求展开式的常数项，，解得

故的展开式的常数项等于：故选：C.

【一隅三反】

1．（2020·全国高三专题练习）展开式中常数项为（    ）.

A．11 B． C．8 D．

【答案】B

【解析】将看成一个整体，展开得到：

的展开式为：取

当时， 系数为： 当时， 系数为：

常数项为 故答案选B

2．（2020·全国高三专题练习）的展开式中常数项为(   )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】 的通项为， ，根据式子可知当 或 时有常数项，令 ; 令;故所求常数项为 ，故选C.

3．（2020·河南商丘市）的展开式的常数项为（    ）

A．6 B．10 C．15 D．16

【答案】D

【解析】由题意得的展开式的通项为，

令，则，所以的展开式的常数项为.故选：D.

4．（2020·枣庄市第三中学高二月考）在的展开式中，x2项的系数为（    ）

A．30 B．45 C．60 D．90

【答案】B

【解析】在的展开式中，通项公式为Tr+1•.

对于，通项公式为Tk+1•xr﹣2021k，k≤r，r、k∈N，r≤10.

令r﹣2021k＝2，可得r＝2+2021k，故k＝0，r＝2，故x2项的系数为•45，故选：B.

5．（2020·全国高二专题练习）若的展开式中的系数为，则等于（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【解析】将题中所给式子可化为

根据二项式定理展开式通项为,的通项为

令 解得

所以的项为令解得

所以的项为

综上可知, 的系数为 解得 故选:D

考法四  二项式定理的性质

【例2】（1）（多选）（2020·全国高二单元测试）的展开式中二项式系数最大的项是（    ）

A．第5项 B．第6项

C．第7项 D．第8项

（2）（2020·山东省桓台第一中学高二期中）（多选）二项式的展开式中，系数最大的项为（    ）.

A．第五项 B．第六项 C．第七项 D．第八项

（3）（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高二开学考试）若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是

A． B．

C． D．

【答案】（1）BC（2）BC（3）D

【解析】(1）因为n＝11为奇数，所以展开式中第项和第项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.故选：BC

（2）二项式的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项

所以系数最大的项为第六项和第七项故选：BC

（3）∵的展开式中只有第项的二项式系数最大，∴为偶数，展开式共有项，则.

的展开式的通项公式为，令，得.

∴展开式中含项的系数是，故选D．

【一隅三反】

1．（2020·辽宁沈阳市·高二期中）在的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则的二项展开式中的常数项为（   ）

A．960 B．1120 C．-560 D．-960

【答案】B

【解析】在（x﹣1）n（n∈N+）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n=8，

则=的二项展开式的通项公式为Tr+1=•28﹣r•（﹣1）r•x4﹣r，

令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为•24•（﹣1）4=1120，故选B．

2．（2021·湖南常德市）的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（ ）

A．    B．    C．10    D．20

【答案】C

【解析】由已知，当时，即，所以展开式中常数项为，故选.

3．（多选）（2020·三亚华侨学校高二开学考试）已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】ABC

【解析】∵已知的展开式中第5项的二项式系数最大,则或n＝8或n＝9故选：ABC.

4．（2020·全国高二课时练习）已知展开式中各项系数的和为m，且，求展开式中二项式系数最大的项的系数               .

【答案】59136

【解析】设，令，得，

所以，则展开式中有13项，且中间一项（第7项）的二项式系数最大，

该项为.故所求的系数为59136.

5．（2020·重庆市第七中学校高二月考）二项式 的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是_________．

【答案】-20

【解析】由题意知，展开式中有7项，．因为

令，得，所以常数项为．

考法五 二项式系数或系数和

【例5】（2020·安徽省泗县）若.

求：（1）；

（2）；

（3）.

【答案】（1）27；（2）14；（3）27.

【解析】（1）令，可得，

∴．①

（2）令可得，

∴．②

由①②得，

∴．

（3）由题意得二项式展开式的通项为，

∴每项的系数，

∴．

【一隅三反】

1．（2020·北京朝阳区·高二期末）在的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有项的系数之和为_______.

【答案】       

【解析】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为，

令可得所有项的系数之和为，故答案为：，

2．（2020·全国高二单元测试）若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝       

【答案】1

【解析】令，得，令，得，

.故选：A.

3．（2020·福建厦门市·厦门双十中学高二期中）已知 ，则_____.

【答案】

【解析】对等式两边求导，得，令，则.

4．（2020·宁县第二中学高二期中）设展开式中只有第1010项的二项式系数最大．

（1）求n；

（2）求;

（3）求..

【答案】（1）2018；（2）；（3）-1.

【解析】（1）由二项式系数的对称性，

（2）

（3）令 ，得，
令，得，故.

考法六 二项式定理运用

【例6】（1）（2020·上海市七宝中学高二期中）除以100的余数是________

（2）（2020·全国高二单元测试）的计算结果精确到0.01的近似值是_________

【答案】（1）41（2）1.34

【解析】（1）

即除以100的余数为．故答案为：．

（2）故答案为：

【一隅三反】

1．（2020·四川棠湖中学高二月考）已知能够被15整除，则________.

【答案】14

【解析】由题可知，

所以，

而75能被15整除，要使能够被15整除，只需能被15整除即可，

所以，解得：.故答案为：14.

2．（2020·江苏泰州市·泰州中学高二期中）被除所得的余数是_____________．

【答案】1

【解析】因为

，

所以转化为求被除所得的余数，

因为，所以被除所得的余数是1，故答案为：1

3．（2021·河北保定市）的计算结果精确到0.001的近似值是       

【答案】0.941

【解析】

故选B