高考数学(理数)一轮复习单元检测05《平面向量与复数》提升卷(教师版)
展开这是一份高考数学(理数)一轮复习单元检测05《平面向量与复数》提升卷(教师版),共7页。试卷主要包含了已知a=,b=,O为坐标原点等内容,欢迎下载使用。
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页.
2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.
3.本次考试时间100分钟,满分130分.
4.请在密封线内作答,保持试卷清洁完整.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若复数z满足iz=3+4i,则|z|等于( )
A.1B.2C.eq \r(5)D.5
答案 D
解析 因为z=eq \f(3+4i,i)=-(3+4i)i=4-3i,所以|z|=eq \r(42+-32)=5.
2.若z1=(1+i)2,z2=1-i,则eq \f(z1,z2)等于( )
A.1+iB.-1+iC.1-iD.-1-i
答案 B
解析 ∵z1=(1+i)2=2i,z2=1-i,∴eq \f(z1,z2)=eq \f(2i,1-i)=eq \f(2i1+i,1-i1+i)=eq \f(-2+2i,2)=-1+i.
3.设平面向量m=(-1,2),n=(2,b),若m∥n,则|m+n|等于( )
A.eq \r(5)B.eq \r(10)C.eq \r(2)D.3eq \r(5)
答案 A
解析 由m∥n,m=(-1,2),n=(2,b),得b=-4,
故n=(2,-4),所以m+n=(1,-2),故|m+n|=eq \r(5),故选A.
4.如图所示,向量eq \(OA,\s\up6(→))=a,eq \(OB,\s\up6(→))=b,eq \(OC,\s\up6(→))=c,点A,B,C在一条直线上,且eq \(AC,\s\up6(→))=-4eq \(CB,\s\up6(→)),则( )
A.c=eq \f(1,2)a+eq \f(3,2)bB.c=eq \f(3,2)a-eq \f(1,2)b
C.c=-a+2bD.c=-eq \f(1,3)a+eq \f(4,3)b
答案 D
解析 c=eq \(OB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))=eq \(OB,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(OB,\s\up6(→))+eq \f(1,3)(eq \(OB,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→)))=eq \f(4,3)eq \(OB,\s\up6(→))-eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))=eq \f(4,3)b-eq \f(1,3)a.故选D.
5.设向量a=(x,1),b=(1,-eq \r(3)),且a⊥b,则向量a-eq \r(3)b与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6)B.eq \f(π,3)C.eq \f(2π,3)D.eq \f(5π,6)
答案 D
解析 因为a⊥b,所以x-eq \r(3)=0,解得x=eq \r(3),所以a=(eq \r(3),1),a-eq \r(3)b=(0,4),则cs〈a-eq \r(3)b,b〉=eq \f(a-\r(3)b·b,|a-\r(3)b|·|b|)=eq \f(-4\r(3),4×2)=-eq \f(\r(3),2),所以向量a-eq \r(3)b与b的夹角为eq \f(5π,6),故选D.
6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若eq \(OB,\s\up6(→))=a1eq \(OA,\s\up6(→))+a2019eq \(OC,\s\up6(→)),且A,B,C三点共线(O为该直线外一点),则S2019等于( )
A.2019B.2020C.eq \f(2019,2)D.1010
答案 C
解析 A,B,C三点共线,且eq \(OB,\s\up6(→))=a1eq \(OA,\s\up6(→))+a2019eq \(OC,\s\up6(→)),则a1+a2019=1,
所以S2019=eq \f(2019,2)(a1+a2019)=eq \f(2019,2),故选C.
7.设a,b是非零向量,则“a·b=|a||b|”是“a∥b”的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由a·b=|a||b|,得cs〈a,b〉=1,所以a∥b;反之,a∥b不能推得
cs〈a,b〉=1,所以“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分不必要条件,故选B.
