人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算优秀一课一练

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6.2平面向量的运算
拓展练习

1. （2021高一下·滨海新月考）在 △ABC 中 AB=a ， CB=b ，则 CA 等于（    ）
A. a+b                               B. a−b                               C. b−a                               D. −a−b
【答案】 C
【考点】向量加减混合运算及其几何意义
【解析】CA=CB+BA=b−AB=b−a ，
故答案为：C.
【分析】根据题意由向量的加减运算法则计算出结果即可。
2. 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B→=a→ ， A1D1→=b→ ， A1A→=c→.则下列向量中与B1M→相等的向量是（   ）

A. −12a→+12b→+c→               B. 12a→+12b→+c→               C. 12a→−12b→+c→               D. −12a→−12b→+c→
【答案】 A
【考点】向量的加法及其几何意义
【解析】=+（－)=－++．
3. （2021高一下·武清月考）下列四个结论，正确的个数是（    ）
①在 △ABC 中，若 A>B>C ，则 sinA>sinB>sinC ；②若 a//b ，则存在唯一实数 λ 使得 a=λb ；③若 a//b ， b//c ，则 a//c ；④在 △ABC 中，若 (AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0 ，且 AB|AB|⋅AC|AC|=12 ，则 △ABC 为等边三角形；
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
【答案】 B
【考点】向量的共线定理，正弦定理，三角形的形状判断
【解析】①在 △ABC 中，若 A>B>C ，则 a>b>c ，由正弦定理可得： sinA>sinB>sinC ，所以正确.
②若 a//b 且 b≠0 ，则存在唯一实数 λ 使得 a=λb ，故当 b=0 时，②不正确.
③当 b=0 时，满足 a//b ， b//c ，但 a 与 c 不平行，故不正确.
④在 △ABC 中， AB|AB| 为 AB 方向的单位向量， AC|AC| 为 AC 方向的单位向量，
设 △ABC 中， ∠A 的角平分线交 BC 于点 D .

所以 AB|AB|+AC|AC| 在 ∠A 的角平分线 AD 上，由 (AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0
所以 AD⊥BC ， 所以 AB=AC
又 AB|AB|⋅AC|AC|=|AB||AB|⋅|AC||AC|×cosA=12 ，所以 cosA=12 ，又 A∈(0,π)
所以 A=π3 ，所以 △ABC 为等边三角形，故④正确.
故答案为：B
【分析】 由角的大小即可得出边的大小再由正弦定理即可判断出①正确，由向量共线的性质即可得出a=λb由此即可判断出②错误，由特殊情况b=0即可得出结论不成立由此判断出③错误，在三角形ABC中，由AB|AB|+AC|AC|即可得出在∠A 的角平分线 AD 上，由此即可得出AB=AC从而得到AB|AB|⋅AC|AC|=|AB||AB|⋅|AC||AC|×cosA=12进而求出cosA=12 ， 即A=π3 ， 从而即可判断④正确；由此即可得出答案。
4. （2021高一下·福州月考）已知菱形 ABCD 中， ∠BAD=60∘ ， AB=3 ， DF=13DC ， AE=34AC ，则 BF⋅DE= （    ）
A. 89                                      B. −218                                      C. −34                                      D. 43
【答案】 B
【考点】向量加减混合运算及其几何意义，向量的线性运算性质及几何意义，平面向量数量积的运算
【解析】由题 AE=34AC=34(AB+AD) ， DF=13DC=13AB ，
所以 DE=AE−AD=34AB−14AD ， BF=AD+DF−AB=AD−23AB ，
所以 BF⋅DE=34AB⋅AD−12AB2−14AD2+16AB⋅AD =−12AB2−14AD2+1112AB⋅AD ，
在菱形 ABCD 中， ∠BAD=60∘ ， AB=AD=3 ，
则 AB2=9 ， AD2=9 ， AB⋅AD=3×3×cos60∘=92 ，
所以 BF⋅DE=−12AB2−14AD2+1112AB⋅AD=−12×9−14×9+1112×92=−218 .
故答案为：B.
【分析】由向量的加、减运算法则以及数量积运算公式结合菱形的性质计算出结果即可。
5. （2020高二下·成华期中）已知空间四边形 OABC ，其对角线 OB 、 AC ， M 、 N 分别是边 OA 、 CB 的中点，点 G 在线段 MN 上，且使 MG=2GN ，用向量 OA,OB,OC ，表示向量 OG 是 (    )
A. OG=OA+23OB+23OC                                 B. OG=12OA+23OB+23OC
C. OG=16OA+13OB+13OC                              D. OG=16OA+13OB+23OC
【答案】 C
【考点】向量加减混合运算及其几何意义，向量的线性运算性质及几何意义
【解析】解： ∵ OG=OM+MG=OM+23MN
=OM+23(MO+OC+CN)
=13OM+23OC+13(OB−OC)
=16OA+13OB+13OC
∴ OG=16OA+13OB+13OC

