2021学年7.2 复数的四则运算精品课堂检测

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7.2复数的四则运算
拓展练习

1. （2021·烟台模拟）若复数 z=3−i1−i ，则 |z|= （    ）
A. 2                                        B. 2                                        C. 3                                        D. 5

2. （2021高三上·汉中月考）已知 i 为虚数单位，若复数 (1+ai)(2+i) 是纯虚数，则实数 a 等于（   ）
A. −2                                        B. 12                                        C. −12                                        D. 2

3. （2021高一下·马鞍山期末）设复数 z1=2−i ， z2=−3+5i ，则 z1−z2 在复平面内对应的点位于（    ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

4. （2021·广东模拟）复数 z=1−i31+2i 的虚部为（    ）
A. −15i                                      B. 15i                                      C. −15                                      D. 15

5. （2021·德州模拟）复数 z=1−2i1+i3 的共轭复数的虚部为（    ）．
A. −12i                                      B. 12i                                      C. −12                                      D. 12

6. （2021·日照模拟）若复数z满足 iz=2+3i ，则 z 的实部与虚部之和为（    ）
A. -1                                          B. 1                                          C. -2                                          D. 3

7. （2021·惠州模拟）若复数 z 满足 |z−i|≤2 ，则 zz 的最大值为（    ）
A. 1                                           B. 2                                           C. 4                                           D. 9

8. （2021·长安模拟）若复数 z 满足： z+2i=3−i31+i （ i 为虚数单位），则 z 等于（    ）
A. 2−i                                    B. 2+i                                    C. 2−3i                                    D. 2+3i

9. （2021高一下·潮州期末）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如， |z|=|OZ| ，也即复数 z 的模的几何意义为 z 对应的点 Z 到原点的距离.在复平面内，复数 z0=a+2i1+i （ i 是虚数单位， a∈R ）是纯虚数，其对应的点为 Z0 ，满足条件 |z|=1 的点 Z 与 Z0 之间的最大距离为（    ）
A.1
B.2
C.3
D.4

10. （2021·青岛模拟）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如， |z|=|OZ| ，也即复数 z 的模的几何意义为 z 对应的点 Z 到原点的距离．在复平面内，复数 z0=a+2i1+i （ i 是虚数单位， a∈R ）是纯虚数，其对应的点为 Z0 ， Z 为曲线 |z|=1 上的动点，则 Z0 与 Z 之间的最小距离为（    ）
A. 12                                           B. 1                                           C. 32                                           D. 2

11. （2020高三上·湖北期末）若 m、n∈R 且 4+3i3−4i=m+ni （其中 i 为虚数单位），则 m−n= （    ）
A. −125                                        B. -1                                        C. 1                                        D. 0

12. （2021高一下·江苏期中）设 e1,e2 为单位向量，满足 |2e1−e2|≤2,a=e1+e2,b=3e1+e2 ，设 a,b 的夹角为 θ ，则 cos2θ 的可能取值为（    ）
A. 1929                                       B. 2029                                       C. 2829                                       D. 3829

13. （2021·绍兴模拟）已知i是虚数单位，若 z=−32+12i ，则 z2= （    ）
A. −12+32i                         B. −12−32i                         C. 12+32i                         D. 12−32i

14. （2021高三上·顺德月考）已知复数 z=5+3i1−i ，则下列说法正确的是（    ）
A. z的虚部为4i         B. z的共轭复数为1﹣4i         C. |z|＝5         D. z在复平面内对应的点在第二象限

15. （2021·千阳模拟）复数 z=2+(3−a)i(a∈R) 在复平面内对应的点位于第四象限，且 z⋅z=20 ，则 z= （    ）
A. 2−3i                                  B. 2+3i                                  C. 2−4i                                  D. 2+4i

16. （2021·湖北模拟）已知复数 zn=1+i+i2+⋯+in (i为虚数单位， n∈N∗ )，若 M={z|z=zs⋅zt(s,t=1,2,⋯,n)} ，从M中任取一个元素，其模为1的概率为（    ）
A. 27                                          B. 37                                          C. 17                                          D. 1n

17. （2021·普陀模拟）已知复数 z=2i1+3 i ( i   为虚数单位）， z 表示 z 的共轭复数，则 z⋅z=       .

18. （2021高三上·湖北开学考）设 i 是虚数单位，若复数 2−a2−i ( a∈R )是纯虚数，则 a=       .

