高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直优秀一课一练

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8.6 空间直线、平面的垂直

一、异面直线所成的角
1．已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角α叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
2．空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.
注意点：
(1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关．
(2)两条异面直线所成的角θ∈.
(3)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．
求两异面直线所成角的三个步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角．
(2)证：证明作出的角就是要求的角．
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．
可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
二、直线与直线垂直
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b.
注意点：
(1)当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a与b互相垂直，记作a⊥b.
(2)两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形．
要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角．若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直．
三、直线与平面垂直的定义
1．直线与平面垂直的定义及画法
定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足
图示

画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
2.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．
反思感悟　对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事．
四、直线与平面垂直的判定定理
文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α
图形语言：
证明线面垂直的方法
(1)由线线垂直证明线面垂直：
①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直．
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.
五、直线与平面所成的角
直线与平面所成的角
有关概念
对应图形
斜线
一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA

斜足
斜线和平面的交点，如图中点A
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO
直线与平面所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°
取值范围
设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°
求直线与平面所成的角的步骤
(1)作(找)——作(找)出直线和平面所成的角．
(2)证——证明所作或找到的角就是所求的角．
(3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形)．
(4)答．
六、直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
⇒a∥b
图形语言

注意点：
(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．
(2)直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了垂直与平行关系转化的依据．
证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．
(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线．
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
七、二面角的概念
二面角
1．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
2．画法：

3．记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.
4．二面角的平面角：
(1)在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图．

(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．
求二面角的平面角的大小的步骤

八、平面与平面垂直的定义和判定
1．平面与平面垂直的定义
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：α⊥β.
(2)画法：

2．面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
证明平面与平面垂直的方法
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角．
(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．
九、平面与平面垂直的性质定理
文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β
图形语言：
反思感悟　利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点
(1)两个平面垂直．
(2)直线必须在其中一个平内．
(3)直线必须垂直于它们的交线．


考点一 线面垂直
【例1】(2021·陕西省黄陵县中学高一期末)如图所示，为的直径，C为上一点，平面，于E，于F.求证：平面.

【答案】证明见解析
【解析】证明：为⊙O的直径，C为⊙O上点，所以
因为平面，平面，所以
又,所以 面
又平面，则
又，，所以平面
又平面，所以
又因为，
所以平面
【练1】(2021·海原县第一中学高一期末)如图，已知⊙O所在平面，AB为⊙O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作于E．求证：平面PBC．

【答案】证明见解析.
【解析】证明：由AB是⊙O的直径，
得.
又⊙O所在平面
⊙O所在平面内
所以，又，
所以面PAC，面PAC.
所以，又，，
所以平面PBC．
考点二 线线垂直
【例2】(2020·全国专题练习)如图，在三棱柱中，侧面为矩形， ，D是的中点，与交于点O，且平面

(1)证明：；
(2)若，求三棱柱的高.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)证明：由题意
且 ,
,所以,
又侧面， ,又与交于点 ，所以,平面
又因为 平面,所以．

(2)在矩形中，由平面几何知识可知
∵，∴，
∴
设三棱柱的高为，即三棱锥的高为
又，由得
，∴
【练2】(2020·陕西西安市·西安一中高一月考)如图1，四棱锥的底面是正方形，PD垂直于底面ABCD，M是PC的中点，已知四棱锥的侧视图，如图2所示.

(1)证明：；
(2)求棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】解：(1)由侧视图可知，，
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又因为ABCD是正方形，所以.
而，PD，平面PCD，
所以平面PCD.
因为平面PCD，所以.
又是等腰三角形，M是PC的中点，所以，
而，PC，平面PBC，
所以平面PBC，
而平面PBC，所以.
（2） .
考点三 面面垂直
【例3】(2021·江西景德镇市·景德镇一中高一期末)如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，为与的交点，为棱上一点.

