数学八年级下册第十六章 二次根式16.1 二次根式学案

第01课  二次根式

知识点01  二次根式及代数式的概念

1.二次根式：一般地，我们把形如         的式子叫做二次根式，“”称为      ．

要点诠释：

正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：

（1）       二次根式的概念是从形式上界定的，      “     ”，“”的根指数为      ，即“”，我们一般      ，写作“”。如可以写作          。

（2）       二次根式中的被开方数既可以是一个  ，也可以是一个含有字母的       。

（3）       式子表示      的      ，因此a≥0，≥0。其中a≥0是有意义的前提条件。

（4）       在具体问题中，如果已知二次根式，就意味着给出了      这一隐含条件。

（5）       形如b（a≥0）的式子也是二次根式，b与是      的关系。要注意当b是分数时  ，例如可写成，但不能写成2 。

2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把      和表示数的      连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.

列代数式的常用方法：

（1）                  ：根据问题的语言叙述直接写出代数式。

（2）                  ：根据公式列出代数式。

（3）                  ：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。

知识点02  二次根式的性质

注意：与的区别与联系：

考法01   二次根式的判断

【典例1】在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

【即学即练】下列各式中，不是二次根式的是（　　）

A． B． C．2 D．

考法02  二次根式有意义的条件

【典例2】若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【典例3】式子中x的取值范围是（       ）

A．x＞2 B．x≥﹣2 C．x≠2 D．x≥﹣2且x≠2

【典例4】代数式中，自变量x的取值范围是（       ）

A．x＞﹣3且x≠0 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≠﹣3

【典例5】如果，那么的值是______．

考法03  二次根式非负性的逆用

【典例6】如果，则a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【即学即练】若， 则x的取值范围是（       ）

A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1

【典例7】把根号外的因式移入根号内的结果是（　　）

A． B． C． D．

考法04  利用二次根式的非负性化简求值

【典例8】计算：______．

【即学即练】化简______．

【典例9】已知+（y﹣3）2＝0，则＝_____．

【即学即练】若x＜2，化简＝_______________．

【即学即练】化简＝_______________．

考法05  利用=｜a｜并结合数轴化简求值

【典例10】如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为______________

【即学即练】如果表示a、b的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|+的结果是_____．

【即学即练】如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____．

【即学即练】已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：.

考法06  利用=｜a｜与三角形三边关系的综合应用

【典例11】已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简－＋.

【即学即练】设a，b，c为△ABC的三边，化简： .

考法07  逆用= a（a≥0）在实数范围内分解因式

【典例12】在实数范围内分解因式：

（1）；

（2）．

【即学即练】分解因式（在实数范围内）：．

题组A  基础过关练

1．在式子中，二次根式有（     ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2．使有意义的x的取值范围是（　　）

A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞3

3．计算的结果是

A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9

4．已知，则的值为（ ）

A． B． C． D．

5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（　　）

A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b

6．如果，那么（　　　）

A． B． C． D．

7．已知－2＜m＜3，化简＋|m＋2|的结果是( 　)

A．5 B．1 C．2m－1 D．2m－5

8．在中， ， c为斜边，a. b为直角边，则化简的结果为(     )

A． B．

C． D．2a

9．化简的结果是（       ）

A． B． C． D．1

题组B  能力提升练

1．化简得（             ）．A．2 B． C．－2 D．

2．已知△ABC的三边之长分别为a、1、3，则化简|9-2a|-的结果是（　　）

A．12-4a B．4a-12 C．12 D．-12

3．把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（       ）

A．  B．  C．  D．

4．已知1＜x＜5，化简+|x-5|=____．

5．若＝4－m，则m的取值范围是____________．

6．把的根号外因式移到根号内得____________．

7．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：________．

8．-1的最小值是______．

9．当x=-1时，代数式x2+2x+2的值是__________．

10．在实数范围内因式分解：________．

11．观察下列各式：

，

，

，

请利用你发现的规律，计算：

，其结果为____．

题组C  培优拔尖练

1．若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简：．

2．阅读理解题，下面我们观察：

反之，

所以，所以

完成下列各题：

（1）在实数范围内因式分解：；

（2）化简：；

（3）化简：．

3．阅读下列解题过程：

例：若代数式，求a的取值．

解：原式=，

当a<2时，原式＝(2-a)+(4-a)=6-2a=2，解得a＝2(舍去)；

当2≤a＜4时,原式＝(a-2)+(4-a)=2=2，等式恒成立；

当a≥4时，原式＝(a-2)+(a-4)=2a－6＝2，解得a=4；

所以，a的取值范围是2≤a≤4．

上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：

(1)当3≤a≤7时，化简：＝_________；

(2)请直接写出满足＝5的a的取值范围__________；

(3)若＝6，求a的取值．

4．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．

这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝      ，b＝         ；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：    ＋2     ＝（     ＋    ）2；（答案不唯一）

（3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．