人教版八年级下册16.3 二次根式的加减导学案

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第03课 二次根式的加减

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课程标准
1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；
2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.

知识精讲

知识点01 整式知识点回顾
1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，例如3ab与-4ab
2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数和，且字母部分不变。
3、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
4、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2
5、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，
即（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn

知识点02 同类二次根式
将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。
合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如
注意：
(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；
(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.
(3)互为同类二次根式，即表示两个或者多个二次根式可以合并；
知识点03 二次根式的加减
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下：
（1）将各个二次根式化成最简二次根式；
（2）找出化简后被开方数相同的二次根式；
（3）合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变，可简记为：
化简→判断→合并。

二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下：
运算
二次根式的乘除法
二次根式的加减法
系数
系数相乘除
系数相加减
被开方数
被开方数相乘除
被开方数不变
化简
结果化成最简二次根式
先化成最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式

注：
（1）化成最简二次根式后被开方数不同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分；
（2）整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用；
（3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化成假分数的形式。
知识点04 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。
在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用。
注：在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简。
能力拓展


考法01 同类二次根式的定义
【典例1】下列各式，化简后能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据同类二次根式的定义即可求出答案．
【详解】
解：与是同类二次根式即可合并，
由于=2，2与是同类二次根式，
∴2与可以合并，
故选C．
【点睛】
本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式，本题属于基础题型．
【即学即练】如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．
【详解】
根据题意得，3a-8=17-2a，
移项合并，得5a=25，
系数化为1，得a=5．
故选D．
【点睛】
本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．
【即学即练】若最简二次根式与的被开方数相同,则a的值为( )
A．- B． C．1 D．-1
【答案】C
【分析】
根据最简二次根式的定义可知=，解出a即可.
【详解】
依题意=，解得a=1，选C.
【点睛】
此题主要考查最简二次根式的定义，解题的关键是找到被开方数相等.
考法02 二次根式混合运算法则
【典例2】下列计算结果正确的是( )
A．＋＝ B．3－＝3
C．×＝ D．＝5
【答案】C
【详解】
选项A. 不能计算.A错误.
选项B. ,B错误.
选项C. ,正确.
选项 D. ,D错误.
故选C.
【即学即练】下列运算正确的是（   ）
A．+ = B．3﹣2=1
C．2+=2 D．a﹣b =（a﹣b）
【答案】D
【详解】
利用二次根式的加减法计算，可知：
A、 + 不能合并，此选项错误；
B、3﹣2=，此选项错误；
C、2+不能合并，此选项错误；
D、a﹣b=（a﹣b），此选项正确．
故选D．
【即学即练】下列运算中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
试题分析：根据二次根式的运算法则分别判断即可：
A、和不是同类根式，不可合并，故此选项运算错误，符合题意；
B、，故此选项运算正确，不合题意；
C、，故此选项运算故此选项运算正确，不合题意；
D、，故此选项运算正确，不合题意．
故选A．
考点：二次根式的运算.
【典例3】计算（ ）
A．7 B．-5 C．5 D．-7
【答案】C
【分析】
利用最简二次根式的运算即可得.
【详解】

故答案为 C
【点睛】
本题考查二次根式的运算，掌握同类二次根式的运算法则及分母有理化是解题的关键.
【典例4】计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
原式利用积的乘方变形为，再利用平方差公式计算，从而得出答案．
【详解】

=
=
=
=
故选B．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

考法03 分母有理化
【典例5】已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（ ）
A．a－b＝0 B．a＋b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2
【答案】C
【分析】
先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各个式子的值，即可得出选项．
【详解】
解：分母有理化，可得a=2+，b=2-，
∴a-b=（2+）-（2-）=2，故A选项错误，不符合题意；
a+b=（2+）+（2-）=4，故B选项错误，不符合题意；
ab=（2+）×（2-）=4-3=1，故C选项正确，符合题意；
∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2-）2=4-4+3=7-4，
∴a2≠b2，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．
【即学即练】的值是(　　)
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先分解，再分母有理化，最后算乘法，最后合并即可．
【详解】
原式=，
=，
=1-，
=，
=，
=.
故选B.
【点睛】
此题考查二次根式的化简求值，关键是审清题意，找准规律答题．
考法04 二次根式与乘法公式
【典例6】已知，则代数式的值是(    )
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】
根据x的值和完全平方公式可以解答本题．
【详解】
∵x＝−1，
∴x2＋2x＋1＝（x＋1）2＝（−1＋1）2＝（）2＝2，
故选D．
【点睛】
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式的化简求值的方法．
【即学即练】已知x=+1,y=-1,则的值为（ ）
A．20 B．16 C．2 D．4
【答案】A
【分析】
原式利用完全平方公式化简，将x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】
当x=+1，y=-1时，
x2+2xy+y2=（x+y）2
=（+1+-1）2
=（2）2
=20，
故选A．
【点睛】
此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【即学即练】已知a＝＋2，b＝－2，求下列代数式的值：
(1)a2b＋b2a；(2)a2－b2.
【答案】（1）6 （2）8
【详解】
试题分析：（1）提公因式分解因式，然后代入数值进行计算即可得；
（2）利用平方差进行因式分解后，把数值代入进行计算即可得.
(1)原式＝ab(b＋a)．当a＝＋2，b＝－2时，原式＝6；
(2)原式＝(a＋b)(a－b)．当a＝＋2，b＝－2时，原式＝8.
【即学即练】已知x＝，y＝，求的值．
【答案】30
【解析】
试题分析：先求出xy与x+y的值，再根据分式的加减法则进行计算即可；
试题解析：∵x=，y=，
∴xy=×=1，x+y=+=3+2+3-2=6，
所以原式＝-4
=36-2-4
=30.