(1)证明：平面平面；
(2)若平面，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)因为四边形为正方形，则，
底面，平面，，
，平面，
平面，平面平面；
(2)如下图所示，连接，

四边形为正方形，且，则为的中点，
因为平面，平面，平面平面，，
为的中点，为的中点，
平面，平面，且，
的面积为，
所以，.
【练3】(2021·全国高一课时练习)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是半圆弧CD上异于C，D的点.

(1)证明：平面平面BMC；
(2)在线段AM上是否存在点P，使得平面PBD？说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析.
【解析】证明：(1)由题意可知，平面平面CDM，
又∵平面平面，，平面ABCD，
∴平面CDM，
又平面CDM，∴，
又由圆的性质知，
∵，平面AMD，平面AMD，
∴平面AMD，
∵平面BMC，∴平面平面；
(2)存在点P，当点P为线段AM的中点时，平面PBD.

理由如下：连接DB与AC交于点O，则O为AC的中点，
连接PO，则PO是三角形AMC的中位线，
∴，
∵平面PBD，平面PBD，
∴平面PBD.
考点四 空间距离
【例4】(2020·全国专题练习)在棱长为的正方体中求出下列距离：

(1)点到面的距离；
(2)线段到面的距离；
(3)点到面的距离；
(4)到平面的距离.
【答案】(1)；(2)；(3)；(4).
【解析】(1)因为正方体，则平面，
所以点到面的距离为边长；
(2)因为平面，且平面，
所以线段到面的距离为；
(3)因为平面，
所以点到面的距离为面对角线的AC的，即；
(4)设到平面的距离为h，三棱锥的体积为V，
在中，，则的面积为，
利用等体积法可得：，
所以
【练4】(2021·全国高一课时练习)正方体的棱长为1，则点到平面的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点到平面的距离为是,如图，

易知,
因为
所以，
由，
所以，解得：
故选：D
考点五 线线角
【例5】(2021·广西河池市·高一期末)如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为( )．

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连，相交于点，连、，

因为为的中点，为的中点，有，可得为异面直线与所成的角，不妨设正方形中，，则，
由平面，可得，
则，，
因为，为的中点，所以，．
故选：D.
【练5】(2021·河南驻马店市·高一期末)在底面为正方形的四棱锥中，底面，，则异面直线与所成的角为( )

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为四棱锥中，底面，，
所以PA=AD，又底面为正方形，所以四棱锥可扩充为正方体，如图示：

连结PE、BE，，则PE∥AC，所以∠EPB(或其补角)为异面直线与所成的角.
而△EPB为正三角形，所以∠EPB=.故选：.
考点六 线面角
【例6】(2021·河南高一期末)在三棱柱中，，，且，则直线与平面所成的角的大小为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【解析】∵，，∴，
∵，，，平面，
∴平面，
∴就是与平面所成的角，即与平面所成的角是，
∵棱柱中，∴与平面所成的角的大小为，
故选：A．

【练6】(2021·全国高一课时练习)如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.

(1)证明：BC面PAC；
(2)若PA=AC=1，AB=2，求直线PB与平面PAC所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】证明：(1)为圆O直径
∠ACB=90°即AC⊥BC
PA⊥面ABC，PA⊥BC
ACPA=A
BC⊥面PAC.

(2)BC⊥面PAC，
∠BPC为PB与平面PAC所成的角，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，,
在直角三角形中，tan∠BPC=.
故直线PB与平面PAC所成角的正切值为.
考点七 面面角
【例7】(2021·全国高一课时练习)如图，三棱台的下底面是正三角形，，则二面角的大小是( )

A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】三棱台中，，且，
则，又，且,
所以平面，
所以为的二面角，
因为为等边三角形，
所以.
故选：C
【练7】(2021·河南高一期末)如图，在长方体中，底面是正方形，，为的中点.