8.如图,在△ABC中,AB=AC=3,cs∠BAC=eq \f(1,3),eq \(DC,\s\up6(→))=2eq \(BD,\s\up6(→)),则eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))的值为( )
A.2B.-2C.3D.-3
答案 B
解析 eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))=(eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→)))·eq \(BC,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))+\f(2,3)\(CB,\s\up6(→))))·eq \(BC,\s\up6(→))=eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))+\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))-\(AC,\s\up6(→))))·eq \(BC,\s\up6(→))
=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))+\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))))·(eq \(AC,\s\up6(→))-eq \(AB,\s\up6(→)))=-eq \f(2,3)|eq \(AB,\s\up6(→))|2+eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))+eq \f(1,3)|eq \(AC,\s\up6(→))|2=-6+1+3=-2,故选B.
9.已知a=(2,csx),b=(sinx,-1),当x=θ时,函数f(x)=a·b取得最大值,则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ+\f(π,4)))等于( )
A.eq \f(7\r(2),10)B.eq \f(\r(2),10)C.-eq \f(\r(2),10)D.-eq \f(7\r(2),10)
答案 D
解析 f(x)=a·b=2sinx-csx=eq \r(5)sin(x-φ),其中sinφ=eq \f(1,\r(5)),csφ=eq \f(2,\r(5)),
θ-φ=2kπ+eq \f(π,2),k∈Z,解得θ=2kπ+eq \f(π,2)+φ,k∈Z,所以sinθ=csφ=eq \f(2,\r(5)),
csθ=-sinφ=-eq \f(1,\r(5)),所以sin2θ=2sinθcsθ=-eq \f(4,5),cs2θ=1-2sin2θ=-eq \f(3,5),
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ+\f(π,4)))=eq \f(\r(2),2)(sin2θ+cs2θ)=-eq \f(7\r(2),10),故选D.
10.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))=2,eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))=-1,则eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))等于( )
A.5B.6
C.7D.8
答案 C
解析 eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))=eq \(ED,\s\up6(→))2-eq \(BD,\s\up6(→))2=4eq \(FD,\s\up6(→))2-eq \(BD,\s\up6(→))2=2,eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))=eq \(FD,\s\up6(→))2-eq \(BD,\s\up6(→))2=-1,所以eq \(FD,\s\up6(→))2=1,eq \(BD,\s\up6(→))2=2,
因此eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))=eq \(AD,\s\up6(→))2-eq \(BD,\s\up6(→))2=9eq \(FD,\s\up6(→))2-eq \(BD,\s\up6(→))2=7,故选C.
11.定义:|a×b|=|a||b|sinθ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于( )
A.6B.-8或8
C.-8D.8
答案 D
解析 csθ=eq \f(a·b,|a||b|)=eq \f(-6,10)=-eq \f(3,5),且θ∈[0,π],
则sinθ=eq \f(4,5),则|a×b|=|a|·|b|sinθ=10×eq \f(4,5)=8,故选D.
12.在△ABC中,eq \(CM,\s\up6(→))=2eq \(MB,\s\up6(→)),过点M的直线分别交射线AB,AC于不同的两点P,Q,若eq \(AP,\s\up6(→))=meq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AQ,\s\up6(→))=neq \(AC,\s\up6(→)),则mn+m的最小值为( )
A.6eq \r(3) B.2eq \r(3) C.6 D.2
答案 D
解析 由已知易得,eq \(AM,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→)),∴eq \(AM,\s\up6(→))=eq \f(2,3m)eq \(AP,\s\up6(→))+eq \f(1,3n)eq \(AQ,\s\up6(→)).
又M,P,Q三点共线,∴eq \f(2,3m)+eq \f(1,3n)=1,∴m=eq \f(2n,3n-1),易知3n-1>0.
mn+m=m(n+1)=eq \f(2n,3n-1)·(n+1)=eq \f(2,9)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3n-1+\f(4,3n-1)+5))≥2,
当且仅当m=n=1时取等号.