19. （2021高三上·天河月考）若复数 z 满足 (3−4i)z=|4+3i| ，则 z 的虚部为      .

20. （2021高二下·淮南月考）设 z=1−i1+i+3i ，则 |z|=         ．



练习答案

1. 【答案】 D
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模
【解析】 z=3−i1−i=(3−i)(1+i)(1−i)(1+i)=3+2i+12=2+i ， |z|=22+12=5
故答案为：D
【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求值．
2. 【答案】 D
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算
【解析】因为 (1+ai)(2+i)=2−a+(2a+1)i ，所以 2−a=0,2a+1≠0 ,即 a=2 ，
故答案为：D.
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由纯复数的定义即可得出答案。
3. 【答案】 D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算
【解析】解：z1-z2=2-i-(-3+5i)=5-6i，表示的点为（5，-6）
故答案为：D
【分析】根据复数的运算，结合复数的几何意义求解即可.
4. 【答案】 C
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】由复数的运算法则，可得 z=1−i31+2i=1+i1+2i=(1+i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=35−15i ，
所以复数 z 的虚部为 −15 .
故答案为：C.
【分析】 根据复数的四则运算进行化简，然后根据虚部的定义即可得到结论.
5. 【答案】 D
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算
【解析】因为 z=1−2i1+i3=1−2i1−i=(1−2i)(1+i)2=3−i2=32−12i ，
所以 z=32+12i ，虚部为 12 ，
故答案为：D
【分析】根据题意由复数代数形式的运算性质整理化简再由共轭复数的定义即可得出答案。
6. 【答案】 B
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算
【解析】由题意可得： z=2+3ii=(2+3i)(−i)i(−i)=3−2i ，
则实部与虚部之和为 3+(−2)=1 。
故答案为：B.
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再利用复数的实部与虚部的定义，从而求出复数z的实部与虚部之和。
7. 【答案】 D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算，复数求模
【解析】解：]由题意可知，设z=a+bi，则|z-i|=|a+(b-1)i|≤2,即a2+(b-1)2≤4，不妨设a=2cosθ，b=2sinθ+1，则zz=a2+ b2=4cos2θ+ 2sin2θ+ 4sinθ+1=5十4sinθ≤9，
故答案为：D.
【分析】根据复数的运算，结合共轭复数，复数的模求解即可.
8. 【答案】 D
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】 z+2i=3+i1+i=(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−2i2=2−i ，
所以 z=2−3i,z=2+3i .
故答案为：D
【分析】 先根据复数的混合运算化简得到复数z，再根据共轭复数的定义即可得出答案．
9. 【答案】 C
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模，两点间的距离公式
【解析】由 z0=a+2i1+i=(a+2i)(1−i)(1+i)(1−i)=a+2+(2−a)i2 ，
因为复数 z0=a+2i1+i （ i 是虚数单位， a∈R ）是纯虚数，
所以 a+2=0 ，解得 a=−2 ，
所以 z0=2i ，则 Z0(0,2) ，
由于 |z|=1 ，故设 Z(x,y) 且 x2+y2=1 ， −1≤y≤1 ，
所以 |ZZ0|=x2+(y−2)2=x2+y2+4−4y=5−4y≤5+4=3 ，
故点 Z 与 Z0 之间的最大距离为3.
故答案为：C.
【分析】 由复数的运算化简z0 ， 由z0为纯虚数可求得a的值，从而可求得z0 ， Z0 ，设 Z(x,y) 且 x2+y2=1 ， −1≤y≤1 ，由两点间的距离公式即可求解点 Z 与 Z0之间的最大距离.
10. 【答案】 B
【考点】虚数单位i及其性质，复数代数形式的乘除运算
【解析】由 z0=a+2i1+i=(a+2i)(1−i)(1−i)(1+i)=a+2+(2−a)i2 ，
因为复数 z0=a+2i1+i （ i 是虚数单位， a∈R ）是纯虚数，所以 a+2=0 得 a=−2
所以 z0=2i ，则 Z0(0,2)
由于 |z|=1 ，故设 Z(x,y) 且 x2+y2=1 ， −1≤y≤1
所以 |ZZ0|=x2+(y−2)2=x2+y2+4−4y=5−4y≥1  
故 Z0 与 Z 之间的最小距离为1
故答案为：B．
【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a，可得z0 ， 再由几何意义求解．
