高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系优秀同步达标检测题

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8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系

一、平面的概念、画法及表示
平面的画法及表示
画
法
平面水平放置
平面竖直放置


表示
①平行四边形的四个顶点：平面ABCD；
②对角顶点：平面AC或平面BD；
③希腊字母：平面α，平面β
反思感悟　(1)“平面”是平的(这是区别“平面”与“曲面”的依据)；
(2)“平面”无厚薄之分；
(3)“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据．
二、基本事实及应用
基本事实
内容
图形
符号
基本事实1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l

推论
内容
图形
推论1
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面

推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面

推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面

证明点、线共面问题的常用方法
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”．
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”．
反思感悟　(1)证明三点共线的方法

(2)证明三线共点的步骤

三、空间中两直线的位置关系
空间两条直线的三种位置关系

判断空间两条直线位置关系的决窍
(1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线．
(2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．
四、直线与平面的位置关系
位置关系：直线a在平面α内；直线a在平面α外；直线a与平面α相交；直线a与平面α平行
公共点：有无数个公共点；有且只有一个公共点；没有公共点
符号表示：a⊂α；a∩α＝A；a∥α；
图形表示：

在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断．
五、平面与平面的位置关系
位置关系
两平面平行
两平面相交
公共点
没有公共点
有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示
α∥β
α∩β＝l
图形表示


利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法．


考点一 三个基本事实
【例1】(2020·全国高专题练习)如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点．求证：，，三点共线．

【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，连接，，则，因为，，

所以四边形为平行四边形，
又，平面，
则平面，
因为平面平面，
所以．即，，三点共线．
【练1】(2020·重庆万州区·万州纯阳中学校)(多选)下面四个条件中，能确定一个平面的是( )
A．一条直线 B．一条直线和一个点
C．两条相交的直线 D．两条平行的直线
【答案】CD
【解析】对于选项A：一条直线不能确定一个平面，故选项A不正确；
对于选项B：一条直线和直线外的一个点可以确定一个平面，一条直线和直线上的一个点不能确定一个平面，故选项B不正确；
对于选项C：两条相交的直线可以确定一个平面，故选项C正确；
对于选项D：两条平行的直线可以确定一个平面，故选项D正确；
故选：CD
考点二 平面
【例2】(2020·江苏省苏州中学园区校高二期中)空间中三个平面，最多把空间分成区域的个数为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，三个平面最多将空间分成个区域.故选：D

【练2】(2021·江苏高一课时练习)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作( )
A．A∈b∈β B．A∈b⊂β
C．A⊂b⊂β D．A⊂b∈β
【答案】B
【解析】点A在直线b上，记作，b在平面β内，记作，故选：B
考点三 空间点、直线、平面之间的位置关系
【例3】．(2020·合肥市第十一中学)若直线与平面平行，直线，则与位置关系：( )
A．平行 B．异面 C．相交 D．没有公共点
【答案】D
【解析】若直线与平面平行，直线，则直线与可能平行或异面，不可能相交，即没有公共点.
故选：D.
【练3】(2020·台州市书生中学)一条直线与两条平行线中的一条异面且垂直，则它与另一条的位置关系不可能
的是( )
A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直
【答案】B
【解析】若该直线与两平行线中另一条也平行，则三条直线都平行，不满足该直线与其中一条平行线垂直，
所以该直线与另一条线不可能平行，故选：B




