初中数学冀教版七年级下册第九章 三角形综合与测试练习

第九章达标检测卷

一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)

1．下列命题中，是真命题的是(　　)

A．三角形的角平分线与角的平分线都是射线 

B．三角形的角平分线与角的平分线都是线段

C．三角形的角平分线是射线，角的平分线是线段 

D．三角形的角平分线是线段，角的平分线是射线

2．下列各组数可能是一个三角形的边长的是(　　)

A．1，2，4  B．4，5，9 

C．4，6，8  D．5，5，11

3．如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法错误的是(　　)

A．DE是△BCD的中线  B．BD是△ABC的中线

C．AD＝CD，BE＝CE   D．只有DE是 ∠C的对边

4．一个三角形的两个内角分别是55°和65°，下列度数的角不可能是这个三角形的外角的是(　　)

A．130°  B．125°  C．120°  D．115°

5．将含30°角的一个直角三角尺和一把直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2等于(　　)

A．80°  B．100°  C．110°  D．120°

6．下列说法中错误的是(　　)

A．一个三角形中至少有一个角不小于60°

B．直角三角形只有一条高

C．三角形的中线不可能在三角形外部

D．三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分

7．某等腰三角形的两边长分别为7 cm和13 cm，则它的周长是(　　)

A．27 cm          B．33 cm 

C．27 cm或33 cm  D．6 cm或20 cm

8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝30°，∠DAC＝45°，则∠B的度数为(　　)

A．60° 

B．65° 

C．70° 

D．75°

9．如图，AB∥CD，∠A＝48°，∠C＝22°，则∠E等于(　　)

A．70°  B．26°  C．36°  D．16°

10．如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(　　)

A．∠A＞∠1＞∠2  B．∠2＞∠1＞∠A 

C．∠A＞∠2＞∠1  D．∠2＞∠A＞∠1

11．具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(　　)

A．∠A＝2∠B＝3∠C        

B．∠A－∠B＝∠C

C．∠A：∠B：∠C＝2：3：5  

D．∠A＝∠B＝∠C

12．如图，∠B＋∠C＋∠D＋∠E－∠A等于(　　)

A．360° 

B．300° 

C．180° 

D．240°

13．将一副三角尺(∠A＝30°，∠E＝45°)按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF等于(　　)

A．75° 

B．90° 

C．105° 

D．115°

14．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1＋∠2＝(　　)

A．90°  B．100°  C．130°  D．180°

15．如图，P是等边三角形ABC中AC边上的任意一点，AD是△ABC的高，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，则(　　)

A．PE＋PF＞AD  B．PE＋PF＜AD 

C．PE＋PF＝AD  D．以上都有可能

16．如图，△ABC的角平分线CD，BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB＝∠CGE.其中正确的结论有(　　)

 A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

二、填空题(17，18题每题3分，19题4分，共10分)

17．已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：|a＋b－c|－|a－b－c|＋|a－b＋c|＝______________．

18．若一个三角形的三个内角的度数之比为123，则相应的三个外角的度数之比为______________．

19．如图，AD，AE分别是△ABC的中线和高，BC＝6 cm，AE＝4 cm，△ABC的面积为____________，△ABD的面积为__________．

三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题12分，共68分)

20．已知：如图，AC∥DE，∠ABC＝70°，∠E＝50°，∠D＝75°.

求∠A和∠ABD的度数．

21．已知一等腰三角形的周长是16 cm.

(1)若其中一边长为4 cm，求另外两边的长；

(2)若其中一边长为6 cm，求另外两边的长．

22．如图，在△ABC中，∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．

23．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，∠1＝∠2，∠BAD＝40°，求∠EDC的度数．

24．如图，点D是△ABC的边BC上一点，且BD：CD＝2：3，点E，F分别是线段AD，CE的中点，且△ABC的面积为20 cm2.

(1)求△CDE的面积；

(2)求△BEF的面积．

25．如图，△ABC的角平分线BE，CF相交于点P，过点P作直线MN∥BC，分别交AB和AC于点M和N.若∠A＝α，试用含α的代数式来表示∠MPB＋∠NPC的度数．若直线MN与BC不平行，上述结论仍成立吗？试说明理由．

26．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，若∠EBC＝32°，∠AEB＝70°.

(1)试说明∠BAD：∠CAD＝1：2；

(2)若点F为线段BC上的任意一点，当△EFC为直角三角形时，求∠BEF的度数．

答案

一、1．D　2．C　3.D　4．A　5．C　6．B

7．C　8．A　9．B　10．B

11．A　点拨：本题运用了方程思想．由∠A＝2∠B＝3∠C可得∠B＝∠A，∠C＝∠A，又因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＋∠A＋∠A＝∠A＝180°，所以∠A＝°，故△ABC不可能是直角三角形；由B选项可得∠A＝∠B＋∠C＝(∠A＋∠B＋∠C)＝90°；

C选项中∠C＝(∠A＋∠B＋∠C)＝×180°＝90°；

由D选项可得2∠A＋3∠A＋∠A＝180°，

所以∠A＝30°，

所以∠C＝3∠A＝90°.所以选A.

12．C　13．A

14．B　点拨：正方形每个内角为90°，等边三角形每个内角为60°.利用平角定义可得以下三个式子：

∠BAC＝180°－90°－∠1＝90°－∠1，

∠ABC＝180°－60°－∠3＝120°－∠3，

∠ACB＝180°－60°－∠2＝120°－∠2.

