高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用优秀当堂检测题

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6.4平面向量的应用
拓展练习
1. （2021高三上·茂名月考）已知 A 是 △ABC 的内角，且 sinA+3cosA=−2 ，则 tanA 的值为（    ）
A. -1或7                                   B. −23 或1                                   C. -1                                   D. −23

2. （2021高二上·河南月考）△ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 a=36 ， B=π3 ， sinA=13 ，则 b= （    ）
A. 1                                         B. 3                                         C. 32                                         D. 34

3. （2021高三上·武功月考）ΔABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c ，若 sinA=13,b=3sinB ，则 a 等于（   ）
A. 33                                       B. 3                                       C. 32                                       D. 33

4. （2020高三上·芜湖期末）在 △ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，则“ a=2bsinA ”是“ B=π6 ”的（    ）．
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件

5. （2021·全国甲卷）在 △ABC 中，已知 B＝120∘，AC＝19，AB＝2 ，则 BC＝ (   )
A. 1                                         B. 2                                         C. 5                                         D. 3

6. （2021高一下·天津期中）为解决我校午餐拥挤问题，高一某班同学提出创想，计划修建从翔字楼四楼直达北院食堂二楼的空中走廊“南开飞云”，现结合以下设计草图提出问题：已知A ， D两点分别代表食堂与翔宇楼出入口，C点为D点正上方一标志物，AE对应水平面，现测得 ∠CAD=15∘,∠CBD=45∘,AB=50m,CD=25m ，设 ∠DAE=θ ，则 cosθ= （    ）

A. 6−24                               B. 23−3                               C. 3−1                               D. 32

7. （2020高二上·景德镇期末）在 △ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，已知 b=3 ， 2c−a=2bcosA ，则 a+c 的最大值为（    ）
A. 3                                      B. 23                                      C. 32                                      D. 2

8. （2021高一下·济南期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，c=1，则C的范围是（    ）
A. (0,π2)                                B. (π6,π3)                                C. (π6,π2)                                D. (0,π6]

9. （2021·深圳模拟）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为 3 ， △ABE ， △BEC ， △ECD 均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中， AC⋅BP 的最大值为（    ）

A. 18                                         B. 24                                         C. 36                                         D. 48

10. （2021高一下·海曙期中）已知 ΔABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若 c=2acosB ，则 ΔABC 一定为（   ）
A. 直角三角形                    B. 等腰三角形                    C. 等边三角形                    D. 等腰直角三角形

11. （2021高一下·滨海期末）如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点.将 △ ADE沿直线DE翻折成 △ A1DE(A1 ∉ 平面BCDE).若M在线段A1C上(点M与A1 ， C不重合)，则在 △ ADE翻折过程中，给出下列判断：

①当M为线段A1C中点时，|BM|为定值；
②存在某个位置，使DE ⊥ A1C；
③当四棱锥A1—BCDE体积最大时，点A1到平面BCDE的距离为 22 ；
④当二面角A1—DE—B的大小为 π3 时，异面直线A1D与BE所成角的余弦值为 35 .
其中判断正确的个数为（    ）
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4

12. （2021·浙江）已知 a,b∈R,ab>0 ，函数 f(x)=ax2+b(x∈R) .若 f(s−t),f(s),f(s+t) 成等比数列，则平面上点 (s,t) 的轨迹是（    ）
A. 直线和圆                      B. 直线和椭圆                      C. 直线和双曲线                      D. 直线和抛物线

13. （2021高一下·莆田期末）△ABC 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， 若 a=3 ， c=13 ， C=2π3 ，则 sinAsinB= （    ）
A.34
B.43
C.13
D.3

14. （2021高一下·成都月考）如图，在 △ABC 中， D 是边 AC 上的点，且 AB=AD ， 2AB=3BD ， BC=2DB ，则 sinC 的值为（    ）

A. 66                                      B. 63                                      C. 36                                      D. 33

15. （2021高一下·潍坊期末）南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 S=14[c2a2−(c2+a2−b22)2] ，其中 a 、 b 、 c 是 △ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边．若 ac=4 ， B=60∘ ，则 △ABC 的面积为（    ）
A. 3                                       B. 22                                       C. 4                                       D. 42

16. （2021·榆林模拟）在 △ABC 中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若 A=π3 ， b=4 ， △ABC 的面积为 33 ，则 sinB= （    ）
A. 23913                                   B. 3913                                   C. 5213                                   D. 31313

17. （2021高三上·海安开学考）汽车最小转弯半径是指当转向盘转到极限位置，汽车以最低稳定车速转向行驶时，外侧转向轮的中心平面在支承平面上滚过的轨迹圆半径．如图中的BC即是．已知某车在低速前进时，图中A处的轮胎行进方向与AC垂直，B处的轮胎前进方向与BC垂直，轴距AB为2.92米，方向盘转到极限时，轮子方向偏了30°，则该车的最小转弯半径BC为      米．


18. （2021高二上·河南月考）在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 sinA=2sinB,c2−b2=ab ，则 C=        ．

19. （2021高一下·青岛期中）在 △ABC 中，已知 AB=3,AC=2,BC=10 ，则 AB⋅BC=        ．

20. （2021·上海模拟）已知 △ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 a=4+22−c ， tanA=−7 ， cosC=34 ，则 △ABC 的面积为      .

21. （2021高一下·唐山期末）在 △ABC 中， a=1 ， b=3 ， A=π6 ，则 B=        ．

22. （2021高一下·东丽期末）小明爸爸开车以80km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，小明坐在车里向外观察，在点A处望见电视塔P在北偏东30°方向上，15分钟后到点B处望见电视塔在北偏东75°方向上，则汽车在点B时与电视塔P的距离是      km.


23. （2021高二上·焦作期中）在 △ABC 中，已知角 A ， B ， C 的对边 a ， b ， c 成等差数列，且 3csinA=4bsinC ，则 cosB=       .

24. （2021高一下·绵阳期末）数学兴趣小组为了测量电视塔 AB 的高度，在塔底水平面上设置两个观测点 C ， D ， CD 间距离为108米，在点 C 处测得 A ， D 的张角为60°，在点 D 处测得 A ， C 的张角为75°，测得点 B 的仰角为60°，则塔高 AB=       米.


25. （2020高二上·宝安期末）△ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 △ABC 的面积为 a2+b2−c24 ，则 C=       

26. （2021高一下·嘉兴期末）已知 △ABC 的面积为 22 ，用斜二测法画出其水平放置的直观图 △A'B'C' 如图所示，若 O'A'=O'B'=1 ，则 B'C' 的长为      .




练习答案

1. 【答案】 C
【考点】同角三角函数间的基本关系，解三角形
【解析】∵ sinA+3cosA=−2 ，
∴ sin2A+6sinAcosA+9cos2A=2⇒8cos2A+6sinAcosA=1
∴ tan2A−6tanA−7=0⇒tanA=−1 或 tanA=7 ．
由 0