课后练习

1. （2021高一下·绍兴期末）已知 m ， n 是两条不同的直线， α ， β ， γ 是三个不同的平面，（    ）
A. 若 m∥n ， n⊂α ，则 m∥α                              B. 若 n⊥α ， m⊂β ， n⊥m ，则 α∥β
C. 若 α⊥γ ， β⊥γ ， α∩β=m ，则 m⊥γ      D. 若 m⊂α ， n⊂α ， m∥β ， n∥β ，则 α∥β
【答案】 C
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的性质
【解析】解：对于A， 若 m∥n  ，  n⊂α  ， 则 m∥α或m⊂α ， 故A错误；
对于B， 若 n⊥α  ，  m⊂β  ，  n⊥m  ， 则 α∥β或α，β相交，故B错误；
对于C，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m ， 则由平面与平面垂直的性质定理，直线与平面垂直的判定定理可得m⊥γ ， 故C正确；
对于D， 若 m⊂α  ，  n⊂α  ，  m∥β  ，  n∥β  ， 则 α∥β 或α，β相交，故D错误.
故答案为：C
【分析】根据直线与平面的关系可判断A，根据平面与平面的关系可判断B，根据平面与平面垂直的性质定理，直线与平面垂直的判定定理可判断C，根据平面与平面的关系可判断D.
2. （2021·上海模拟）下列说法中正确的是（    ）
①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；
②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；
③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；
④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内.
A.①②③④
B.①②③
C.②④
D.①②④
【答案】 D
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】由线面平行的性质定理：一条直线如果和一个平面平行，经过这条直线的另一个平面与已知平面相交，那么可得这条直线与交线平行，由于可以做出无数条交线，故①正确；
由线面平行的定义：一条直线和一个平面平行，那么直线与平面没有公共点，所以直线与平面内的直线没有公共点，可得②正确；
因为经过线外一点可作一直线与已知直线平行,而经过这条直线可作无数个平面与已知直线平行,∴③错误；
过平面α内一点和直线l确定一平面β，设 α∩β=m ，根据线面平行的性质定理可得l//m.故④正确.
故答案为：D.
【分析】 根据线面平行的性质定理可得1正确；根据线面平行的定义可得②正确；根据线面平行的性质定理与判定定理可得③不正确；根据线面平行的性质定理和平行公理可得④正确，由此可得出答案.
3. （2021高一下·长春期末）“点P在直线m上，m在平面 α 内”可表示为（    ）
A. P∈m,m∈α                 B. P∈m,m⊂α                 C. P⊂m,m∈α                 D. P⊂m,m⊂α
【答案】 B
【考点】平面的概念、画法及表示
【解析】解：根据点，线，面的位置关系得“点P在直线m上，m在平面 α 内”可表示为 P∈m,m⊂α
故答案为：B
【分析】根据点，线，面的位置关系求解即可.
4. （2021高一下·南充期末）下列说法中，错误的是（    ）
A.平行于同一直线的两个平面平行
B.平行于同一平面的两个平面平行
C.一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
【答案】 A
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面平行的判定
【解析】平行于同一直线两个平面可能平行，也可能相交，A不符合题意；
平行于同一平面的两个平面平行，B符合题意；
由面面平行的性质定理知一个平面与两个平行平面相交，交线平行，一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，C、D符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合面面平行的判断方法、面面平行的性质定理、线面相交的判断方法，从而找出错误的选项。
5. （2021高一下·丰台期末）已知 a,b 是两条不同的直线， α， β 是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ）
A.若 a//α,b//α ，则 a//b
B.若 a//α,a//β ，则 α//β
C.若 a⊥α,b⊥α ，则 a//b
D.若 a⊥α,b⊥β ，则 α//β
【答案】 C
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】对A，平行于同一个平面的两条直线并不一定平行，A不符合题意；
对B，平行于同一条直线的两平面并不一定平行，B不符合题意；
对C，垂直于同一平面的两直线平行，C符合题意；
对D，两平面垂直于两直线，这两个平面没有确定的关系，D不符合题意.
故答案为：C
【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，逐项进行判断可得答案。
6. （2021高一下·龙岩期末）若 α,β 是两个不重合的平面， a,b,c 是三条不重合的直线，则下列命题中正确的是（    ）
A. 若 a//α,α∩β=b ，则 a//b
B. 若 a⊂α,b⊂β,b//c,a//β ，则 α//β
C. 若 a⊂α,b⊂α ，且 c⊥a,c⊥b ，则 c⊥α
D. 若 a⊥α,α∩β=c,b//c ，则 a⊥b
【答案】 D
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】对于A， a//α,α∩β=b ， a,b 的位置关系无法确定；
对于B，两个平面平行，需要一个平面内的两条相交线平行于另一个平面，显然不满足；
对于C，线面垂直需要直线垂直于平面内的两条相交直线，缺少 a,b 相交的条件；
对于D， a⊥α ， α∩β=c ，所以 a⊥c ，因为 b//c ，所以 a⊥b ；
故答案为 ：D.
【分析】根据题意由平面与直线、平面与平面之间的位置关系对选项逐一判断即可得出答案。
7. （2020高二上·资阳期末）已知m，n为两条不同的直线， α//β 是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（    ）
A. m⊥n,m//α⇒n⊥α                                      B. n//β,β⊥α⇒n⊥α
