高中数学6.4 平面向量的应用优秀一课一练

这是一份高中数学6.4 平面向量的应用优秀一课一练，文件包含64平面向量的应用学生版-2021-2022学年人教A版2019高一数学必修第二册docx、64平面向量的应用教师版-2021-2022学年人教A版2019高一数学必修第二册docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。

6.4 平面向量的应用

一、用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系．
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
二、利用向量证明平面几何问题
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
④把计算所得结果转化为几何问题．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③利用向量的坐标运算找到相应关系；
④利用向量关系回答几何问题．
三、利用平面向量求几何中的长度问题
用向量法求长度的策略
(1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解．
(2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝.
四、利用平面向量求几何中的角度问题
用向量法求角度的策略
(1)将要求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，然后求出该夹角，再转化为实际问题中的角即可．
(2)要注意，两向量夹角和要求角的关系．
五、向量与力
用向量解决物理问题的一般步骤
(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．
(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．
(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值．
(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．
六、向量与速度、加速度、位移
速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算．用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算．
七、向量与功
力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F和s的夹角)．
一、余弦定理的推导
1．余弦定理语言叙述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a2＋c2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.
注意点：
余弦定理及推论把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画．
八、已知两边及一角解三角形
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．
九、已知三边解三角形
余弦定理推论：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
则cos A＝，
cos B＝，
cos C＝.
反思感悟　已知三角形的三边解三角形的方法
利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角．
十、利用余弦定理判断三角形形状
反思感悟　(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线
①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系；
②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．
(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论
①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；
②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2；
③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2sin B.
求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用．
二十二、余弦、正弦定理在平面几何中的应用
在平面几何中求边、求角，通常思路是先找所求的边、角所在的三角形，再在三角形中通过余弦、正弦定理求边和角．
二十三、余弦、正弦定理与三角函数的综合应用
正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值；二是先利用函数的性质，再利用函数求角，解与三角形有关的问题．




考点一 平面向量在几何中的运用
【例1】(2020·四川南充市)中，，则一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

【练1】(2020·全国高一课时练习)若,且,则四边形是( )
A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形

考点二 平面向量在物理中的运用
【例2】(2021·江苏高一)长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，设和所成角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则等于( )

A． B． C． D．

【练2】(2020·全国高一课时练习)如图所示，把一个物体放在倾角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力.已知，求的大小.


考点三 余弦定理
【例3】(2020·北京人大附中高一期末)在中，，，，则等于( )
A． B．3 C． D．21

【练3】(2020·福建宁德市·高一期末)在三角形中，角，，所对的边分别为，，，其中，，，则边的长为______．

考点四 正弦定理
【例4】(2020·吉林长春市实验中学)在中，若，，，则等于( )
A． B．或 C． D．或

【练4】(2020·四川成都市·)在中，若角，，，则角( )
A． B． C．或 D．或

考点五 正余弦定理综合运用
【例5】(判断三角形形状)(2020·江苏省)在中，，，则一定是
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形

【练5】(2020·四川省成都市盐道街中学高一期中)中，边，，的对角分别是，，，若，则角

考点六 三角形的面积公式
【例6】(2020·湖南长沙市·高一期末)在中，分别为的对边，，这个三角形的面积为，则( )
A． B． C． D．

【练6】(2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一月考)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是 ，则 b=( )
A．1+ B． C． D．2+

考点七 正余弦定理的综合运用
【例7】．(2020·全国高一)在①，，②，.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中：在中，它的内角，，的对边分别为，，，已知， .求，的值.

【练7】(2020·浙江杭州市·高一期末)已知的内角，，的对边分别是，，，且．
(1)求的大小；
(2)若的面积等于，，求的值．

考点八 正余弦定理与三角函数综合运用
【例8】(2020·湖北荆门市·高一期末)已知
(1)求函数取最大值时的取值集合；
(2)设锐角的角，，所对的边分别为，，，，，求的面积的最大值.

【练8】(2020·浙江)已知函数.
(1)求函数的最小正周期和最小值；
(2)中，，，的对边分别为，，，已知，，，求，的值.

