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专题01 切线长定理
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2022年中考数学复习圆专题
专题01切线长定理
一.选择题
1.如图,PA,PB切⊙O于A,B两点,CD切⊙O于点E,交PA,PB于C,D.若⊙O的半径为1,△PCD的周长等于2,则线段AB的长是( )
A. B.3 C.2 D.3
解:∵PA,PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,交PA,PB于C,D,
∴AC=EC,DE=DB,PA=PB,
∵△PCD的周长等于2,
∴PA+PB=2,
∴PA=PB=,
链接PA和AO,
∵⊙O的半径为1,
∴tan∠APO===,
∴∠APO=30°,
∴∠APB=60°,
∴△APB是等边三角形,
∴AB=PA=PB=.
故选:A.
2.如图,P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于点A、B,CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C,D,若PA=4,则△PCD的周长为( )
A.5 B.7 C.8 D.10
解:∵PA、PB分别切⊙O于点A、B,
∴PB=PA=4,
∵CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C,D,
∴CA=CE,DE=DB,
∴△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=8,
故选:C.
3.如图,PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E,若PA=7,则△PCD的周长为( )
A.7 B.14 C.10.5 D.10
解:∵PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E,
∴PB=PA=7,CA=CE,DE=DB,
∴△PCD的周长=PC+CD+PB
=PC+CE+DE+PD
=PC+CA+DB+PD
=PA+PB=14,
故选:B.
4.如图,PA,PB切⊙O于A,B两点,CD切⊙O于点E交PA,PB于C,D,若⊙O的半径为r,△PCD的周长为3r,连接OA,OP,则的值是( )
A. B. C. D.
解:∵PA,PB切⊙O于A,B两点,CD切⊙O于点E交PA,PB于C,D,
∴CA=CF,DF=DB,PA=PB,
∴PC+CF+DF+PD=PA=PB=2PA=3r,
∴PA=r,
则的值是:=.
故选:D.
5.如图,PA、PB切⊙O于点A、B,PA=8,CD切⊙O于点E,交PA、PB于C、D两点,则△PCD的周长是( )
A.8 B.18 C.16 D.14
解:∵PA,PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,
∴PB=PA=8,CA=CE,DB=DE,
∴△PCD的周长=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=16.
故选:C.
6.如图,P为⊙O外一点,PA,PB分别切⊙O于A,B,CD切⊙O于点E,分别交PA,PB于点C,D.若PA=5,则△PCD的周长和∠COD分别为( )
A.5,(90°+∠P) B.7,90°+
C.10,90°﹣∠P D.10,90°+∠P
解:∵PA、PB切⊙O于A、B,CD切⊙O于E,
∴PA=PB=10,ED=AD,CE=BC;
∴△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA,即△PCD的周长=2PA=10,;
如图,连接OA、OE、OB.
由切线性质得,OA⊥PA,OB⊥PB,OE⊥CD,DB=DE,AC=CE,
∵AO=OE=OB,
易证△AOC≌△EOC(SAS),△EOD≌△BOD(SAS),
∴∠AOC=∠EOC,∠EOD=∠BOD,
∴∠COD=∠AOB,
∴∠AOB=180°﹣∠P,
∴∠COD=90°﹣∠P.
故选:C.
7.P是⊙O外一点,PA、PB分别与⊙O相切于点A、B,点C是劣弧AB上任意一点,经过点C作⊙O的切线,分别交PA、PB于点D、E.若PA=4,则△PDE的周长是( )
A.4 B.8 C.12 D.不能确定
解:根据题意画出图形,如图所示,
由直线DA和直线DC为圆O的切线,得到AD=DC,同理,由直线EC和直线EB为圆O的切线,得到EC=EB,
又直线PA和直线PB为圆O的切线,所以PA=PB=4,
则△PDE的周长C=PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE
=PD+DA+EB+PE=PA+PB=4+4=8.
故选:B.
8.如图,AE、AD和BC分别切⊙O于点E、D、F,如果AD=20,则△ABC的周长为( )
A.20 B.30 C.40 D.50
解:据切线长定理有AD=AE,BE=BF,CD=CF;
则△ABC的周长=AB+BC+AC
=AB+BF+CF+AC
=AB+BE+AC+CD
=AD+AE=2AD
=40.