C. m//n,m⊥β⇒n⊥β                                      D. m//α,n⊂α⇒m//n
【答案】 C
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】A. m⊥n,m//α ，则 n 也可在平面 α 内
B. n//β,β⊥α ，则 n 也可在平面 α 内
C. m//n,m⊥β⇒n⊥β 成立
两平行线 m,n ， m 垂直于平面 β ， m 必垂直于 β 两条相交直线，则由直线平行关系的传递性， n 必定垂直于 β 内那两条相交直线，故 n⊥β
D. m//α,n⊂α ，则 m,n 也可是异面直线的关系.
故答案为：C
【分析】举反例可判断A、B、C的正误；用线面垂直的判定定理可以判断c选项正误。
8. （2021高二下·上虞期末）已知直线 m 、 n 与平面 α,β, 下列命题正确的是（   ）
A.m//α,n//β 且 α//β,则m//n
B.m⊥α,n//β 且 α⊥β,则m⊥n
C.α∩β=m,m⊥n 且 α⊥β,则n⊥α
D.m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,则m⊥n
【答案】 D
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，直线与平面平行的性质，平面与平面平行的性质，直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的性质
【解析】解：对于A，当 m//α,n//β 且 α//β,则m//n 或m,n相交或m,n异面，故A错误；
对于B，当 m⊥α,n//β 且 α⊥β,则m⊥n 或m//n，故B错误；
对于C，根据平面与平面垂直的性质定理得，当α∩β=m,m⊥n,α⊥β ， 则n⊥α或n与α相交，故C错误；
对于D，当 m⊥α,n⊥β 且 α⊥β时，根据直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理得m⊥n，故D正确.
故答案为：D
【分析】根据直线与平面平行，平面与平面平行的性质定理，结合直线间的关系可判断A，根据直线与平面垂直的性质定理，结合直线间的关系可判断B，根据平面与平面垂直的性质定理，结合直线与平面的关系可判断C，根据直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理可判断D.
9. （2021·潍坊模拟）在空间中，下列命题是真命题的是（    ）
A. 经过三个点有且只有一个平面
B. 平行于同一平面的两直线相互平行
C. 如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
D. 如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面
【答案】 D
【考点】平面的基本性质及推论，空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，A不符合题意；
平行于同一平面的两直线可能相交，B不符合题意；
由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，C不符合题意；
如果两个相交平面 α,β 垂直于同一个平面 γ ，且 α∩β=l ，则在平面 α 、 β 内分别存在直线 m,n 垂直于平面 γ ，由线面垂直的性质可知 n//m ，再由线面平行的判定定理得 m//β ，由线面平行的性质得出 m//l ，则 l⊥γ ，D符合题意；
故答案为：D
【分析】 由平面的基本性质判定A；由平行于同一平面的两直线的位置关系判定B；由等角定理判定C；直接证明D正确．
10. （2021·新疆模拟）已知 α ， β 表示不同平面，则 α//β 的充分条件是（    ）
A. 存在直线 a ， b ，且 a,b⊂α ， a//β ， b//β
B. 存在直线 a ， b ，且 a⊂α ， b⊂β ， a//β ， b//α
C. 存在平面 γ ， α⊥γ ， β⊥γ
D. 存在直线 a,a⊥α ， a⊥β
【答案】 D
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】对于A中，只有当 a 与 b 相交才满足条件，所以A不正确；
对于B中，当 a//b 时，此时 α 不一定平行 β ，所以B不正确；
对于C中，根据垂直同一平面的两个平面不一定平行，可得若 α⊥γ,β⊥γ ，则平面 α 不一定平行 β ，所以C不正确；
对于D中，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得若 a⊥α,a⊥β ，则 α//β ，所以D符合题意.
故答案为：D.
【分析】 根据题意由平面与平面平行的判定判断A；举例说明B、C错误；由直线与平面垂直的性质判断D，由此得到答案。
11. （2021·榆林模拟）已知 a,b 是两条直线， α,β 是两个平面，则 a⊥b 的一个充分条件是（    ）
A. a⊥α ， b//β ， α⊥β                                   B. a⊥α ， b⊥β ， α//β
C. a⊂α ， b⊥β ， α//β                                   D. a⊂α ， b//β ， α⊥β
【答案】 C
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】由a，b是两条不同的直线， α,β 是两个不同的平面，
在A中， a⊥α ， b//β ， α⊥β ，因为 b 的方向不确定，则a与b可以成任意角，A不符合题意；
在B中， a⊥α ， b⊥β ， α//β ，根据对应的性质可知，可知a与b是平行的，B不符合题意；
在C中，由 a⊂α ， b⊥β ， α//β ，可知 b⊥α ，由线面垂直的性质可知 a⊥b ，C符合题意；
在D中， a⊂α ， b//β ， α⊥β ，可得a与b可以成任意角，D不符合题意．
故答案为：C.
【分析】在A中，a与b可以成任意角；在B中，a与b是平行的；在C中，可得b⊥α ， 从而得到a⊥b；在D中，可得a与b可以成任意角，即可得到答案。
12. （2021高二上·浦东新期中）公理2：不在同一直线上的      点确定一个平面.
【答案】 三
【考点】平面的基本性质及推论
【解析】解：公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面
故答案为：三
【分析】由确定平面的简单性质即公理2，即可得出答案。
13. （2021高二上·浦东新期中）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是      .

