专题02 切割线定理

这是一份专题02 切割线定理，文件包含专题02切割线定理解析版docx、专题02切割线定理原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
2022年中考数学复习圆专题
专题02 切割线定理
一．选择题
1．如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝4，则PA的长为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．2
解：∵PA2＝PB•PC＝8，PB＝2，PC＝4，
∴PA＝2．
故选：B．
2．如图，点P是⊙O外一点，PAB为⊙O的一条割线，且PA＝AB，PO交⊙O于点C，若OC＝3，OP＝5，则AB长为（　　）

A． B． C． D．
解：设PA＝AB＝x，延长PO交圆于点D．
∵PA•PB＝PC•PD，OC＝3，OP＝5，
∴x•2x＝16，
∴x＝2．
故选：B．

3．如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是（　　）

A． B． C． D．
解：∵AE＝AC＝5，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝13，
∴BE＝8；
∵BE2＝BD•BC，
∴BD＝，
∴CD＝，
∴圆的半径是，
故选：A．
4．如图，PAB为⊙O的割线，且PA＝AB＝3，PO交⊙O于点C，若PC＝2，则⊙O的半径的长为（　　）

A． B． C． D．7
解法一：延长PO交圆于点D
利用割线定理可知PA•PB＝PC•PD，求得PD＝9，
所以CD＝7，半径＝3.5．

解法二：作OD⊥AB于D，根据垂径定理和勾股定理求解．
故选：A．


5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以O为圆心，OA为半径作圆O与BC相切于点D，分别交AC、AB于E、F，若CD＝2CE＝4，则⊙O的直径为（　　）

A．10 B． C．5 D．12
解：连接OD，过O作AC的垂线，设垂足为G，
∵∠C＝90°，
∴四边形ODCG是矩形，
∵CD是切线，CEA是割线，
∴CD2＝CE•CA，
∵CD＝2CE＝4，
∴AC＝8，
∴AE＝6，
∴GE＝3，
∴OD＝CG＝5，
∴⊙O的直径为10．
故选：A．

6．如图，两圆相交于C、D，AB是两圆的一条外公切线，A、B为切点，CD的延长线交AB于M，若CD＝9，MD＝3，则AB的长为（　　）

A．18 B．12 C．13.5 D．6√3
解：∵AB是两圆的一条外公切线，∴MA2＝MD•MC，MB2＝MD•MC，
∵CD＝9，MD＝3，∴MA＝MB＝6，
∴AB＝12，
故选：B．
7．如图，点C、O在线段AB上，且AC＝CO＝OB＝5，过点A作以BC为直径的⊙O切线，D为切点，则AD的长为（　　）

A．5 B．6 C． D．10
解：∵AD是⊙O的切线，ACB是⊙O的割线，
∴AD2＝AC•AB，
又AC＝5，AB＝AC+CO+OB＝15，
∴AD2＝5×15＝75，
∴AD＝5．（AD＝﹣5不合题意舍去）．
故选：C．
8．如图，从点P向⊙O引两条切线PA，PB，切点为A，B，BC为⊙O的直径，若∠P＝60°，PA＝3，则⊙O的直径BC的长为（　　）

A． B． C．3 D．
解：连接OP．
∵PB＝PA＝3，∠OPB＝30°，tan∠OPB＝，
∴OB＝，圆的直径是2．
故选：A．

9．以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于点E．则三角形ADE和直角梯形EBCD周长之比为（　　）

A．3：4 B．4：5 C．5：6 D．6：7
解：根据切线长定理得，BE＝EF，DF＝DC＝AD＝AB＝BC．
设EF＝x，DF＝y，
则在直角△AED中，AE＝y﹣x，AD＝CD＝y，DE＝x+y．
根据勾股定理可得：
（y﹣x）2+y2＝（x+y）2，
∴y＝4x，
∴三角形ADE的周长为12x，直角梯形EBCD周长为14x，
∴两者周长之比为12x：14x＝6：7．
故选：D．
10．如图，已知PA是⊙O的切线，A为切点，PC与⊙O相交于B、C两点，PB＝2cm，BC＝8cm，则PA的长等于（　　）