(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面；
(3)求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)．
【解析】(1)证明：设，连接，则是中点，又是中点，
∴，又平面，平面，
∴平面．
(2)平面，平面，∴，同理，又正方形中，
，平面，
∴平面，又∵平面，
∴平面平面；
(3)∵平面，平面，∴，
∴是二面角的平面角，
由已知，而，分别是中点，
∴，∴．
即二面角的大小为．




课后练习

1. （2021高一下·长沙期末）设m，n为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是（     ）
A.m⊥n，m∥α⇒n⊥α
B.m⊥n，m⊥α⇒n∥α
C.m∥n，m⊥α⇒n⊥α
D.m∥n，m∥α=n∥α
【答案】 C
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，直线与平面垂直的判定
【解析】解：对于A，若 m⊥n，m∥α⇒n⊥α 或n⊂α ， 故A错误；
对于B， m⊥n，m⊥α⇒n∥α 或n⊂α ， 故B错误；
对于C，根据直线与平面垂直的判定定理易知C正确；
对于D， m∥n，m∥α=n∥α 或n⊂α ， 故D错误；
故答案为：C
【分析】根据直线与平面的位置关系可判断ABD，根据直线与平面垂直的判定定理可判断C.
2. （2021高二下·二道期末）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（   ）
A. 若m∥α，n∥α，则m∥n                                     B. 若m⊥α，n⊂α，则m⊥n  
C. 若m⊥α，m⊥n，则n∥α                                   D. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α
【答案】 B
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，直线与平面垂直的性质
【解析】解：对于A， 若m∥α，n∥α ，则 m∥n或 m，n相交或m，n异面，故A错误；
对于B，根据直线与平面垂直的性质定理，易证B正确；
对于C， 若m⊥α，m⊥n，则n∥α或 n⊂α ， 故C错误；
对于D， 若m∥α，m⊥n，则n⊥α 或n⊂α ， 故D错误；
故答案为：B
【分析】根据直线间的位置关系可判断A，根据直线与平面垂直的性质定理可判断B，根据直线与平面间的关系可判断D.
3.（2021高一下·宁波期末）给出下列4个命题，其中正确的命题是（    ）．
①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；③垂直于同一直线的两个平面平行；④垂直于同一平面的两个平面平行．
A. ①②                                     B. ③④                                    
 C. ②③                                     D. ①④
【答案】 C
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，平面与平面平行的性质，直线与平面垂直的性质
【解析】解：对于①， 垂直于同一直线的两条直线平行或相交或异面，故①错误；
对于②，由直线与平面垂直的性质定理得， 垂直于同一平面的两条直线平行，故②正确；
对于③，由平面与平面平行的性质定理得， 垂直于同一直线的两个平面平行，故③正确；
对于④， 垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故④错误.
故答案为：C
【分析】根据直线与直线间的关系可判断①，根据直线与平面垂直的性质定理可判断②，根据平面与平面平行的性质定理可判断③，根据平面与平面间的关系可判断④.
3. （2021高二下·丽水期末）已知直线 a ， b ， l 和平面 α ， a⊂α,b⊂α ，则 “l⊥a,l⊥b” 是 “l⊥α” 的（    ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，直线与平面垂直的性质
【解析】由 a⊂α,b⊂α ， l⊥a,l⊥b ，不明确 a,b 是否相交，所以不能推出 l⊥α
若 l⊥α ，则直线 l 垂直平面 α 中任意一条直线，故 l⊥a,l⊥b
所以 “l⊥a,l⊥b” 是 “l⊥α” 的必要不充分条件
故答案为：B
【分析】根据空间中直线与平面的位置关系以及充分条件、必要条件的定义，即可得出答案。
4. （2021高三上·五华月考）东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有1100多年历史．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，在A点测得：塔在北偏东30°的点D处，塔顶C的仰角为30°，且B点在北偏东60°．AB相距80（单位：m），在B点测得塔在北偏西60°，则塔的高度CD约为（    ）m.