⑴直线 AF 与直线 DE 相交；
⑵直线 CH 与直线 DE 平行；
⑶直线 BG 与直线 DE 是异面直线；
⑷直线 CH 与直线 BG 成 60° 角.
【答案】 （3）（4）
【考点】异面直线及其所成的角，空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】解：由正方体的平面展开图可得正方体 ABCD−EFGH ，
可得 AF 与 ED 为异面直线，故（1）错误；
CH 与 DE 为异面直线，故（2）错误；
直线 BG 与直线 DE 是异面直线，故（3）正确；
连接 AH ， AC ，由正方体的性质可得 AH//BG ，所以 ∠AHC 为异面直线 CH 与直线 BG 所成的角，因为 △AHC 为等边三角形，所以 ∠AHC=60° ，即直线 CH 与直线 BG 所成角为 60° ，故（4）正确；

故答案为：（3）（4）．
【分析】 根据题意把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征以及异面直线的定义、异面直线所成角，对选项逐一判断即可得出答案。
14. （2021·富平模拟）在空间中，给出下面四个命题，其中真命题的个数为      .
①过平面 α 外的两点，有且只有一个平面与平面 α 垂直；
②若平面 β 内有不共线三点到平面 α 的距离都相等，则 α//β ；
③若直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直，则 l⊥α ；
④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线.
【答案】 0
【考点】平面的基本性质及推论，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】对于①中，当平面 α 外两点的连线与平面 α 垂直时，此时过两点有无数个平面与平面 α 垂直，所以①不正确；
对于②中，只有当不共线的三点在平面 β 的同侧时，才能得到 α//β ，所以②不正确；
对于③中，只有直线 l 与平面内的任意直线垂直时，才能得到 l⊥α ，所以③不正确；
对于④中，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以④不正确，
综上可得，正确命题的个数为0个.
故答案为：0
【分析】由空间里直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，对选项逐一判断即可得出答案。
15. （2021高二上·河东期中）已知 a ， b ， c 是空间三个不共面的向量，下列各组向量：① la ， mb ， nc(lmn≠0) ；② a+2b ， 2b+3c ， −9c+3a ；③ a+2b ， b+2c ， c+2a .其中不共面的是      （填序号）.
【答案】 ①③
【考点】平面的基本性质及推论
【解析】解：对于①，因为 a,b,c 是空间三个不共面的向量，且 lmn≠0 ，所以 la,mb,nc 不共面，所以①符合题意；
对于②，因为 −9c+3a=3[(a+2b)−(2b+3c)] ，所以 a+2b,2b+3c,−9c+3a 是共面向量，所以②不符合题意；、
对于③，若 a+2b,b+2c,c+2a 是共面向量，则存在实数 λ,μ ，使 c+2a=λ(a+2b)+μ(b+2c) ，即 (1−2μ)c=(λ−2)a+(2λ+μ)b ，因为 a,b,c 是空间三个不共面的向量，所以 1−2μ=λ−2=2λ+μ=0 ，矛盾，所以 a+2b,b+2c,c+2a 不共面，所以③符合题，
故答案为：①③
【分析】由空间共面向量的定理，对选项逐一判断即可得出答案。
16. （2021高一下·房山期末）已知三个不同的平面 α ， β ， γ 和一条直线 m ，给出五个论断：① m⊥α ；② m//β ；③ α⊥β ；④ α⊥γ ；⑤ β//γ ．以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个正确的命题       ． （可以用序号表示）
【答案】 ①② ⇒ ③（③⑤ ⇒ ④；④⑤ ⇒ ③）
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】从已知5人论断看，任取3个组成一个命题，只有涉及平面 α ， β ， γ 和直线 m 四个元素中的三个时才可能构成一个正确的命题，因此可组成两组①②③和③④⑤，
由①②③组成命题：①② ⇒ ③，
m//β ，只要过 m 作一个平面与 β 相交，交线为 n ，则 m//n ，由 m⊥α 得 n⊥α ，从而可得 β⊥α ，是真命题，
但把③作为条件，①②中一个作为结论时， m 与 α 或 m 与 β 的位置关系不确定，不能得出正确命题．
由③④⑤构成命题，
③⑤ ⇒ ④；④⑤ ⇒ ③，是真命题，③④ ⇒ ⑤是假命题．
在已知 α⊥β ， α⊥γ 时， β,γ 可能平行也可能相交，③④ ⇒ ⑤是假命题．
而③⑤ ⇒ ④；④⑤ ⇒ ③，就是真命题：一个平面垂直两个平行平面中的一个，必垂直于另一个．
例如， α⊥β ，根据面面垂直的性质定理 α 内必有直线与 β 垂直（与交线垂直的直线），而 β//γ ，则这条直线也与 γ 垂直，从而有 α⊥γ ．
因此③⑤ ⇒ ④；④⑤ ⇒ ③是真命题．
故答案为：①② ⇒ ③（或③⑤ ⇒ ④；④⑤ ⇒ ③）
【分析】 从五个论断中依次取出两个作为条件,分析结论是否成立即可.