A．4cm B．16cm C．20cm D．2cm
解：∵PB＝2cm，BC＝8cm，
∴PC＝10cm，
∵PA2＝PB•PC＝20，
∴PA＝2，
故选：D．
二．填空题
11．已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB＝2，BC＝CD＝10，AD＝6，过B、D两点作圆，与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BE﹣BF的值为　 　．

解：延长CD交⊙O于点G，
设BE，DG的中点分别为点M，N，则易知AM＝DN，
∵BC＝CD＝10，由割线定理得，CB•CF＝CD•CG，
∵CB＝CD，
∴BF＝DG，
∴BE﹣BF＝BE﹣DG＝2（BM﹣DN）＝2（BM﹣AM）＝2AB＝4．
故答案为：4．


12．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝　 　．

解：∵AD•BD＝CD•DT，
∴TD＝，
∵CD＝2，AD＝3，BD＝4，
∴TD＝6，
∵PT是⊙O的切线，PA是割线，
∴PT2＝PA•PB，
∵CT为直径，
∴PT2＝PD2﹣TD2，
∴PA•PB＝PD2﹣TD2，
即（PB+7）PB＝（PB+4）2﹣62，
解得PB＝20．
故答案为：20．
13．如图，AB，AC分别是⊙O的切线和割线，且∠C＝45°，∠BDA＝60°，CD＝，则切线AB的长是　 　．

解：
过点A作AM⊥BD与点M．
∵AB为圆O的切线
∴∠ABD＝∠C＝45°（弦切角等于所夹弧所对的圆周角）
∵∠BDA＝60°
∴∠BAD＝75°，∠DAM＝30°，∠BAM＝45°
设AB＝x，则AM＝x，在直角△AMD中，AD＝x
由切割线定理得：AB2＝AD•AC
x2＝x（x+）
解得：x1＝6，x2＝0（舍去）
故AB＝6．
故答案是：6．

14．如图，⊙O的割线PAB交⊙O于点A、B，PA＝7cm，AB＝5cm，PO＝10cm，则⊙O的半径为　 　．

解：延长PO交圆于点D，
由割线定理知，PA•PB＝PC•PD＝（PO﹣CO）（PO+CO），
代入数据解得，CO＝4．

15．如图，已知PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，PA＝，PB＝BC，⊙O的半径OC＝5，那么弦BC的弦心距OM＝　 　．

解：∵PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，
∴PA2＝PB•PC；
设BC＝x，则PB＝x，PC＝2x，
∴2x2＝72，
解得x＝6；
∵OM⊥BC，
在直角△OMC中，
∵OC＝5，CM＝3，
∴OM＝4．
16．如图，过点P引圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆于点A，B和C，D，连接AC，BD，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有　 　（把你认为成立的比例式的序号都填上）．


解：∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠PAD＝∠C，∠PAD＝∠B
∴△PAD∽△PCB
根据相似三角形的对应边的比相等，得到②③是正确的．
三．解答题
17．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．
（1）求证：PD2＝PE•PF；
（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．