A. 69                                         B. 40                                         
C. 35                                         D. 23
【答案】 B
【考点】直线与平面垂直的性质，解三角形
【解析】如图，根据题意，图中 CD⊥ 平面ABD, ∠CAD=30° , ∠BAD=30°,∠ABD=60°,AB=80

△ABD 中， ∠BAD=30°,∠ABD=60° ， ∴∠ADB=90°
∴AD=ABcos∠BAD=80·cos30°=403
又 ∵CD⊥ 平面ABD ， ∴△ACD 是直角三角形
Rt△ACD 中， ∠CAD=30°,∠ADC=90°,AD=403
∴CD=AD·tan30°=403×33=40 ，B符合题意，ACD不符合题意
故答案为：B.
【分析】由已知条件结合线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，结合三角形的几何计算关系代入数值计算出边的大小，再由勾股定理结合三角形几何三角形的就是关系，计算出结果即可。
5. （2020高二上·农安期末）设平面 α 与向量 a=(−1,2,−4) 垂直，平面 β 与向量 b=(2,3,1) 垂直，则平面 α 与 β 的位置关系是________．
【答案】 垂直
【考点】数量积的坐标表达式，数量积判断两个平面向量的垂直关系，平面与平面垂直的判定
【解析】因为 a=(−1,2,−4) ， b=(2,3,1) ，
所以 a⋅ b=−2+6−4=0 ，
所以 a⊥b ，
因为平面 α 与向量 a=(−1,2,−4) 垂直，平面 β 与向量 b=(2,3,1) 垂直，
所以 α⊥β。
故答案为：垂直。
【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0，从而证出a⊥b ， 因为平面 α 与向量 a=(−1,2,−4) 垂直，平面 β 与向量 b=(2,3,1) 垂直，所以 α⊥β。
6. （2021·佛山模拟）已知四棱锥 P−ABCD 的顶点都在球O上， AB=3 ， BC=4 ， CD=1 ， AD=26 ， AC=5 ，平面 PAD⊥ 平面 ABCD ，且 PA⊥PD ，则球O的体积为       ．
【答案】 125π6
【考点】球的体积和表面积，球内接多面体，直线与平面垂直的性质
【解析】取AC中点O，AD中点H，连接OH，OB，OD，PH，如图所示：

因为 AB=3 ， BC=4 ， CD=1 ， AD=26 ， AC=5 ，
所以 AB2+BC2=AC2 ，即 AB⊥BC ，
AD2+DC2=AC2 ，即 AD⊥DC ，
又O为AC中点，
所以O到A，B，C，D的距离相等.
因为平面 PAD⊥ 平面 ABCD ，平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD ， AD⊥DC ，
所以 DC⊥ 平面 PAD ，
又因为O，H，分别为AC，AD中点，
所以 OH∕∕DC ，即 OH⊥ 平面 PAD ，
又 PA⊥PD ，
所以O到P，A，D的距离相等，
所以O为四棱锥 P−ABCD 外接球的球心，
在 Rt△ADC 中， OD=OH2+DH2=(12)2+(6)2=52 ,
所以球O的体积 V=43πR3=43π×OD3=43π×(52)3=125π6 .
故答案为： 125π6
【分析】 由题意作出图形，取AC的中点O，证明O为四棱锥P-ABCD的外接球的球心，求出半径，再由球的体积公式求解即可。
7. （2021高二上·浦东新期中）三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在      垂直.
【答案】 平面上的射影
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，两条直线垂直的判定，直线与平面垂直的性质
【解析】解：由三垂线定理得：平面上的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也与这条斜线垂直；
由三垂线定理的逆定理得：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它与这条斜线在平面上的射影垂直；
所以平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的射影垂直，
故答案为：平面上的射影.
【分析】 利用三垂线定理和三垂线定理的逆定理，即可得出答案。
8. （2021高二上·浦东新期中）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的      直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.
【答案】 两条相交
【考点】直线与平面垂直的判定
【解析】解：直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.
故答案为：两条相交
【分析】由线面垂直的判定定理，即可得出答案。
9. （2020·广元模拟）给出下列命题：
①同时垂直于一条直线的两个平面互相平行﹔
②一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直；
③设 α,β,γ 为平面，若 α⊥β,β⊥γ ，则 α⊥γ ；
④设 α,β,γ 为平面，若 α//β,β//γ ，则 α//γ ．
其中所有正确命题的序号为       ．
【答案】 ①②④
【考点】平面与平面平行的判定，平面与平面平行的性质，平面与平面垂直的判定，平面与平面垂直的性质
【解析】根据线面垂直的性质知命题①正确；
由线面平行的性质和线面垂直的性质知命题②正确；
由下图知命题③不正确；