在△ABC中，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，

∴90°－∠1＋120°－∠3＋120°－∠2＝180°，

∴∠1＋∠2＝150°－∠3＝150°－50°＝100°.

15．C　点拨：本题运用巧添辅助线法和等面积法．如图所示，连接BP，则S△ABC＝S△ABP＋S△CBP，即BC·AD＝AB·PE＋BC·PF.因为△ABC是等边三角形，所以AB＝BC，所以PE＋PF＝AD.

16．C　点拨：① ∵EG∥BC，

∴∠CEG＝∠ACB.

又∵CD是△ABC的角平分线，

∴∠ACB＝2∠DCB，

∴∠CEG＝2∠DCB.

故①正确；

② ∵∠CEG＝∠ACB，

而∠GEC与∠GCE不一定相等，

∴CA不一定平分∠BCG，

故②错误；

③ ∵∠A＝90°，

∴∠ADC＋∠ACD＝90°.

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD，

∴∠ADC＋∠BCD＝90°.

∵EG∥BC，且CG⊥EG，

∴∠GCB＝90°，

即∠GCD＋∠BCD＝90°，

∴∠ADC＝∠GCD，故③正确；

④ ∵∠ABC＋∠ACB＝90°，

CD平分∠ACB，BE平分∠ABC，

∴∠EBC＝∠ABC，

∠DCB＝∠ACB，

∴∠DFB＝∠EBC＋∠DCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝45°.

∵∠CGE＝90°，

∴∠DFB＝∠CGE，故④正确．

故选C.

二、17．3a－b－c　18．5：4：3

19．12 cm2；6 cm2

三、20．解：∵AC∥DE，∠E＝50°，

∠D＝75°，

∴∠ACB＝∠E＝50°，

∠BFC＝∠D＝75°.

又∵∠ABC＝70°，

∴∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－70°－50°＝60°，

∴∠ABD＝∠BFC－∠A＝75°－60°＝15°.

21．解：(1)当底边长为4 cm时，

腰长为(16－4)÷2＝6(cm)．

当腰长为4 cm时，底边长为16－4×2＝8(cm)．

∵4＋4＝8，∴不能组成三角形．

∴另外两边的长分别是6 cm，6 cm.

(2)当底边长为6 cm时，

腰长为(16－6)÷2＝5(cm)．

当腰长为6 cm时，底边长为16－6×2＝4(cm)．

∴另外两边的长分别是5 cm，5 cm或6 cm，4 cm.

22．解：∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，

且∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，

∴∠A＝180°－66°－54°＝60°.

在△ABE中，∵∠AEB＝90°，

∴∠ABE＝180°－90°－∠A＝30°.

又∠CFB＝90°，∴∠BHF＝60°.

∵∠BHF＋∠BHC＝180°，

∴∠BHC＝120°.

在△ACF中，∵∠AFC＝90°，

∴∠ACF＝180°－90°－∠A＝30°.

23．解：在△ABD中，由三角形外角的性质知：∠ADC＝∠B＋∠BAD，

∵∠BAD＝40°，

∴∠EDC＋∠1＝∠B＋40°.①

∵∠2＝∠EDC＋∠C，

∠1＝∠2，∠B＝∠C，

∴∠1＝∠EDC＋∠B.②

将②代入①得2∠EDC＋∠B＝∠B＋40°，

∴∠EDC＝20°.

24．解：(1)∵△ABD和△ADC不等底、等高，

BDCD＝23，

∴S△ABD＝S△ABC＝×20＝8(cm2)，

S△ADC＝20－8＝12(cm2)．

∵E是AD的中点，

∴S△CDE＝S△ADC＝×12＝6(cm2)．

(2)∵E为AD的中点，∴S△BDE＝S△ABD＝×8＝4(cm2)，

∴S△BCE＝S△BDE＋S△CDE＝4＋6＝10(cm2)．

∵F是CE的中点，

∴S△BEF＝S△BCE＝×10＝5(cm2)．

25．解：∵BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB，

∴∠PBC＝∠ABC，

∠PCB＝∠ACB.

∵∠A＝α，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，

∴∠ABC＋∠ACB＝180°－α，

∴∠PBC＋∠PCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝90°－α.

∵MN∥BC，∴∠MPB＝∠PBC，∠NPC＝∠PCB，

∴∠MPB＋∠NPC＝∠PBC＋∠PCB＝90°－α.

若MN与BC不平行，上述结论仍成立．理由如下：

∵∠MPB＋∠BPC＋∠NPC＝180°，

∠BPC＋∠PBC＋∠PCB＝180°，

∴∠MPB＋∠NPC＝180°－∠BPC＝180°－[180°－(∠PBC＋∠PCB)]＝∠PBC＋∠PCB＝90°－α.

点拨：本题运用了整体思想．尤其当MN与BC不平行时，利用整体代换更能体现∠PBC＋∠PCB与∠A的恒定关系．

26．解：(1)∵BE平分∠ABC，

∴∠ABC＝2∠EBC＝64°.

∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

∴∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－64°＝26°.

∵∠C＝∠AEB－∠EBC＝70°－32°＝38°，

∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－38°＝52°.

∴∠BAD∠CAD＝26°52°＝12.

(2)分两种情况：

①当∠EFC＝90°时，如图①所示，

∠BEF＝90°－∠EBC＝90°－32°＝58°；

②当∠FEC＝90°时，如图②所示，

∠EFC＝180°－90°－∠C＝90°－38°＝52°.

∴∠BEF＝∠EFC－∠EBF＝52°－32°＝20°.

综上所述，∠BEF的度数为58°或20°.