考点九 正余弦定理在几何中的运用
【例9】(2020·河北邢台市·高一期中)如图，在中，AD平分，且.

(1)求的值；
(2)若，，求的面积.

【练9】(2020·湖北武汉市·高一期末)如图，在中，点在边上，，，．

(Ⅰ)求边的长；
(Ⅱ)若的面积是，求的值．

考点十 正余弦定理在实际生活中的运用
【例10】(2020·江苏高一课时练习)某快递公司在我市的三个门店A，B，C分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A，B与门店C都相距akm，而门店A位于门店C的北偏东50°方向上，门店B位于门店C的北偏西70°方向上，则门店A，B间的距离为(　　)
A．akm B． C． D．2akm

【练10】(2020·眉山市彭山区第一中学高一期中)中华人民共和国国歌有个字，小节，奏唱需要秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为(米/秒)

A． B． C． D．












课后练习

1. （2021·成都模拟）在 △ABC 中， a ， b ， c 分别为 ∠A ， ∠B ， ∠C 的对边，如果 sinAsinB−sinC=b+cb−a ，那么 cosC 的值为（    ）
A. 12                                        B. 22                                        C. 23                                        D. 32

2. （2021高三上·保定月考）在 △ABC 中， sinA=sinBcosC, 则 △ABC 是（    ）
A. 直角三角形                    B. 等腰直角三角形                    
C. 等腰三角形                    D. 等边三角形

3. （2021·邢台模拟）△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c .已知 (a+b)(sinA−sinB)=csinC+b(1+cosA)sinC ，则 cosA= （    ）
A. −13                                       B. −23                                       C. 13                                       D. 23

4. （2021·陕西模拟）已知在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,cosA=23,b=2,c=3. 则 BC 边上的高为（    ）
A. 1                                         B. 2                                         C. 3                                         D. 2

5. （2021·怀柔模拟）在 △ABC 中， a=2,b=1,cosA=14 ，则 c=       .

6. （2021·浦东模拟）在 △ABC 中，若 AB=2 ， ∠B=5π12 ， ∠C=π4 ，则 BC= ________.

7. （2021高一下·南安期中）在 △ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若 (a+b+c)(a+b−c)=3ab ，且 a2=bc ，则 basinA 的值为      .

8. （2021高一下·运城期末）在 △ABC 中，内角 A ， B ， C 对应的边分别为 a ， b ， c ，若 a=23 ， b=6 ， A=π6 ，则角 B 为      .

9. （2021·海淀期中）如图，在四边形 ABCD 中， AB//CD ， AB=26 ， CD=6 ， cosA=63 ， cos∠ADB=13 .

（1）求 cos∠BDC ；
（2）求 BC 的长.

10. （2021高三上·灵丘开学考）已知在 △ABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 3cosB−1=sin(A+C) ， b=4 .
（1）求 sinB ；
（2）若 C−A=π2 ，求 △ABC 的面积.

11. （2021高一下·通州期末）在△ABC中，已知AB＝2， ∠BAC=π3,cos∠ACB=41919 ，D为AC中点．
（1）求BC的长；
（2）求BD的长及△BCD的面积．

12. （2021·石家庄模拟）在 △ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，满足 3c=b(sinA+3cosA) .
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）若 a+c=2 ，求 b 的取值范围.











精讲答案

【例1】
【答案】C
【解析】因为中，，则，
即，，角为钝角，所以三角形为钝角三角形故选
【练1】
【答案】C
【解析】∵，∴，，
∵，∴四边形是等腰梯形，选：C．
【例2】
【答案】B
【解析】由题意知有即所以，
故选：B．
【练2】
【答案】50，
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，