考法05 二次根式混合计算
【典例7】计算
（1）（）2﹣（﹣）（）
（2）（）﹣（﹣）
【答案】（1）4+6（2）5-
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式的运算法则计算即可.（2）根据二次根式的运算法则计算即可.
【详解】
（1）原式=2+4+6﹣（5﹣3）
=2+4+6﹣2
=4+6.
（2）原式=2﹣﹣ +3
=5﹣.
【点睛】
本题考查二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键.
【即学即练】化简求值：（1）-×+；（2）．
【答案】（1）；（2）16-6．
【解析】
分析：（1）根据二次根式的性质，化简各二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式化简，然后合并即可.
详解：（1）－×＋
=3-+
=3-2+
=
（2）
=5-6+9+11-9
=16-6.
点睛：此题主要考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质，乘法公式进行计算，关键是利用二次根式的性质化简和最简二次根式的、同类二次根式的确定.
【即学即练】计算：(.
【答案】7-2
【分析】
利用平方差公式和完全平方公式计算即可．
【详解】
原式＝＝7﹣2．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．


分层提分


题组A 基础过关练
1．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（ ）
A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝2 D．a＝－2
【答案】A
【分析】
两个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则称它们是同类二次根式，根据此定义即可得到关于a的方程，从而可求得a的值．
【详解】
∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式
∴a+1=2a
解得：a=1
故选：A
【点睛】
本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的概念是关键．
2．下列运算正确的是（ ）
A． + = B．=4 C．=2× D．=﹣2
【答案】C
【分析】
根据同类二次根式的定义，以及二次根式的性质逐项分析即可．
【详解】
A.与不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
B.=2，故不正确；
C.=2，正确；
D. =2，故不正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了同类二次根式的定义，以及二次根式的性质，化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．熟练掌握，是解答本题的关键．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】
解：A．和不是最简同类二次根式，不能合并，所以A选项不符合题意；
B．=，所以B选项不符合题意；
C．，所以C选项不符合题意；
D．，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
4．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据二次根式的性质和二次根式的混合运算计算即可得出答案．
【详解】
解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意；
B、，此选项错误，不符合题意；
C、，此选项正确，符合题意；
D、，此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
5．式子的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据二次根式分母有理化的方法进行化简即可．
【详解】
解：的倒数是，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的分母有理化，解题关键是熟练运用二次根式性质进行分母有理化．
6．若+（a﹣4）2＝0，则化简的结果是（　　）
A． B．± C． D．±
【答案】A
【分析】
先根据算术平方根的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，再代入化简二次根式即可得．
【详解】
由算术平方根的非负性、偶次方的非负性得：，
解得，
则，
故选：A．
【点睛】
本题考查了算术平方根的非负性、偶次方的非负性、化简二次根式，熟练掌握算术平方根和偶次方的非负性是解题关键．
7．比较的大小，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
将根号外边的数移入到根号里面可进行大小比较．
【详解】
解：，
，
即：；
故选：A．
【点睛】
此题考查了实数的大小比较．注意：两个负数，绝对值大的反而小．
8．下列计算：①（）2＝2，②＝﹣2，③（﹣2）2＝12，④＝2，⑤，⑥＝﹣1，其中结果正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【详解】
解：①（）2＝2，故①正确．
②＝2，故②错误．
③（﹣2）2＝12，故③正确．
④，故④错误．
⑤与不是同类二次根式，故⑤错误，
⑥（）（）＝2﹣3＝﹣1，故⑥正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
9．计算：（3－2）2020（3＋2）2021的结果是（　　）
A．3－2 B．3＋2 C．1 D．2021
【答案】B
【分析】
先根据积的乘方得到原式=（3－2）2020×（3＋2）2020×（3＋2）=[(3－2)×(3＋2)]2020×(3＋2)，然后利用平方差公式计算．
【详解】
解, 原式=（3－2）2020×（3＋2）2020×（3＋2）
=[(3－2)×(3＋2)]2020×(3＋2)
=(9-8) 2020×(3＋2)
=3＋2
故答案为:B
【点睛】
本题考查了积的乘方，平方差公式，二次根式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力．