由面面平行的性质知命题④正确．
故答案为：①②④.
【分析】 直接利用面面垂直和面面平行的判定和性质判定①②③④的结论．
10. （2021·珠海模拟）正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为2，点 E 为平面 AA1C1C 内的动点， B1E=2 ，则 AE 长度的最小值为      .

【答案】 6−2
【考点】点与圆的位置关系，直线与平面垂直的判定
【解析】在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，连接B1D1交A1C1于点O ， 则B1D1⊥A1C1 ， 而AA1⊥平面A1B1C1D1 ， 即B1D1⊥AA1 ， 如图：

从而有B1O⊥平面A1B1C1D1 ， 连OE ， Rt△B1OE中， B1O=2 ，而 B1E=2 ，则 EO=2 ，
所以点E在平面ACC1A1内的以O为圆心， 2 为半径的矩形ACC1A1内的半圆上，
而点A及半圆弧在半圆O的直径A1C1同侧，且点A在半圆弧外，则有 (AE)min=AO−2=6−2 .
故答案为： 6−2
【分析】连接B1D1交A1C1于点O，由线面垂直判定得B1O⊥平面  AA1C1C ，易求得EO=2所以点E在平面ACC1A1内的以O为圆心， 2 为半径的矩形ACC1A1内的半圆上，易得  AE 长度的最小值。
11. （2021·安阳模拟）如图，在梯形 ABCD 中， AB//CD ， AD=DC=CB ， ∠ABC=60° ，四边形 ACEF 是矩形.

（1）求证： AC⊥EB ；
（2）若 CE=BC ，且 CE⊥BC ，求 EB 与平面 FBD 所成角的正弦值.
【答案】 （1）解：在等腰梯形 ABCD 中， AD=DC ， ∴∠DAC=∠DCA ，又 AB//CD ，即 ∠DCA=∠CAB ，所以 ∠DAC=∠CAB ，且 ∠DAB=∠ABC=60° ，
∴∠CAB=30°,∴∠BCA=90° ，即 AC⊥BC .
又 ∵ 四边形 ACEF 是矩形， ∴AC⊥EC .
又 EC∩BC=C ， ∴AC⊥ 平面 ECB ，又 EB⊂ 平面 ECB ， ∴AC⊥EB .

（2）解：由条件可知 CA,CB,CE 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，

设 CE=BC=2 ，则 B(0,2,0),D(3,−1,0),F(23,0,2),E(0,0,2) ，
∴BD=(3,−3,0) ， BF=(23,−2,2) .
设平面 FBD 的法向量 n=(x,y,z) ，
则有 {n⋅BD=0n⋅BF=0⇒{3x−3y=023x−2y+2z=0 ，
令 y=1 ，得 x=3 ， z=−2 ，
∴ 平面 FBD 的一个法向量为 n=(3,1,−2) ，设直线 EB 与平面 FBD 所成角为 θ
又 EB=(0,2,−2) ， ∴sinθ=|cos〈EB,n〉|=|EB⋅n|EB||n||=34 ，
∴EB 与平面 FBD 所成角的正弦值为 34 .
【考点】直线与平面垂直的性质，用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】 (1) 利用边角关系先证明∠BCA=90°，即AC⊥BC，结合AC⊥EC，可证AC⊥平面ECB，从而证明AC⊥EB；
（Ⅱ）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面FBD的法向量，由向量的夹角公式求解即可．
12. （2021高二上·山东月考）已知空间内不重合的四点，坐标分别为 A(−1,1,2) ， B(1,1,−2) ， C(1,0,2) ， D(m+1,m+n,n+1)
（1）若 AB//CD ，求点 D 的坐标；
（2）若 CD 与平面 ABC 垂直，求 m 和 n 的值.
【答案】 （1）解： AB=(2,0,−4) ， CD=(m,m+n,n−1) ，
因为 AB//CD ，故存在实数 λ(λ≠0) ，使得 AB=λCD ，
即 (2,0,−4)=λ(m,m+n,n−1) ，故 {2=λm0=λ(m+n)−4=λ(n−1) ，解得 {λ=2m=1n=−1
点 D 的坐标为 (2,0,0)