11. 【答案】 B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】因为 4+3i3−4i=(4+3i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=12−12+25i9+16=i=m+ni ，
根据复数相等，所以 m=0,n=1 ，所以 m−n=0−1=−1 .
故答案为：B.
【分析】对已知进行化简，根据复数相等可得答案。
12. 【答案】 C
【考点】函数的最值及其几何意义，数量积表示两个向量的夹角，复数代数形式的混合运算
【解析】因为 e1,e2 为单位向量，
不妨设 e1=(1,0),e2=(x,y) ，且 x2+y2=1 ，
所以 a=(1+x,y),b=(3+x,y) ，
又因为 |2e1−e2|≤2 ，所以 (x−2)2+y2≤2 ，
化简得 34≤x≤1 ，所以 cos2θ=(a⋅b|a|⋅|b|)2 ，
=((1+x)(3+x)+y2(1+x)2+y2⋅(3+x)2+y2)2 ，
=4(1+x)2(1+x)(5+3x)=4(1+x)5+3x ，
当 x=34 时， cos2θ= 2829 ，
故答案为：C
【分析】 利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得34≤x≤1 ， 再根据向量夹角公式求出cosA函
数关系式，再根据函数单调性求出最值.
13. 【答案】 D
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】由题可知： z=−32+12i
所以 z2=(−32+12i)2=34−32i+14i2=12−32i
故答案为：D
【分析】 利用复数的乘法运算进行化简求解即可.
14. 【答案】 B
【考点】虚数单位i及其性质，复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算，复数求模
【解析】∵ z=5+3i1−i=(5+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=2+8i2=1+4i ，
∴ z的虚部为4,  z的共轭复数为1﹣4i，|z| =17 ，z在复平面内对应的点在第一象限.
故答案为：B
【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z，然后逐一核对四个选项得答案.
15. 【答案】 D
【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算
【解析】解：由题意得3-a3，
又由z·z=2+3−ai·2−3−ai=4+3−a2=20得a=7或a=-1，所以z=2-4i
则z=2+4i
故答案为：D
【分析】根据共轭复数的定义，结合复数的运算，以及复数的几何意义求解即可
16. 【答案】 B
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，等可能事件的概率
【解析】由题意，可得 zn=1+i+i2+⋯+in=1−in+11−i ，
根据复数 in 的性质，可得 zn=1+i,i,0,1,1+i,i,0,1,⋯ ，即 zn 的取值只有四个数 1+i,i,0,1 ，所以集合 M={0,1,−1,i,2i,1+i,−1+i} ，M中共7个元素，
其中模为1的有三个元素，故所求概率为 P=37 .
故答案为：B.
【分析】首先由复数的性质整理即可得出 zn 的取值只有四个数 ，由此得出集合M以及集合中的元素，其中模为1的有三个元素，结合概率公式代入数值计算出结果即可。
17. 【答案】 1
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算
【解析】 z=2i1+3 i =2i(1−3i)(1+3i)(1−3i)=2(i+3)4=32+12i ，
∴ z⋅z=(32+12i)(32−12i)=(32)2+(12)2=1 。
故答案为：1。
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数，再利用复数的乘法运算法则，从而求出z⋅z的值。
18. 【答案】 5
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算
【解析】∵ 2−a2−i=2−a(2+i)(2−i)(2+i)=2−2a5−a5i ，
又∵复数 2−a2−i ( a∈R )是纯虚数，
∴ 2−2a5=0 ，且 −a5≠0 ，∴ a=5 .
故答案为：5.
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由纯复数的定义即可得出答案。
19. 【答案】 45
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，复数求模
【解析】由题意， z=42+323−4i=5(3+4i)(3−4i)(3+4i)=5(3+4i)25=35+45i .故虚部为 45 。
故答案为： 45。
【分析】利用复数的模求解公式和复数的乘除法运算法则，进而求出复数z，再利用复数的虚部的定义，进而求出复数z的虚部。
20. 【答案】 2
【考点】复数代数形式的混合运算，复数求模
【解析】 z=1−i1+i+3i=1−2i+i21−i2+3i=−i+3i=2i ，所以 |z|=2。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合复数乘除法运算法则，进而求出复数z,再利用复数求模公式，进而求出复数z的模。