故选:C.
9.如图,PA、PB分别是⊙O的切线,A、B为切点,AC是⊙O的直径,已知∠BAC=35°,∠P的度数为( )
A.35° B.45° C.60° D.70°
解:根据切线的性质定理得∠PAC=90°,
∴∠PAB=90°﹣∠BAC=90°﹣35°=55°.
根据切线长定理得PA=PB,
所以∠PBA=∠PAB=55°,
所以∠P=70°.
故选:D.
10.如图,直角梯形ABCD中,以AD为直径的半圆与BC相切于E,BO交半圆于F,DF的延长线交AB于点P,连DE.以下结论:①DE∥OF;②AB+CD=BC;③PB=PF;④AD2=4AB•DC.其中正确的是( )
A.①②③④ B.只有①② C.只有①②④ D.只有③④
解:∵BA,BE是圆的切线.
∴AB=BE,BO是△ABE顶角的平分线.
∴OB⊥AE
∵AD是圆的直径.
∴DE⊥AE
∴DE∥OF
故①正确;
∵CD=CE,AB=BE
∴AB+CD=BC
故②正确;
∵OD=OF
∴∠ODF=∠OFD=∠BFP
若PB=PF,则有∠PBF=∠BFP=∠ODF
而△ADP与△ABO不一定相似,故PB=PF不一定成了.
故③不正确;
连接OC.可以证明△OAB∽△CDO
∴
即:OA•OD=AB•CD
∴AD2=4AB•DC
故④正确.
故正确的是:①②④.
故选:C.
二.填空题
11.一个菱形的周长是20cm,两对角线之比是4:3,则该菱形的内切圆的半径是 cm.
解:如图所示:菱形ABCD,对角线AC,BD,可得菱形内切圆的圆心即为对角线交点,
设AB与圆相切于点E,可得OE⊥AB,
∵一个菱形的周长是20cm,两对角线之比是4:3,
∴AB=5cm,
设BO=4x,则AO=3x,
故(4x)2+(3x)2=25,
解得:x=1,
则AO=3,BO=4,
故EO•AB=AO•BO,
解得:EO=.
故答案为:.
12.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,∠OAB=38°,则∠P= °.
解:∵PA,PB是⊙O的切线,
∴PA=PB,PA⊥OA,
∴∠PAB=∠PBA,∠OAP=90°,
∴∠PBA=∠PAB=90°﹣∠OAB=90°﹣38°=52°,
∴∠P=180°﹣52°﹣52°=76°;
故答案为:76.
13.如图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为 .
解:∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形,
∴AD+BC=AB+CD=22,
∴四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=44,
故答案为:44.
14.如图,PA、PB分别切圆O于A、B,并与圆O的切线,分别相交于C、D,已知△PCD的周长等于10cm,则PA= cm.
解:如图,设DC与⊙O的切点为E;
∵PA、PB分别是⊙O的切线,且切点为A、B;
∴PA=PB;
同理,可得:DE=DA,CE=CB;
则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10(cm);
∴PA=PB=5cm,
故答案为:5.
15.如图,已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5,则该梯形的周长是 .
解:根据切线长定理,得AD=AE,BC=BE,所以梯形的周长是5×2+4=14,
故答案为:14.
16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F,若⊙O的半径r=2,则Rt△ABC的周长为 .
解:连接OE、OF,
设AD=x,由切线长定理得AF=x,
∵⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F,
∴OE⊥BC,OF⊥AC,∴四边形OECF为正方形,
∵r=2,BC=5,∴CE=CF=2,BD=BE=3,
∴由勾股定理得,(x+2)2+52=(x+3)2,
解得,x=10,
∴△ABC的周长为12+5+13=30,
故答案为30.
三.解答题
17.如图,AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G,若∠BOC=90°,
(1)求证:AB∥CD;
(2)若OB=3,OC=4,求由BE、BC、CG、及弧EFG围成图形的面积(即图中阴影部分).