故答案为：C．
【分析】根据题意由向量的线性运算以及向量的加减法运算即可得出答案。
6. （2019高一下·衢州期中）化简 AC−BD+CD−AB 得（    ）
A. 0                                       B. DA                                       C. BC                                       D. AB
【答案】 A
【考点】向量加减混合运算及其几何意义
【解析】由题 AC→−BD→+CD→−AB→=(AC→−AB→)−BD→+CD→
=BC→−BD→+CD→=DC→+CD→=0→ ，
故答案为：A.
【分析】利用向量的加法和减法的运算法则进行计算，即可得结果.
7. （2020高三上·湖北月考）如图，在 △ABC 中， BC=4 ， BA⋅BC=4 ，点 P 为边 BC 上的一动点，则 PA⋅PC 的最小值为（    ）

A. 0                                        B. -2                                        C. −94                                        D. -3
【答案】 C
【考点】基本不等式在最值问题中的应用，向量的加法及其几何意义，平面向量数量积的运算
【解析】如图所示，作 AO⊥BC

∵BA⋅BC=4 ， |BC|=4 ， ∴|BA|⋅|BC|cosB=4 ，
可得 |BA|cosB=1 ，即 |BO|=1 ， ∴|CO|=3
利用向量的三角形法则，可知
PA⋅PC=(PO+OA)⋅PC=PO⋅PC
若 P 与O重合，则 PA⋅PC=0
若 P 在O左侧，即 P 在 OB 上时, PA⋅PC=|PO|⋅|PC|
若 P 在O右侧，即 P 在 OC 上时， PA⋅PC=−|PO|⋅|PC| ，显然此时 PA⋅PC 最小，利用基本不等式 −|PO|⋅|PC|≥−(|PO|+|PC|2)2=−94 （当且仅当 |PO|=|PC| ，即 P 为 OC 中点时取等号）
故答案为：C.
【分析】作辅助线 AO⊥BC ，利用向量数量积公式，可求得 |BO|=1 ， |CO|=3 ，再利用向量的三角形法则，将求 PA⋅PC 的最小值，转化为求 PO⋅PC 得最小值，然后分类讨论 P 与O的位置关系，可知 P 在O右侧时， PA⋅PC 最小，再利用基本不等式求最值.
8. 在△ABC中，E，F分别为AB，AC中点，P为EF上任意一点，实数x,y满足PA→+xPB→+yPC→=0→ ， 设△ABC，△PCA，△PAB的面积分别为S,S2,S3 ， 记S1S=λ1,S2S=λ2,则λ1,λ2取得最大值时，2x+3y的值为(   )

A. −52                                        B. 52                                        C. −32                                        D. 32
【答案】 B
【考点】基本不等式，向量的加法及其几何意义
【解析】由为， =.又因为.所以.即.当且仅当时取到最大值.即P为线段EF的中点.连结AP并延长交BC于D点.所以点D是BC的中点. .又因为， 所以可得.所以的值为.