∴mn+m的最小值为2.
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.若复数(a+i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上,则实数a的值是________.
答案 -1
解析 因为复数(a+i)2=(a2-1)+2ai,
所以其在复平面内对应的点的坐标是(a2-1,2a).
又因为该点在y轴负半轴上,所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2-1=0,,2a<0,))解得a=-1.
14.已知若对任意一个单位向量e,满足(a+b)·e≤2成立,则a·b的最大值是______.
答案 1
解析 (a+b)·e=|a+b|·|e|cs〈a+b,e〉≤|a+b|≤2,
当且仅当a+b,e同向共线时取等号,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(x1+x2)2+(y1+y2)2≤4,a·b=x1x2+y1y2≤eq \f(x1+x22,4)+eq \f(y1+y22,4)≤eq \f(1,4)×4=1,当且仅当x1=x2,y1=y2时取等号,故a·b的最大值是1.
15.欧拉在1748年给出了著名公式eiθ=csθ+isinθ(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一,其中,底数e=2.71828…,根据欧拉公式eiθ=csθ+isinθ,任何一个复数z=r(csθ+isinθ),都可以表示成z=reiθ的形式,我们把这种形式叫做复数的指数形式,若复数z1=,z2=,则复数z=eq \f(z1,z2)在复平面内对应的点在第________象限.
答案 四
解析 因为z1==2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)+isin \f(π,3)))=1+eq \r(3)i,z2==cseq \f(π,2)+isineq \f(π,2)=i,
所以z=eq \f(z1,z2)=eq \f(1+\r(3)i,i)=eq \f(1+\r(3)i-i,i-i)=eq \r(3)-i.
复数z在复平面内对应的点为Z(eq \r(3),-1),点Z在第四象限.
16.已知点O为△ABC内一点,且满足eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(OB,\s\up6(→))+4eq \(OC,\s\up6(→))=0.设△OBC与△ABC的面积分别为S1,S2,则eq \f(S1,S2)=______.
答案 eq \f(1,6)
解析 设E为AB的中点,连接OE,延长OC到D,使OD=4OC,因为点O为△ABC内一点,且满足eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(OB,\s\up6(→))+4eq \(OC,\s\up6(→))=0,所以eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(OB,\s\up6(→))+eq \(OD,\s\up6(→))=0,则点O是△ABD的重心,则E,O,C,D共线,OD∶OE=2∶1,所以OC∶OE=1∶2,则CE∶OE=3∶2,则S1=eq \f(1,3)S△BCE=eq \f(1,6)S△ABC,所以eq \f(S1,S2)=eq \f(1,6).
三、解答题(本题共4小题,共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).
(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;
(2)在平面内一点D满足eq \(OD,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))-teq \(OC,\s\up6(→)),若△ACD为直角三角形,且A为直角,试求实数t的值.
解 (1)由题意得eq \(AB,\s\up6(→))=(3,5),eq \(AC,\s\up6(→))=(-1,1),故eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→))=(2,6),eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→))=(4,4),
所以|eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→))|=2eq \r(10),|eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→))|=4eq \r(2),
故所求对角线的长分别为2eq \r(10),4eq \r(2).
(2)由题设知eq \(OD,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))-teq \(OC,\s\up6(→))=(3+2t,5+t),
故D(3+2t,5+t),则eq \(AD,\s\up6(→))=(2t+4,t+7).
由△ACD为直角三角形,且A=eq \f(π,2),
得eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))=0,即(2t+4,t+7)·(-1,1)=0,解得t=3.
所以满足题意的实数t的值为3.
18.已知a=(3,-2),b=(2,1),O为坐标原点.
(1)若ma+b与a-2b的夹角为钝角,求实数m的取值范围;
(2)设eq \(OA,\s\up6(→))=a,eq \(OB,\s\up6(→))=b,求△OAB的面积.
