高中数学人教版新课标A选修2-13.2立体几何中的向量方法第3课时教学设计

§3.2.3　利用向量解决平行与垂直问题

【学情分析】：

教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面又学习了用向量表示线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系，所以本节课是通过运用这些关系解决立体几何中的平行与垂直问题。本次课内容不难理解，但学生自己做题时往往会遇到一个如何转化的问题，因此，教学中应重点抓住转换思想来进行.

【教学目标】：

（1）知识与技能：继续理解用向量表示空间中平行与垂直的关系和方法；会用向量法和坐标法等方法解决立体几何中的平行与垂直问题.

（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。

（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。

【教学重点】：向量法与坐标法. 

【教学难点】：立体几何中的平行与垂直问题向向量问题的转化.

【课前准备】：Powerpoint课件

【教学过程设计】：

练习与测试：

（基础题）

1，直三棱柱ABC—A1B1C1中，若， 则 　　　　　　　　　　 （　  ）

　　　 A．+－ 　　　　  B．－+ 　　 C．－++  　　  D．－+－

答：D

2，若向量、　　　　　　　 （　  ）

　　　 A．　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B． 

　　　 C．　　　　  D．以上三种情况都可能

答：B

3，一空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直，用向量证明：AC与BD也互相垂直．

证明： .  又，

即.……①　　　 .

　　　　 又，即.……②　

　　　　 由①+②得：即..

4，如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．

　 （1）求证：EF∥平面PAD；

　 （2）求证：EF⊥CD；

证：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a，

BC＝2b，PA＝2c，则：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，

　　　　 D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c)　

  ∵ E为AB的中点，F为PC的中点　　　　　　　　　　 

　　　　 ∴ E (a, 0, 0)，F (a, b, c)

(1)∵ ＝(0, b, c)，＝(0, 0, 2c)，＝(0, 2b, 0)

　　　　 ∴ ＝(＋) ∴ 与、共面

　　　　 又∵ E Ï 平面PAD　　　 

 ∴ EF∥平面PAD．

(2)              ∵ ＝(-2a, 0, 0 )　　　

  ∴ ·＝(-2a, 0, 0)·(0, b, c)＝0　　　　　　　　 

∴ CD⊥EF．

（较难题）

5，对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面。                                  

分析  要证明EF、BC、AD平行于同一平面                D   F               

（E、F分别为AB、CD的中点），只要证明相应           A   E      C

向量EF与AD、BC共面即可。                                   B

证明：如图，利用多边形加法法则可得， =++，=++…①。

又E、F分别是AB、CD的中点，故有=-，=-…②

将②代入①后，两式相加得

2=+，∴ =+即与、共面，∴EF与AD、BC平行于同一平面。

注：本题若用立体几何知识去证明，有一定的难度，由此体会向量法证明的优越性。

6，如图，已知a⊥α,a⊥b,b￠α,求证b∥α。

证明：在α内作不共线向量m,n                                 b

∵a、m、n不共面，∴b=xa+ym+zn。                          a

两边同乘a得a·b=x·a·a+y·a·m+z·a·n           m

∵a⊥b,a⊥m,a⊥n,∴a·b=0,a·m=0,a·n=0               n                       

得x·a·a=0而a≠0,∴x=0,即b=ym+zn             

∴b、m、n为共面向量，又b￠α,b∥α。

7，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E=2EB，CF=2AF，

求证：EF∥平面A1B1CD。                              D1             C1

证明： = + +…（1）

=1+ ++…（2）        A1              B1

（1）×2+（2）并注意到=-2，                  D               C

=-2，=-，                           F    E

得 =-                          A              B

而EF￠平面A1B1CD，∴EF∥平面A1B1CD。

∴，、为共面向量。