9. 设k∈R，对任意的向量a→ ， b→和实数x∈[0，1]，如果满足|a→|=k|a→-b→|，则有|a→-xb→|≤λ|a→-b→|成立，那么实数λ的最小值为（　　）
A. 1                                    B. k                                    C. k+1+k−12                                    D. k+1−k−12
【答案】 C
【考点】向量的三角形法则
【解析】解：当向量a→=b→时，可得向量a→ ， b→均为零向量，不等式成立；

当k=0时，即有a→=b→ ， 则有|a→-xb→|≤λ|a→-b→|，即为x|b→|≤λ|b→|，
即有λ≥x恒成立，由x≤1，可得λ≥1；
当k≠0时，a→≠b→ ， 由题意可得有|a→-xb→|≤λ|a→-b→|=λk|a→|，
当k＞1时，|a→|=k|a→-b→|＞|a→﹣b→|，
由|a→﹣xb→|≤|a→﹣b→|＜|a→|，可得：
≤1，则有λk≥1，即λ≥k．
即有λ的最小值为k+1+k−12 ．
故选：C．
【分析】当向量a→=b→时，可得向量a→ ， b→均为零向量，不等式成立；由k=0，可得x|a→|≤λ|b→|，即有λ≥x恒成立，由x≤1，可得λ≥1；再由绝对值和向量的模的性质，可得≤1，则有λk≥1，即λ≥k．即可得到结论．
10. （2019高三上·北京月考）已知正方形 ABCD 的中心为 O ，且边长为1，则 (OC−OB)⋅(AB+AD)= （    ）
A. -1                                       B. −2                                       
C. 1                                       D. 2
【答案】 C
【考点】向量的三角形法则，平面向量数量积的运算
【解析】在正方形 ABCD ,有 AC=2 ,
∴(OC−OB)⋅(AB+AD)=BC⋅AC=AD⋅AC=|AD|⋅|AC|⋅cosπ4=1 ,
故答案为：C.
【分析】运用三角形法则和平行四边形法则将式子化简,再利用数量积公式求解即可.
11. （2018高三上·长春期中）如图所示，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O ， E 为 AO 的中点，若 DE=λAB+μAD （ λ 、 μ 为实数），则 λ2+μ2   = （    ）

A. 58                                          B. 14                                         
 C. 1                                          D. 516
【答案】 A
【考点】向量加减混合运算及其几何意义
【解析】DE=12DA+12DO = 12DA+14DB = 12DA+14(DA+DC)
= 14AB−34AD ．
∴ λ=14，μ=−34 ， λ2+μ2 = 58
故答案为：A.
【分析】运用向量的加减法，用所求两个向量表示向量DE，运用待定系数法，即可得出答案。
12. （2017·榆林模拟）| OA |=1，| OB |= 3 ， OA • OB =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设 OC =m OA +n OB （m、n∈R），则 mn 等于（   ）
A. 13                                         B. 3                                         C. 33                                         D. 3
【答案】B
【考点】向量的模，向量的共线定理
【解析】解：法一：如图所示： OC = OM + ON ，设 |ON| =x，则 |OM| = 3x ． OC=3x⋅OB|OB|+x⋅OB|OB| = 3xOA+33xOB ∴ mn = 3x33x =3．
法二：如图所示，建立直角坐标系．
则 OA =（1，0）， OB =（0， 3 ），
∴ OC =m OA +n OB
=（m， 3 n），
∴tan30°= 3nm = 33 ，
∴ mn =3．
故选B

【分析】将向量 OC 沿 OA 与 OB 方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有点C在∠AOB内的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向30°角的位置，请大家注意分类讨论，避免出错．
13. （2016·连江模拟）如图，在△ABC ， 设AB→=a→,AC→=b→ ， AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若AP→=ma→+nb→ ， 则m+n=（    ）