解:(1)∵∠BOC=90°,
∴∠OBC+∠OCB=90°,
又BE与BF为圆O的切线,
∴BO为∠EBF的平分线,
∴∠OBC=∠OBF,
同理可得∠OCB=∠OCG,
∴∠OBF+∠OCG=90°,
∴∠OBC+∠OCB+∠OBE+∠OCG=180°,
即∠ABF+∠DCF=180°,
∴AB∥CD;
(2)连接OE,OF,OG,如图所示:
由BE和BF为圆的切线,
可得OE⊥AB,OF⊥BC,即∠OEB=∠OFB=90°,
∴BE=BF,又OB=OB,
∴Rt△OEB≌Rt△OFB(HL),
∴∠BOE=∠BOF,S△OEB=S△OFB,
∴S扇形OEM=S扇形OFM,
∴S△OEB﹣S扇形OEM=S△OFB﹣S扇形OFM,
即S阴影BEM=S阴影BFM,
同理S阴影NFC=S阴影NCG,
由∠BOC=90°,OB=3,OC=4,
根据勾股定理得:BC=5,
∵BC为圆的切线,∴OF⊥BC,
∴OB•OC=BC•OF,即OF=,
∴S△BOC=OB•OC=6,
S扇形OMN==,
则阴影部分面积S=2(S阴影BFM+S阴影NFC)
=2(S△BOC﹣S扇形OMN)=12﹣.
18.如图,PA,PB是⊙O的切线,A、B为切点,AC是⊙O的直径,∠P=60°.
(1)求∠BAC的度数;
(2)当OA=2时,求AB的长.
解:(1)∵PA,PB是⊙O的切线,
∴AP=BP,
∵∠P=60°,
∴∠PAB=60°,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠PAC=90°,
∴∠BAC=90°﹣60°=30°.
(2)连接OP,则在Rt△AOP中,OA=2,∠APO=30°,
∴OP=4,
由勾股定理得:,
∵AP=BP,∠APB=60°,
∴△APB是等边三角形,
∴.
19.如图,已知AB为⊙O的直径,PA,PC是⊙O的切线,A,C为切点,∠BAC=30°.
(Ⅰ)求∠P的大小;
(Ⅱ)若AB=2,求PA的长(结果保留根号).
解:(Ⅰ)∵PA是⊙O的切线,AB为⊙O的直径,
∴PA⊥AB,
∴∠BAP=90°;
∵∠BAC=30°,
∴∠CAP=90°﹣∠BAC=60°.
又∵PA、PC切⊙O于点A、C,
∴PA=PC,
∴△PAC为等边三角形,
∴∠P=60°.
(Ⅱ)如图,连接BC,则∠ACB=90°.
在Rt△ACB中,AB=2,∠BAC=30°,
∵cos∠BAC=,
∴AC=AB•cos∠BAC=2cos30°=.
∵△PAC为等边三角形,
∴PA=AC,
∴PA=.
20.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,以AB为直径的⊙O与DC相切于E.已知AB=8,边BC比AD大6.
(1)求边AD、BC的长;
(2)在直径AB上是否存在一动点P,使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由.
解:(1)方法1:过D作DF⊥BC于F,
在Rt△DFC中,DF=AB=8,FC=BC﹣AD=6,
∴DC2=62+82=100,即DC=10.(1分)
设AD=x,则DE=AD=x,EC=BC=x+6,
∴x+(x+6)=10.
∴x=2.
∴AD=2,BC=2+6=8.(4分)
方法2:连OD、OE、OC,
由切线长定理可知∠DOC=90°,AD=DE,CB=CE,
设AD=x,则BC=x+6,
由射影定理可得:OE2=DE•EC.(2分)
即:x(x+6)=16,
解得x1=2,x2=﹣8,(舍去)
∴AD=2,BC=2+6=8.(4分)
(2)存在符合条件的P点.
设AP=y,则BP=8﹣y,△ADP与△BCP相似,有两种情况:
①△ADP∽△BCP时,∴y=;(6分)
②△ADP∽△BPC时,∴y=4.(7分)
故存在符合条件的点P,此时AP=或4.(8分)
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