题组B 能力提升练
1．与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____．
【答案】2
【详解】
分析：先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．
详解：∵与最简二次根式5是同类二次根式，且=2，
∴a+1=3，解得：a=2．
故答案为2．
点睛：本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
2．计算：______．
【答案】
【分析】
把两个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】

故答案为：
【点睛】
本题考查了二次根式的减法运算，关键是把算式中的二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
3．计算=________________ .
【答案】
【解析】
=，
故答案为.
4．当x=2+时，式子x2﹣4x+2017=________．
【答案】2016
【详解】
把所求的式子化成（x﹣2）2+2013然后代入式子计算，即可得到：x2﹣4x+2017=（x﹣2）2+2013 =（）2+2013=3+2013=2016．
故答案是：2016．
点睛：此题主要考查了配方法的应用，解题关键是把式子配成完全平方，然后整体代入即可求解，考查了学生对整体思想的认识和应用，学生对整体思想不熟时出错的主要原因.
5．化简的结果为_____．
【答案】+1
【分析】
利用积的乘方得到原式＝[（﹣1）（+1）]2017•（+1），然后利用平方差公式计算．
【详解】
原式＝[（﹣1）（+1）]2017•（+1）＝（2﹣1）2017•（+1）＝+1．
故答案为+1．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
6．已知x=+1，y=-1，则x2+xy+y2=_____．
【答案】10
【详解】
根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=（2）2﹣（+1）（﹣1）=12﹣2=10．
故答案为10．
7．已知，，则的值是______．
【答案】．
【分析】
先对a、b分母有理化，然后将因式分解，最后将a、b的值代入计算即可．
【详解】
解：∵，
，
∴


．
故填：．
【点睛】
本题主要考查了分母有理化以及因式分解的应用，正确的对a、b因式分解是解答本题的关键．
8．若+=+，=-，则x+y=_______．
【答案】8+2
【详解】
根据配方法，由完全平方公式可知x+y==（）2-2，然后把+=+，=-整体代入可得原式=（+）2-2（-）=5+3+2-2+2=8+2.
故答案为8+2.
9．观察下列运算过程：


……
请运用上面的运算方法计算：
=_____．
【答案】
【分析】
先分母有理化，然后合并即可．
【详解】
原式=（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣），
=（﹣1+﹣+…+﹣），
=．
故答案为．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质.

题组C 培优拔尖练
1．计算：（1）÷－×÷；
（2）×＋；
（3）－÷×；
（4）（3＋－4）÷；
（5）.
【答案】（1）；（2）3＋；（3）；（4）2；（5）4－8.
【解析】
【分析】
根据根式的运算性质即可解题.
【详解】
解：（1）÷－×÷
=4÷-×÷
=4-
=;
（2）×＋
=3×+3-2
=32+3
=3＋;
（3）－÷×
=3××
=3
=;
（4）（3＋－4）÷
=（9＋－2）÷
=8÷
=2;
（5）
=
=2+2-[2-2]
=4
=4－8
【点睛】
本题考查了根式的运算,中等难度,熟悉根式的运算性质是提关键.
2．已知x=2﹣，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值．
【答案】2+
【详解】
试题分析：先求出x2，然后代入代数式，根据乘法公式和二次根式的性质，进行计算即可.
试题解析：x2=（2﹣）2=7﹣4，
则原式=（7+4）（7﹣4）+（2+）（2﹣）+
=49﹣48+1+
=2+．
3．计算（＋）÷（＋－）（a≠b）．
【答案】－
【详解】
试题分析：先计算括号内的，然后把除法转化为乘法，约分即可得出结论．
试题解析：解：原式＝÷
＝÷
＝·＝－．
4．(1) 观察下列各式的特点：
，
，
，
，
…
根据以上规律可知：_____(填“＞”“＜”或“＝”)．
(2)观察下列式子的化简过程：
，
，
，
…
根据观察，请写出式子(n≥2)的化简过程．
(3)根据上面(1)(2)得出的规律计算下面的算式：.
【答案】(1)＞；(2)；(3)．
【分析】
（1）根据题目所给的例题大小关系可直接得到答案；
（2）把分子分母同时乘以，然后化简即可得答案；
（3）根据（2）中的规律可得，，…，分别把绝对值里面的式子化简计算即可.
【详解】
(1)根据题意可得＞，
故答案为＞．
(2) ；
(3)原式＝|(﹣1)﹣(﹣)|+|(﹣)﹣(﹣)|+|(﹣)﹣(﹣)|+…+|(﹣)﹣(﹣)|
＝(﹣1)﹣(﹣)+(﹣)﹣(﹣)+(﹣)﹣(﹣)+…+(﹣)﹣(﹣)
＝(﹣1)﹣(﹣)
＝﹣1﹣+10
＝﹣+9．
【点睛】
本题主要考查了分母有理化，关键是认真观察题目所给的例题，找出其中的规律，然后应用规律进行计算.