A. 1                                          B. 12                                          
C. 23                                        D. 67
【答案】 D
【考点】向量的加法及其几何意义，向量的三角形法则
【解析】设， 根据向量加法的平行四边形法则，有， 所以
【分析】解决本小题的关键是用已知向量表示未知向量.
14. 下面四个式子中不能化简成 AD 的是（   ）
A. MB−DA−BM                                               B. NC−NA+CD   
C. (AB−DC)+BC                                               D. (AD−BM)+(BC−MC)
【答案】 A
【考点】向量加减混合运算及其几何意义
【解析】解：因为 MB−DA−BM =2 MB ﹣ DA ≠ DA ，故A错，
因为 NC ﹣ NA+CD = NC+AN + CD = AC+CD = AD ，故B对；
因为 AB−DC+BC = AB+BC+CD = AD ，故C对；
因为 AD−BM + BC−MC = AD +（ BC+CM+MB ）= AD ，故D对．
故选A．
【分析】直接利用向量加减法混合运算的性质，我们可以逐一的对四个结论进行判断，易得答案．
15. 已知AD为△ABC的中线，则 AD =（   ）
A. AB + AC                   B. AB ﹣ AC                   C. 12 AB ﹣ 12 AC                   D. 12 AB + 12 AC
【答案】 D
【考点】向量的加法及其几何意义
【解析】解：∵AD为△ABC的中线，
∴由平行四边形法则得：
AD = 12 （ AB+AC ）= 12AB+12AC ．
故选：D．

【分析】由AD为△ABC的中线，利用平行四边形法则能求出 AD ．
16. （2018·河北模拟）如图，在等腰梯形 ABCD 中， DC=12AB,BC=CD=DA ， DE⊥AC 于点 E ，则 DE= （   ）

A.                  B.                  
C.                  D. 
【答案】 A
【考点】向量的三角形法则
【解析】因为 DC=12AB,BC=CD=DA ， DE⊥AC
所以 E 是 AC 的中点，

可得 DE=12DA+12DC=12(DC+CA)+12DC
=DC−12AC=12AB−12AC ，
故答案为： A .
【分析】根据题意得出 E 是 AC 的中点，利用向量的三角形法则得出结果。
17. 设P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则① ＋ ＝ ＋ ；② ＋ ＝ ＋ ；③ ＋ ＝ ＋ 中成立的序号为       ．
【答案】 ②
【考点】向量的三角形法则，向量加减混合运算及其几何意义
【解析】以PA、PC为邻边作平行四边形PAEC，则PE与AC交于AC中点O，同样以PB、PD为邻边作平行四边形PBFD，对角线BD与PF交于BD中点O′，则O与O′重合，∴ ＋ ＝ ＋ .
【分析】本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据平行四边形的性质结合所给向量满足的关系进行分析即可.
18. （2017高一上·武邑月考）化简： (AC−DP+BA)+(CP−BD)=        ．
【答案】 0
【考点】相等向量与相反向量，向量的加法及其几何意义，向量的减法及其几何意义
【解析】AC+CP+PD+DB+BA=0
【分析】减去一个向量可以转化为加上这个向量的相反向量，根据向量加法的三角形法则得到结果。
19. （2021高三下·四川月考）在边长为2的等边 △ABC 中， D 为 BC 的中点， E ， F 是线段 AC 的三等分点，则 AD→⋅(BE→+BF→) =       ．
【答案】 -3
【考点】向量加减混合运算及其几何意义，平面向量数量积的运算
【解析】设 AC 中点为 G ，由题意可得 BE→+BF→=2BG→ ，