解 (1)∵a=(3,-2),b=(2,1),
∴ma+b=(3m+2,-2m+1),a-2b=(-1,-4),
令(ma+b)·(a-2b)<0,即-3m-2+8m-4<0,解得m
a-2b与ma+b方向相反,夹角为平角,不合题意.
∴m≠-eq \f(1,2),
∴若ma+b与a-2b的夹角为钝角,m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,-\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),\f(6,5))).
(2)设∠AOB=θ,△OAB面积为S,则S=eq \f(1,2)|a|·|b|sinθ,
∵sin2θ=1-cs2θ=1-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a·b,|a|·|b|)))2,
∴4S2=|a|2|b|2·sin2θ=|a|2|b|2-(a·b)2=65-16=49.∴S=eq \f(7,2).
19.如图,在△OAB中,点P为线段AB上的一个动点(不包含端点),且满足eq \(AP,\s\up6(→))=λeq \(PB,\s\up6(→)).
(1)若λ=eq \f(1,2),用向量eq \(OA,\s\up6(→)),eq \(OB,\s\up6(→))表示eq \(OP,\s\up6(→));
(2)若|eq \(OA,\s\up6(→))|=4,|eq \(OB,\s\up6(→))|=3,且∠AOB=60°,求eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))取值范围.
解 (1)∵eq \(AP,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(PB,\s\up6(→)),∴eq \(OP,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→))=eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))-eq \(OP,\s\up6(→))),∴eq \f(3,2)eq \(OP,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→)),即eq \(OP,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→)).
(2)∵eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))=|eq \(OA,\s\up6(→))|·|eq \(OB,\s\up6(→))|·cs60°=6,eq \(AP,\s\up6(→))=λeq \(PB,\s\up6(→))(λ>0),
∴eq \(OP,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→))=λ(eq \(OB,\s\up6(→))-eq \(OP,\s\up6(→))),(1+λ)eq \(OP,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))+λeq \(OB,\s\up6(→)),
∴eq \(OP,\s\up6(→))=eq \f(1,1+λ)eq \(OA,\s\up6(→))+eq \f(λ,1+λ)eq \(OB,\s\up6(→)).
∵eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(OB,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→)),
∴eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1+λ) \(OA,\s\up6(→))+\f(λ,1+λ) \(OB,\s\up6(→))))·(eq \(OB,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→)))
=-eq \f(1,1+λ)eq \(OA,\s\up6(→))2+eq \f(λ,1+λ)eq \(OB,\s\up6(→))2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1+λ)-\f(λ,1+λ)))eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))
=eq \f(-16+9λ+6-6λ,1+λ)=eq \f(3λ-10,1+λ)=3-eq \f(13,1+λ).
∵λ>0,∴3-eq \f(13,1+λ)∈(-10,3).
∴eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))的取值范围是(-10,3).
20.已知向量m=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)sin \f(x,4),1)),n=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(x,4),cs2\f(x,4))),记f(x)=m·n.
(1)若f(x)=1,求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,3)))的值;
(2)在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)csB=bcsC,求f(2A)的取值范围.
解 (1)f(x)=m·n=eq \r(3)sineq \f(x,4)cseq \f(x,4)+cs2eq \f(x,4)=eq \f(\r(3),2)sineq \f(x,2)+eq \f(1,2)cseq \f(x,2)+eq \f(1,2)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)+\f(π,6)))+eq \f(1,2).
由f(x)=1,得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)+\f(π,6)))=eq \f(1,2),所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,3)))=1-2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)+\f(π,6)))=eq \f(1,2).
(2)因为(2a-c)csB=bcsC,
由正弦定理得(2sinA-sinC)csB=sinBcsC,
所以2sinAcsB-sinCcsB=sinBcsC,
所以2sinAcsB=sin(B+C).
因为A+B+C=π,所以sin(B+C)=sinA,且sinA≠0,
所以csB=eq \f(1,2).
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