（2）解：因为 CD 与平面 ABC 垂直，所以 CD⊥AB ， CD⊥AC ，
又 CD=(m,m+n,n−1) ， AB=(2,0,−4) ， AC=(2,−1,0)
所以 {CD⋅AB=0CD⋅AC=0 ，即 {2m−4(n−1)=02m−(m+n)=0
解得 m=n=2
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，数量积的坐标表达式，数量积判断两个平面向量的垂直关系，直线与平面垂直的性质
【解析】 (1)利用已知条件结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再结合向量共线的坐标表示，从而求出点D的坐标。
（2）利用CD 与平面 ABC 垂直结合线面垂直证出线线垂直，所以 CD⊥AB ， CD⊥AC ，再利用已知条件结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，从而求出m,n的值。
13. （2021高二下·南充期末）如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是边长为2的正方形， ∠BAP=∠BCP=90∘ .

（1）证明： PD⊥ 平面 ABCD ；
（2）若 PD=2 ，求二面角 D−PB−C 的正弦值.
【答案】 （1）证明：因为 ABCD 为正方形，所以 BC⊥CD ，
因为 ∠BCP=90∘ ，所以 BC⊥CP ，
又因为 CD∩CP=C ，所以 BC⊥ 平面 PCD ，
PD⊂ 平面 PCD ，所以 BC⊥PD ，
因为 ABCD 为正方形，所以 BA⊥AD ，
因为 ∠BAP=90∘ ，所以 BA⊥AP ，
又因为 AD∩AP=A ，所以 BA⊥ 平面 PAD ，
PD⊂ 平面 PAD ，所以 BA⊥PD ，又 BA∩BC=B ，
所以 PD⊥ 平面 ABCD .
（2）以 D 为坐标原点，射线 DA ， DC ， DP 分别为
x 轴， y 轴， z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D−xyz ，

则 D(0,0,0) ， A(2,0,0) ， B(2,2,0) ， C(0,2,0) ， P(0,0,2) ，
BC=(−2,0,0) ， CP=(0,−2,2) ，
设平面 PBC 的一个法向量为 n=(x,y,z) ，
由 {n⋅BC=0n⋅CP=0 ，得 {−2x=0,−2y+2z=0,
令 z=1 ，得 n=(0,1,1) ，
由（1）知 PD⊥ 平面 ABCD ， AC⊂ 平面 ABCD ，
所以 PD⊥AC ，因为 ABCD 为正方形，所以 AC⊥BD ，
又 PD∩BD=D ，所以 AC⊥ 平面 PDB ，
所以 AC 是平面 PDB 的一个法向量， AC=(−2,2,0)
所以 cos=n⋅AC|n||AC|=22×8=12 ，
故二面角 D−PB−C 的正弦值为 32 ..
【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，空间向量的数量积运算，用空间向量求平面间的夹角
【解析】 (1)根据题意由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由正方形的几何性质结合线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面PBC法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面PBC的法向量的坐标，同理即可求出平面PDB的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，结合同角三角函数的基本关系式由此得到二面角 D−PB−C 的正弦值。