所以 AD⋅(BE+BF)=2AD⋅BG=12(AB +AC)⋅(BA+BC)
=12(AB→+AC→)⋅(AC→−2AB→)=12(AC→2−AB→⋅AC→−2AB→2)=12(4−4cosπ3−8)=−3
故答案为：-3
【分析】根据题意由数量积的运算性质以及向量加、减运算法则整理计算出结果即可。
20. （2018高一下·南平期末）矩形 ABCD 的两条对角线交于点 O ，已知点 E 为线段 AO 的中点，若 DE=MAB+nAD ，其中 m,n 为实数，则 m+n 的值为      .
【答案】 −12
【考点】相等向量与相反向量，向量加减法的应用
【解析】解：根据题意得到 DE=DA+14(AD+AB)=14AB−34AD ，根据向量相等的概念得到 m=14,n=−34.m+n=−12.  
故答案为： −12 .
【分析】由向量的加减运算对向量进行转化，结合向量相等的概念求出答案。
21. （2020高一下·黄梅开学考）平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知A(3,1),B(-1,3),若点C满足 OC=αOA+βOB ,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为________
【答案】 x+2y-5=0
【考点】向量的共线定理，轨迹方程
【解析】因为 OC=αOA+βOB ,且α+β=1，所以A,B,C三点共线，
因此点C的轨迹为直线AB: y−1=1−33+1(x−3)∴x+2y−5=0.
【分析】根据题意由向量共线定理即可得出A,B,C三点共线，根据直线的点斜式求出点C的轨迹的方程即可。
22. （2020高一下·红桥期中）计算： QP→+NQ→+MN→−MP→= ________．
【答案】 0
【考点】向量加减混合运算及其几何意义
【解析】由向量加法的交换律、向量加法的三角形法则和向量减法法则可得 QP+NQ+MN−MP=NQ+QP+(MN−MP)=NP+PN=0 .
故答案为： 0 .
【分析】根据向量加法的交换律、向量加法的三角形法则和向量减法法则进行运算，即得答案.
23. （2021·静安模拟）在△ABC中，AB＝2，AC＝1，D为BC的中点，则 AD⋅BC ＝   1   .
【答案】 −32
【考点】向量的三角形法则，平面向量数量积的运算
【解析】AD⋅BC=12(AB+AC)⋅(AC−AB)=12(AC2−AB2)=−32
【分析】 利用向量的三角形法则、数量积运算性质即可得出．
24. （2020高三上·莱州月考）已知 △ABC 是等腰直角三角形， |AC|=|BC|=1,CP=2(CA+CB) ，则 AP⋅BP=       
【答案】 4
【考点】向量加减混合运算及其几何意义，平面向量数量积的运算
【解析】∵ AP=AC+CP=CA+2CB,BP=BC+CP=2CA+CB .
∴ AP⋅BP=(CA+2CB)⋅(2CA+CB)=2CA2+2CB2=4 ，
故答案为4.
【分析】根据题意由向量的加减运算性质，结合数量积的运算公式整理即可得出答案。
25. （2019高一下·安徽期中）已知向量 a,b 不共线， m=2a−3b ， n=3a+kb ，如果 m∥n ，则 k= ________．
【答案】 −92
【考点】向量的共线定理
【解析】由题意，向量 m//n ，所以 2a−3b=λ(3a+kb) ，
则 3λ=2 且 λk=−3 ，解得 k=−92 .
【分析】由向量 m//n ，所以 2a−3b=λ(3a+kb) ，得到 3λ=2 且 λk=−3 ，即可求解，得到答案．
26. （2020高一下·揭阳月考）已知A（1，2）和B（3，2），若向量 a ＝（x+3，x2－3x－4）与 AB 相等，则x = ________;
【答案】 -1
【考点】相等向量与相反向量，平面向量的坐标运算
【解析】∵ A(1,2) ， B(3,2) ，
∴ AB→=(2,0) ，
又 ∵ 向量 a→=(x+3,x2−3x−4) 与 AB→ 相等，
∴ {x+3=2x2−3x−4=0  ，解得： x=−1
【分析】首先求出向量 AB→ ，再由向量相等的定义可得关于 x 的方程组，解方程即可．
27. 在△ABC中，点M满足MA→+MB→+MC→=0→ ， 若AB→+AC→+mAM→=0→ ， 则实数m的值为      
【答案】 -3
【考点】相等向量与相反向量
【解析】∵△ABC中，点M满足MA→+MB→+MC→=0→
根据三角形重心的性质可得
M为△ABC的重心
则AM→=13（AB→+AC→）
又∵AB→+AC→+mAM→=0→
∴m=﹣3
故答案为：﹣3.
【分析】根据已知中在△ABC中，点M满足MA→+MB→+MC→=0→ ， 我们可以判断出M点为△ABC的重心，进而可得AM→=13（AB→+AC→），结合AB→+AC→+mAM→=0→即可求出实数m的值。
28. 在四面体O﹣ABC中，OA→=a→ ， OB→=b→ ， OC→=c→ ， D为BC的中点，则AD→=       （用a→b→c→表示）．
【答案】 12b→+12c→-a→
【考点】向量的三角形法则
【解析】在四面体O﹣ABC中，OA→=a→ ， OB→=b→ ， OC→=c→D为BC的中点，

∴
∴
故答案为：12b→+12c→-a→ ．
【分析】利用D为BC的中点，求出OD→ ， 从而求出AD→即可。