（1）证明：连接PB，OP，
∵PE⊥AB，PD⊥OB，
∴∠BEP＝∠PDO＝90°，
∵AB切⊙O1于B，∠ABP＝∠BOP，
∴△PBE∽△POD，
∴＝，
同理，△OPF∽△BPD
∴＝，
∴＝，
∴PD2＝PE•PF；

（2）解：连接O1B，O1P，
∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，
∴∠ABP＝30°，
∴∠O1BP＝90°﹣30°＝60°，
∵O1B＝O1P，
∴△O1BP为等边三角形，
∴O1B＝BP，
∵P为弧BO的中点，
∴BP＝OP，
即△O1PO为等边三角形，
∴O1P＝OP＝a，
∴∠O1OP＝60°，
又∵P为弧BO的中点，
∴O1P⊥OB，
在△O1DO中，∵∠O1OP＝60°O1O＝a，
∴O1D＝a，OD＝a，
过D作DM⊥OO1于M，∴DM＝OD＝a，
OM＝DM＝a，
∴D（﹣a，a），
∵∠O1OF＝90°，∠O1OP＝60°
∴∠POF＝30°，
∵PE⊥OA，
∴PF＝OP＝a，OF＝a，
∴P（﹣a，），F（﹣a，0），
∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，
∴∠ABP＝∠BOP＝30°，
∵PE⊥AB，PB＝a，
∴∠EPB＝60°
∴PE＝a，BE＝a，
∵P为弧BO的中点，
∴BP＝PO，
∴∠PBO＝∠BOP＝30°，
∴∠BPO＝120°，
∴∠BPE+∠BPO＝120°+60°＝180°，
即OPE三点共线，
∵OE＝a+a＝a，
过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，
∴∠EOA＝30°，
∴EM＝OE＝a，OM＝a，
∴E（﹣a，a），
∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），
∴DE＝﹣a﹣（﹣a）＝a，
DE边上的高为：a，
∴S△DEF＝×a×a＝a2．
故答案为：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF＝a2．




18．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D是劣弧AC的中点，DE⊥AB于H，交⊙O于点E，交AC于点F．
（1）图中有哪些必相等的线段？（要求：不要标注其它字母，找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中，不必写出推理过程．）
（2）若过C点作⊙O的切线PC交ED延长线于P点，（请补全图形），求证：PF2＝PD•PE；
（3）已知AH＝1，BH＝4，求PC的长．

（1）解：AO＝BO，DH＝EH，DF＝AF，AC＝DE；

（2）证明：连EC，AE，
则∠PFC是△ECF的一个外角，于是∠PFC＝∠ACE+∠FEC；
∵DH⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴A是DE中点，即弧AD＝弧AE，
∴∠AED＝∠ACE，
∴∠ACE+∠FEC＝∠AED+∠DEC＝∠AEC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCA＝∠AEC．
∴∠PCA＝∠PFC，
∴PC＝PF．
∵PC是切线
∴PC2＝PD•PE，
∴PF2＝PD•PE；

（3）解：在⊙O中，AH•HB＝DH•HE＝DH2，
∴
设AF＝x，则FH＝2﹣x．
在Rt△AFH中，AH2+FH2＝AF2
∴1+（2﹣x）2＝x2，
∴x＝，即．
于是．
由（1）（2）知HE＝HD＝2，
，
解得．
∴PF＝PD+DF＝．
∴PC＝PF＝．



19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若，求BD的长．


（1）证明：连接OE，
∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠1＝∠EBC，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠CBE，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线，
∵⊙O是△BDE的外接圆，
∴AC是△BDE的外接圆的切线；

（2）解：∵AE是圆O的切线，AB是圆的割线，
根据切割线定理：AE2＝AD×AB，
∵，
∴（）2＝2×（2+BD），
解得：BD＝4．
∴BD的长是：4．




20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90度．BM平分∠ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作⊙A交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交⊙A于P，K两点，作MT⊥BC于T．
（1）求证：AK＝MT；
（2）求证：AD⊥BC；
（3）当AK＝BD时，求证：．

证明：（1）∵BM平分∠ABC，∠BAC＝90°，MT⊥BC，
∴AM＝MT．
又∵AM＝AK，
∴AK＝MT．

（2）∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM．
∵AM＝AN，
∴∠AMN＝∠ANM．
又∵∠ANM＝∠BND，
∴∠AMN＝∠BND．
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABM+∠AMB＝90°．
∴∠CBM+∠BND＝90°．
∴∠BDN＝90°．
∴AD⊥BC．

（3）连接PN、KM
∵BNM和BPK为⊙A的割线，
∴BN•BM＝BP•BK．
∴．
∵AK＝BD，AK＝MT，
∴BD＝MT．
∵AD⊥BC，MT⊥BC，
∴∠ADB＝∠MTC＝90°．
∴∠C+∠CMT＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠C+∠ABC＝90°．
∴∠ABC＝∠CMT．
在△ABD和△CMT中，，
∴△ABD≌△CMT．
∴AB＝MC．
∵AK＝AM，
∴AB+AK＝MC+AM．
即BK＝AC．
∴．