2020-2021学年16.2 二次根式的乘除导学案

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知识精讲
知识点01 二次根式的乘法法则
（1）计算法则： （）即：二次根式相乘，把 相乘，根指数 ；
（2）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为 这一条件。
（3）推广
= 1 \* GB3 ① （a≥0，b≥0，c≥0）；
= 2 \* GB3 ② ；
= 3 \* GB3 ③ 和 在二次根式的乘法中任然可应用。
(3)若二次根式相乘的结果能写成 的形式，则应化简，如.
知识点02二次根式乘法法则的逆用
（1）计算法则： （a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的
利用这个性质可以把二次根式 ，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或 ，然后再将能 的因式或因数开方后移到根号外。
注：
（1）公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0，实际上，公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可，如 EQ \r(,（-4）×（-9）) ≠ EQ \r(,-4) ． EQ \r(,-9) 。
（2）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。
推广： EQ \r(,abcd) = （a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）
知识点03二次根式的除法法则
计算公式： （a≥0，b＞0）即：二次根式相除，把 相除，根指数不变。
注：（1）a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。若a，b都是负数，虽然 eq \f(a,b) ＞0， EQ \r(, eq \f(a,b) ) 有意义，但 EQ \r(,a) ， EQ \r(,b) 在实数范围内无意义；若b=0，则 eq \f(a,b) 无意义。
（2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如 EQ \r(,4 eq \f(1,4) ) 必须先化成 EQ \r(, eq \f(17,4) ) ，以免出现 EQ \r(,4 eq \f(1,4) ) = EQ \r(,4) × EQ \r(, eq \f(1,4) ) 这样的错误。
（3）在二次根式的计算中，最后结果应不含 的因数或因式，同时分母中不含 。
知识点04 二次根式除法法则的逆用
（1） （a≥0，b＞0）即商的算术平方根等于被除式的 除以除式的 。
注：公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0。公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要 eq \f(a,b) ≥0即可。例如计算，不能写为，而应写为 。
利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为 eq \f( EQ \r(,a) , EQ \r(,b) ) （a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。当被开方数是带分数时，应先把它化成 。
常见的二次根式化简：① ；②
③
知识点05最简二次根式的概念
概念：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
（1）被开方数不含 ；（2）被开方数中不含 的因数或因式。
注意，对于最简二次根式的概念我们可作如下解释：
（1）被开方数中不含分母，因此被开方数 或 ；
（2）被开方数中每一个因数或因式的指数都是 。
化简二次根式的一般方法
拓展：
分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。
分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。
分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。
常用的有理化因式有：EQ \r(,a)与EQ \r(,a)；EQ \r(,a+b)与EQ \r(,a+b)；EQ \r(,a-b)与EQ \r(,a-b)；EQ \r(,a)+EQ \r(,b)与 ；aEQ \r(,b)+cEQ \r(,d)与 等。
能力拓展
考法01 二次根式乘除法法则成立的条件
【典例1】等式＝成立的条件是( )
A．x＞0B．x＜1C．0≤x＜1D．x≥0且x≠1
【即学即练】等式成立的条件是_____．
【即学即练】如果代数式，那么m的取值范围是_____________
【典例2】下列计算正确的是( )
A．B．
C．D．
【即学即练】下列结论中，对于实数、，成立的个数有（ ）
①； ②； ③； ④．
A．0个B．1个C．2个D．3个
考法02 最简二次根式
【典例3】下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】下列二次根式中，是最简二次根式的是
A．B．C．D．
【即学即练】下列各式属于最简二次根式的有（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】根式中，最简二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【典例4】若最简二次根式与的被开方数相同,则a的值为( )
A．-B．C．1D．-1
【典例5】若，则的值用、可以表示为 （ ）
A．B．C．D．
考法03 二次根式的化简
【典例6】把下列各式化成最简二次根式：
(1)______；(2)______；(3)______；(4)______；
(5)______；(6)______；(7)______；(8)______．
【即学即练】把下列各式化成最简二次根式：
=__； =__； =__．
【即学即练】化简二次根式的结果为( )
A．﹣2aB．2aC．2aD．﹣2a
【即学即练】若a、b、c均为实数,且a、b、c均不为0化简___________
【即学即练】已知实数，则a的倒数为________．
【典例7】已知：是整数，则满足条件的最小正整数为( )
A．2B．3C．4D．5
【即学即练】已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是_______．
【即学即练】已知是正整数，则正整数的最小值是_______________________．
考法03 二次根式的乘法混合运算
【典例8】计算的结果正确的是（ ）．
A．1B．C．5D．9
【即学即练】计算2×÷3的结果是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】计算：÷
【即学即练】计算所得的结果是______________．
【典例9】计算：(－)2(5＋2)＝____．
【即学即练】计算：=__________
【典例9】计算:
【即学即练】计算：
【即学即练】计算：
考法04 利用二次根式的性质把根号外的非负因数（式）移到根号内
【典例10】把根号外面的因式移到根号内得( )
A．B．C．D．-1
【即学即练】将式子﹣（m﹣n）化为最简二次根式_____．
【即学即练】把根号外的因式移入根号内，其结果是（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【即学即练】已知：a=，b=，则a与b的关系是（ ）
A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．平方相等
考法05 二次根式的大小比较
【典例11】二次根式的大小比较：________．【即学即练】比较二次根式的大小：__________(填“<”、“=”、“>”).
【即学即练】比较大小：______3（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【即学即练】估算比较大小：_______；______．
【即学即练】若[]表示实数的整数部分，例如：[]=3，则[]=___．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．有下列各式①；②；③；④；⑤；⑥．其中最简二次根式有（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知是整数，则满足条件的最小正整数为（ ）.
A．2B．3C．4D．5
5．计算，结果为（ ）
A．B．C．D．
6．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
7．如果，则x（ ）
A．B．C．D．x取任意数
8．·等于( )
A．aB．12a2bC．a2D．2a
题组B 能力提升练
1．在二次根式，，，中，是最简二次根式的是_____．
2．计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：
(1)_______(2)_________(3)__________(4)__________
3．计算：____．
4．计算：__________．
5．计算：3÷×＝___________
6．计算：______．
7．计算的结果是______________．
8．若，则代数式 _______________________．
9．化简：＝___．
题组C 培优拔尖练
1．计算：
2．(1)
(2)
3．计算（1）． （2）．
（3）． （4）．
4．计算:
（1）;
（2）;
（3）
5．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）．
课程标准
掌握二次根式的乘除法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.
了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.
方法
举例
将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方
EQ \r(,8) = ，EQ \r(,x3y4)=
化去根号下的分母
若被开方数中含有带分数，应先将带分数
化成
EQ \r(,1 eq \f(1,3))= 或EQ \r(,1 eq \f(1,3))=
若被开方数中含有小数，应先将小数
化成
EQ \r(,0.9)= 或EQ \r(,0.9)=
被开方数是多项式的要先进行因式分解
EQ \r(,X5+2x3y2+xy4)=