则，.
又由已知可得，
且，所以，
从而可知50，.
【例3】
【答案】A
【解析】因为，，，所以，即，故选：A.
【练3】
【答案】4
【解析】因为，，，所以，
故答案为：4
【例4】
【答案】D
【解析】由题意，在中，由正弦定理可得，即，
又由，且，所以或，故选：D.
【练4】
【答案】D
【解析】由正弦定理可得：，则，
因为，所以， 故或.故选：D．
【例5】
【答案】D
【解析】中，，,
故得到，故得到角A等于角C，三角形为等边三角形.故答案为D.
【练5】
【答案】或
【解析】在中，由正弦定理知则，
因为角是的内角，所以，所以角等于或．故选：D．
【例6】
【答案】D
【解析】依题意，解得，
由余弦定理得.故选：D.
【练6】
【答案】A
【解析】由已知，，
所以，解得．故选：A．
【例7】．
【答案】答案见解析.
【解析】选择条件①，，，
，，
选择条件②，，，，，由正弦定理得：，，，.
【练7】
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)∵，由余弦定理得，
∵，∴．
(2)因为，
所以，又，故，
于是，
∴，，
所以．
【例8】
【答案】(1)；(2).
【解析】(1).
令，即时，取最大值;
所以，此时的取值集合是；
(2)由，得，
因为，所以，所以，则；
在中，由余弦定理，
得，即，当且仅当时取等号，
所以的面积
因此的面积的最大值为.
【练8】
【答案】(1)最小正周期为；最小值为.(2)，
【解析】(1).
所以的最小正周期，的最小值为.
(2)因为，所以，
又，，
所以，
得，
因为，
由正弦定理得，
由余弦定里得，
又，
所以，.
【例9】
【答案】(1)3；(2).
【解析】(1)在中，，在中，.
因为AD平分，且，所以.
(2)由正弦定理及(1)可知.
因为，，所以，
.
因为
，
所以.
【练9】
【答案】(1)2(2)
【解析】(Ⅰ)在中，设，则由余弦定理得：

即：，解之得：
即边的长为2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得为等边三角形，作于，则，
∴，故 ，，
∴在中，由余弦定理得：
∴在中由正弦定理得：
，∴，∴
【例10】
【答案】C
【解析】由题意知AC＝BC＝akm，∠ACB＝50°+70°＝120°，
由余弦定理得，

，
所以，
即门店A，B间的距离为.
故选：C.
【练10】
【答案】B
【解析】如图，由题意，∴，
在中，，即，．
∴，
(米/秒)．



练习答案

1.【答案】 A
【考点】正弦定理，余弦定理
【解析】∵ sinAsinB−sinC=b+cb−a ，由正弦定理可得 ab−c=b+cb−a
即： a(b−a)=(b+c)(b−c)
整理得： c2=a2+b2−ab
对照余弦定理可得 cosC=12
故答案为：A．
【分析】首相由正弦定理整理化简点的a、b、c的关系式，再把结果代入到余弦定理计算出答案即可。
2.【答案】 A
【考点】正弦定理，余弦定理
【解析】因为 sinA=sinBcosC, 所以 a=b⋅a2+b2−c22ab ，
整理为 2a2=a2+b2−c2 ，
即 a2+c2=b2 ，
所以 △ABC 是直角三角形．
故答案为：A
【分析】利用正弦定理，余弦定理得a=b⋅a2+b2−c22ab ， 化简可得a2+c2=b2 ， 可得答案。
3.【答案】 A
【考点】正弦定理，余弦定理
【解析】由正弦定理得： (a+b)(a−b)=c2+bc(1+cosA) ，整理得： a2=b2+c2+bc(1+cosA) ，由余弦定理知 a2=b2+c2−2bccosA ， ∴−2cosA=1+cosA ，解得： cosA=−13 .
故答案为：A.
【分析】首先由正弦定理整理化简得到a2=b2+c2+bc(1+cosA) ， 再由余弦定理代入数值计算出结果即可。
4.【答案】 D
【考点】余弦定理
【解析】因为 cosA=23,b=2,c=3. 所以 cosA=b2+c2−a22bc ，即 23=22+32−a22×2×3 ，解得 a=5 ，
所以 cosB=c2+a2−b22ac=(5)2+32−222×3×5=53 ，又 0